农业试验的统计分析讲座_二_样本平均数差异显著性检验

农 业 试验 的统计分 析讲座

二

—

最 简 单 的试 验

,

样 本 平 均 数 差异 显 著 性 检 验

华南 农 学院

王润 华

黎祖 强

是仅 仅进 行 两 种 处 理 的 比

,

某 种事 件出现 的 可 能性 对 于 全 部 可 能 性的

比 率就称 为 机 率

。

较试 验

。

例如

,

,

在 品 种 比 较试 验 中

, ,

比 较两 个

通常用

来 表示 机 率

。

从上

品种 的 优 劣

施 的好坏

,

在栽培 试 验 中

比 较 两 种技 术 措 比 较 两 种 农药 的 效

,

面 的 简单 例 子

,

我 们得 到两 个重 要 结论

在 植 保工 作 中

、

某一 事件 出 现 的 机 率 件在 总 的事 件 中 的 含 量

。

决定 于 该事

粒豆

由机 率

,

果 等等

试验

,

。

如 黑豆子 在

拓

。

假 定现在 有 甲

乙 两 品 种 进 行 比较

经过

子 中 占有 来 表达

。

粒

,

其 出现 机 率 为

结 果是 甲 品种 比 乙 品 种 增 产

问 题 并不 那 么 简 单

,

斤

。

这是

某 事件 出 现 的 可 能 性 的 大小

的最 大 值 为 不 可 能 出 现 的事 件

,

,

否 就 可 下 结 论 说 甲 品种 比 乙 品 种 为 优 呢

看

必 然 事件

。

最小

来 识

,

因为

,

,

根据一 般常

值为 的差 异

此

,

。

,

同一 个 品 种 不 同 田 块

亩 产相 差

。

斤甚 至

同 一 个 生物 群体 例如

,

个体 之 间 存 在着 数 量上

“

相差

斤或 以 上

,

是 常 有 的事

,

我 们要 判 断 甲

,

,

同 是水 稻 珍 珠 矮

,

号 所长出

。

”

品种 比 乙 品 种增产 的 真 实性

不 能 仅根 据 一 个

来 的穗 子

每秘 粒数 的多 少 各有 不 同

,

虽然 如

,

简 单 的产 量 数 字

复进 行 甲

、

。

我们 还 必 须 回 答

,

如果 要 重 会不 会 出

但若 经 大量 的 观 察调 查

就 能 够 发现

,

特

,

乙 两 品 种 的 比 较试 验

出现 甲品 种

别 小 的穗 子 只 占少 数 数

,

特 别大 的 穗 子 也 只 占少

而且

,

。

比 乙 品种 增 产 的 可 能性 到 底有 多 大

而 以 中等 大 小 的 穗子 占绝大 多 数

,

现 两 品种 平 产 的可 能 性

所谓

“

,

甚 至 乙 品 种 反而 比 甲 品种 增产

,

越 接近平 均 粒 数 的 穗 子 也 就 越 多

如果 我们要

这 种 可 能性 又 有 多 大 就 得 首先简 要 地 谈 谈

”

从 这个 群 体 中随机抽 取 一 个 穗 子 中等 大小 的穗子 的 可 能 性 较大

具 普 遍 意 义的规 律

。

自然

抽到

要 回 答 上 面 的问题 机率

、

,

而 抽 到特 别 大

。

的 概念

、

。

或特 别小 的穗 子 的 可 能 性 则 较小

一 般地

,

这 是一 条 较

,

一

机率

值 及 差 异 显 著水准

粒黑 豆 和

,

在 同 一 群体 中 称 为离 均差

,

。

假 定 我们 从 一 个 装 有

的 口 袋 里 随 机 取 出一 粒 豆 子

粒黄 豆

某 一 个体 出 现 的机率

的大 小 与 该 个体 与群 体平 均 数 的 差 数有 关

即 平 均数

。

。

则 出现黑 豆 的 可

,

这 个差 数

,

,

能 性 就是

口袋 里装 的

八

八

。

拓

而 出现 黄 豆

另

,

一

为 个 体值 可为 正 值

,

为 群体

也可 为 负

,

的可 能 性 应 为

出 一 粒豆 子 多

,

又假 定

粒 豆 子 全 部是 黑 豆

,

若 从 中取

。

离 均差 值

。

一

出 现 黑 豆 的 可 能性应 为

。。

对 于 决 定 该 个体 出 现 的 机 率来说

。

正

,

、

负

而 出现 黄 豆 的可能 性则 为

值 具有 同 等意 义

离均 差 的 绝 对 值越 大 就越 小

。

该个

少

二

多

体出 现 的机 率

离均 差是一 个带有 具林 单位 的绝 对数

以标 准 差 除 之

,

。

若

乏

则可得 一 个不 带单 位 的 相 对

。

值

,

这个相 对值称 为 值

一

二

、

样本 平 均 数 与 总体

平 均数的比 较

这 种 比 较形式 通 常多 用 于 产 品 定级 因此

,

。

所谓 值

,

,

就 是 以 标准 差 为 单位 的

例

据 认为

,

每百 克大 豆 的 蛋 白质 中 赖

克时

, ,

,

离均 差

。

氨酸 的 含量 达到 离 均差 与 机 率

,

则 可 定为 一 级 品 今 得每 百 克 蛋 白质 中的

。

前 面说过

存 在 函数 的 大 小 与 离均

值与

而且

,

从 一 批 大 豆 中 抽样 分 析

关系

。

从 值 的 计 算 式可 见

。

。

赖氨 酸含量如 下

品

。

。

问此 批 大豆 能 否 定 为一 级

! ∀

差 成正 比 函数 关 系

所 以 也可 以 认 为

,

也 存在

我们 可 以根 据 某一 个 体 的 值 大小

。

样 品号

赖 氮酸 含 量

。 。

。

来计 算出 该 个体 出现 的机 率

道

,

我们 还 知

,

某一 个 体 的离均 差 越大

。

,

其 值也 越大

一

则 其 出 现 的机率 就越小

现在

甲

、

,

我 们 回 过头 来谈前 面所 提 出 来 的

。

平 均值

。 二

乙 两 品种 比 较 试 验 的 问题

甲

、

乙两 品 种

这 里 所给 出 的一 级 标准

可 视为 总体 平

产 量相 差

性

斤

,

是 否 能确 认 甲 品种 增产 的真实

、

均数 值万

从

,

而根据 所 测 定 的

。

个 样品 所 得平均

是

。

现 在 我们 假 定样本 平均 值

。

我 们 首先 假定 甲

乙 两 品 种 的 产 量 没 有本

的总 体 中抽 取 出来 的 一 个 样 本

一

今

质 的差 异

为零

,

即这两 品 种 总 体 的平 均 产 量 的差 数

乙

,

,

测定 这 一 假 设 能成 立 的 可 能性

一

甲一

进 而判 断

,

从 平 均数 的

。

差 数 为 零 的总 体 中 能 抽取 一 个平 均 数 为 , 有 多大 样本 其可 能性 即机 率

当机 率

氏

认万

样本 标 准 差

时

,

,

即 认为 这 一可 能 性 同理

,

很小

,

原 假 设被 推 翻

当机 率

。

确 认 两 品种 差 异 显 著 , 时

,

孟丝 了 塑二

,

一

确 认两 品

种

差 异很 显 著

拒里三业全二 上几 旦 洲

一

。 。

。

二

鲤卫

某 一 事 件 出现 的 机 率

关

下

,

的 大 小与 值 有

。

前 人 曾经 把 这 两 者 的关系 作 过 计 算 在 大 样本

调查 个 体 数

。

的条 件

万二

一户 丫

一

二

一

月

。

二

拱乙

。

二

,

一

。

当

》 》

时 时

。

《 《

,

。

一

。

百

。

值的 正 值与 负 值 具 有 同 等 涵 义

的关 系 还 受 到

,

。

,

一般可

在小 样本 的条件 下

自由度 大小 的影响

。

。

与

以 省 却正

、

负号

,

,

只 以 其 绝对 位 为 准

一

,

。

在一 定 自 由 度 下

,

查 附表

当 自由度

,

一

二

时

与 例如

》

的 值

当 自 由度

列 于 附表 时

,

今 即

因此

‘

《

与

很定所 测 定 的 样本平 均 谭

母

与

总 体平 均 值

无 本质 差 异 时

,

,

这 个 假定

。

则可 得

值

。

能 成 立 的可 能 性

显著

。

可 确认 两 者 差 异 不

而 根 据 统计 假 设

我 们假 定 所 检验 的两 个

没 有本 质 差 异

。

结论

此 批大 豆 达 到 一 级 标 准

样本 平 均 数

有本 质 差 异

因此 就有

,

不及不

二

所 谓没

,

三

、

两 个 样本 平 均 数 的 差 异 显 著性检 验

意 思 是说 两 者 来 自同 一 个 总体

一

则

‘

‘

前 面所 列举 的 是测 定 一 个 样本 平均 数 是 否属 于 从 某 一 个 总 体 抽取 出来 的 一 个 样本

这 是在 已 知 总 体 平均 数

差 异 显 著 性检 验

。

, 。

、

。

田 ,比 。

一

一 一二一 二二卫匕一 二 一之二 三一 了

一 一 二二 仁二二 二

,

,

一

,

二卫

万

一

‘ 一 上二一

的 条 件下 所 进 行 的

,

一 了

这 样我 们 就 获 得 样 本 平 均 数差 异显 著性检

在一 般试 验 研 究 中 当 我 们 要研 究两 个 样 本 平 均数 不及 又 是 否 存在显 著 差 异 时

,

验 的计 算 式

一 义

了

则所 研 究 的 是 样本 平 均 数 的差 数

即

于 是有

‘

。

一

二 一

了

表 示 样本平 均数 差 数

。

样本 平均 数 差 异 显 著性 检验

试 验 设 计 条件

,

,

根 据 不 同的

即

分为 配 对 比 较法 和 非 配 对

比较 法

、

表 示 总 体 平 均 数差 数

。

,

万

表 示 样本 平 均

分 组 小 样本

。

现 分述 如下

。

数 差 数标准 差 的 离 均差

。

一 配 对 比 较法

一

, ‘

式 中的 分 子部 分 按

是 样本 平 均数

除之

、

例

区

,

今有甲

乙 两 个水 稻 品种 比 较 试 验

,

值 的 定义

以相应 的 标 准 差

,

于 田 间 以 该 两 个 品 种 成 对栽 培

共种 值

对小

在 这 里 是 样本 平均 数 差 数的标 准 差

各对 小 区 产量 如下

水 稻 甲

配对 号

甲品 种

乙 品种

乙 两 品 种 配 对 比 较

曰 目 ,

! ∀

!! #

甲一 乙

一 1

3

0

5

1

甲

、

乙 两 品种 小 区 产 量 的平 均数 差 数 为 :

3

4 3

s

‘

二

甲品 种 平均 x 甲 = 乙 品种 平均 x 乙 二

d = x

、

. 0 8

. 6

。 6 = 3 。 4

了

S J

艺 (d

‘

一

: 己)

玲 一 1

‘ )

则 可 计 算 出 差 数标准 差 (s

又据

. 甲 一 x 乙 = 3 8 0 一 34

. , ) 从 甲 乙 两 品种 的 平 均 数 差 数 ( 3 4 看 似乎 甲 品种 比 乙 品种 高 产 ; 但从 各 试 区 的 产 量

S了 一

认万 :

s 则 平均 数 差 数 标 准 差( 力为

看

,

也 出现 两 品 种 平 产 甚 至 乙 品 种 比 甲 品 种 高

。

S了 二

S

J

产的

由此 也 可 见

,

对 两 品种 产量 差 异 的 显 著

。

7

育

=

=

了

_

乏 (d

竹

。

一

d )

么

(玲 一 1 )

性进 行检验 确有 必 要 从 上 表 的 10对 小 区产 量可 计 算 出1 个 产 量 0

,

兰 胆鱼 些丝 n

(玲 一 1)

。

差数

,

今按 上 例 计 算 s 了 值

。

0丁 二

I

二 丈 x ) 么+

3 , +

(

以

—

一

一一一一 一一二 下几下 灭一 一 、I U 一 1 I

I U

一 2 ),

t = . 3

+

… + 91 一 面派不丽

一 万下厂

—

则

查 附表

=

撇

1 二 1 0

=2

・

8

. 8

—

P

二 . 0 0 5

= SJ

_ l

r

芝 (x

:一

2 不) +

x : 2

: 乏 (x 一

不)

(

柞1 一 1 ) +

n : 一 1 ( )

式中

艺 (朴

一 l x

,

艺 扭 :一

) :

)

为 第 一 样本 的 平方 和

n ( : 一

为 第 二 样本 的 平方 和 ,

, (

) 1

为

第 一 样本 的 自由度

一 1 二 9

2 5 0

作: 一

) 1

为 第二 样 本 的 自

当 自由 度 二 玲 一

t 二 2

时

由度

。

.

2 6 2

,

P

=

. 0 o l

上 式 转 换成 计 算式 为 s

二

:

n z

t = 2 .88) 2 .362 . 因此 P

、

了

艺X

卜

雌, x

}

+

艺x ; 一

无 ;

柞 x + ”: 一 2 (。

;

一 艺 x ; + 艺x 委

J

欢+

作: +

n:x ;)

林: 一 2

,

”: + n : 一 2

以 表示之 )

(

。

混 合标 准 差 的 自由度 =

二 ) 非 砚 对 比较 法

, ,

在某 些 情 况 下 进 行两 个 样本 的比 较时 并 不 具备配 对 的条件 如 对 一 些生 产性 的调查 分

析

,

: s 则 样本平 均数 差 数标 准 差( 刀为 _ /了下 r

。万 = 。

闷可 ,

可

或从 两 个大 的 群体 中随机 抽 样调查 等

,

,

这

J

_

艺x t + 艺x

n + 卜 ( 万;

,

柞:

) 万里

柞z +

打: 一 2

就 不 一 定 能获得成 对 的 变数

也 就使 我 们 不 可

能 以配 对 法 的方 式从所 获 的差 数 ( d ) 来 计 算

平 均数 差 数标 准 差 (S 力

。

例

我们 能 获 得 两 组 样

。

:

尸 柞x X 耳z

五 压三 二

“

为 测 定水 稻品 种 红 梅早 及

,

。

”

“

广 陆播

在非 配对 的 比较 中

,

4号

”

主 茎 每穗 粒 数 的 差 异

“

”

今 在同 一 块 田 中

”

本

,

可 以 计算 出两 组 样 本的 混合 标准 差 ( S )

种植 这两 个

品种

主 穗,

所 谓 混 合 标准 差 就是 以 混 合 的 自由度 除 以混 合 : 的平 方 和 再 开平 方 即 得

对 红 梅 早 随 机 抽 取 18 个 “ , 0 对 广 陆矮 4 号 随 机 抽 取 2 个 主 穗

。

水稻

“

红梅早

”

及

“

得 每穗粒 数资料如 下 ” 广 陆矮 4 号 主 茎每 穗粒 数

x := 15 1

。 C 6

” 一二 1 3

x : =

1 3 3

。 0 5

价

二

2 0

按 上 列 资 料 计 算 混合 标 准差

s=

= J = J

刁

(

艺x t + 芝 x ; 一

炸; +

(

执x : +

炸: x :

)

n : 一 2

一 82 + 184么+ 6

… + 1 4 5 :) + ( 13 9息 +

1 2 3

: +

“ … + 13 1 )

一 ( 1 8 x

15 1

.

0 6

忍

、 2 0 义 1 3 3 . 0 5 2 )

1 8 +

。 8 9 5 _

2 0 一 2

39 13

3

。

1 3

8

5

8

6

州

。万 =

_ 下丁 。 宁 闷可 可 一

。 11

。 5 0 2

,

。

’

。:

。 l

一 f

几 。

。

四 阿丽

丁 工

’

虽 然 相差 3 斤 2

,

但 实际上两 品种 的 产 量 并不 存

,

,

加

在本 质 差 异

叶青 8 号

,

”

。

这 表明

,

= 4 : 求 t值

, =

产 的 差 数就 下 结 论

如果 我们 只 根据平 均 亩 “ 认为 珍珠 矮 n 号 比 窄

“ ”

。

三里

二竺

万了

兰=

. , 丝丛卫 尽 ;玉些 = 4 000 草

4

。 S U

艺

附表

20 . 0 1

高产 则这个 结论 是 不 够可 靠 的 P = 0 .05 及 P = 0 . 0 的 才 值 表 1

0 .0 5

}

查 附表

一 2 = 3 6

:

当 自 由度 =

P

昨: +

柞: 一 2 =

1 8 + = 0

时

0

,

二 0

.

05

t = 2

.

042 ,

P

值

由

、 \ \

}

}

0

}

。 0 1

才= 2

。 7 5

, : t 6 注 值 表 中 没 有 自由度 = 3 的 t 值 , 今 取 自由度 = 3 的 t 值 实际 上 是把显 著 标 准 0

(

度

1

\

、 } . 1 2 7 0 6 6 3

。 6 5 7

_

么

3

。 3 0 3 9

。 9 2 5

稍为 提 高 了 . 今 t= 4 因 此 P

)

。 . 0 0 0 > 2 7 5 0

。

。 1 8 2 5

。 4 8 1

。 2 7 7 6

。 4 0 0 4

。 2 5 7 1

。

4

0

3

2

。 2 4 4 7 3

。 7 0 7

,

。

8 5 7 6 2 18 n79 034 112 6 0 2 9 80 53 46 2

。

3

6

5

3

4

9

9

表 示之 ) 例

1 0

。

。

。 。 3 0 6 3 3 5 5

2

:

今 在一 个 生 产 队调 查

,

,

“

珍 珠矮 n 号

, “

”

2

。 2 6 2 3

。 2 5 0

块 田 的 产量

得平 均 亩 产7 4 斤 标 准 差 4 6 5

。 2

2

。 2 2 8 3

。 1 6 9

。

斤 同 时选 择 肥 力 相近 的 田 块 调 查 窄 叶 青 8 号 ” 1 块 田 平 均 亩 产 7 斤 标 准 差 37 8

,

。

2 0 1

2

3

1

0

6

。

2

。

罕

,

・

1

7

9

3

0

5

5

6

。 2 1 6 0

3

。 0 1 2

斤

。

问 该 两 品 种 的产 量 有无 本 质 差 异 ? : 由上 面所 提供 的数 据为 . , , : : 珍 珠矮 11号 X = 754 S = 4 6 2

件 一=

1 0 0

。 2 1 4 5 2

。 9 7 7

。 2 1 3 1 2

。 9 4 7

。

2

。

1

2

0

2

9

2

1

。

。 1 1 0 2 8 9 8

2

窄叶 青 8 号

据 以上 数 据

(S 万) :

S

x := 722 ,

柞: =

,

5

2 =

3 7

. 6

,

2

。 1 0 1 2

。 8 7 8

。

。 0 9 3 2 8 6 1

18

2

。

。 0 8 6

2

计算 平 均 数 差 数 标 准 差

. 5 7

‘ ~

2

8

4

5

。

。

0 8 0

2

2

8

3

1

丁=

_ l I

,

. , 获下 万 _l飞 2 忑 万 ss f n: - — = 1eee — 件x , I U

s 二e : w e

。 0 8 8

。

。 0 7 4

. 6

恋

2

2

8

1

9

宁

~一~ 二~ 二尸 ~ ~ . I 吕

。 2 0 5 9 2

。 8 0 7

。 2 0 6 4 2

。 7 9 7

17

。

。 0 6 0

2

则

I t= X 一

X

名

754 一

1 7

。 0

2

7

8

7

7 2 2

= 8 8 l

。 8 7 3 2

。 0 5 6

。

衡

查 附表

当 自由度 =

P =

2

7

7

9

。 2 0 5 2 2

。 7 7 1

。 2

。 0 4 8 2 7 6 3

玲: +

。

作: 一 2 一 1 0 + P

0 5 6

= 1 8 一 2

o l t = 2

2 6

。 7

时

2

。 0 4 5

2

。 7 6 5

0

。 0 5 。

1

t

=

2

,

,

6

二 0

。

7

9

。

。 0 4 2 2 7 5 0

2

今 结论

差异

。

护

。

8

7

3

2

0

5

因此 P > 0

,

。 0 5

。 2 0 2 1 2 。 7 0 4

两 品 种 产量 差 异 不 显 著

,

即无 本 质

。 2 0 0 0 2

。 6 6 0

120

两 品种 平 均亩产

月 J 洲

。 1 9 8 0 2

。 7 1 7

。

1

。

从 上面 的分 析结果 可见

9

6

0

2

5

7

6