[有理数]奥数专题练习

《有理数》奥数专题练习

一、填空题.

1．绝对值小于4的整数是 ±3，±2，±1，0 ，其中 –3 最小，0，1，2， 3 是非负数， 0 的绝对值最小；

2. a - b的相反数是 b – a ，如果 a≤b ,那么 | a – b | = b – a ;

3. 若a,b,c 在数轴上位置如图所示，那么|a|–|b – c| + |c| = -a + b ;

a b 0 c

4. 如果 m -1

1-m =1, 那么 m

5. 如果每个人的工作效率都相同，且a 个人b 天做c 个零件，那么b 个人

a 2

做a 个零件所需的天数为 。 c

略解：1个人1天做

a c 个零件，那么b 个人做a 个零件所需的天数为 ab a a 2

==. c c c b ⋅ab a

6. 观察下列算式：

4 × 1 × 2+1=32

4 × 2 × 3+l=52

4 × 3 × 4+l=72

4 × 4 × 5+1=92

用代数式表示上述的规律是 . 4a (a +1) +1=(2a +1) 2

7. 701班连班主任一起共48人到公园去划船. 每只小船坐3人，租金20元，每只大船坐

5人，租金30元. 他们租船要付的最少租金是 290 元.

1118．2011减去它的，再减去剩余数的，再减去剩余数的，…，依此类推，一直到减234

1去剩余数的，那么最后剩余的数是 1 . 2011

二、判断题（每小题2分，共16分）：

1．若 a + b = 0，则 |a|=|b| (√)

2. 若|a|=|b|，则 a = b (×)

3. 若|a|=|b|，则a + b = 0 (×)

4. 若ab ≥0，则a ≥0且b ≥0 (×)

5. 若ab = 0，则 a=0或 b=0 (√)

6. 若a b2 (√)

7. 若 a

8. 若 a3 > b3，则a 2 > b2 (×)

提示：设 a = -0.1, b = -0.2,虽有(-0.1)3 > (-0.2)3, 但却有

(-0.1)2

三、选择题（每小题4分，共24分）：

1．把0。0068 用科学记数法表示为6。8 ×10n ，则n 的值是（A ）

（A ） -3 （B ） -2 （C ） 3 （D ） 2

b 2. 若a 和互为相反数，则a 的负倒数是（D ） 2

b 2 （A ） -2b （B ） （C ）b （D ） 2b

3. 如果是a 负数，那么 –a, 2a , a + |a| ,a 这四个数中, 也是负数 a

的个数是（ B）

（A ） 1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

4. 设x 是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（ D ）

（A ）2008x （B ）x + 2008 （C ）|2008x| （D ）|x| + 2008

5. 如果a,b 都是有理数，且有b

（A ） a

（C ） a + b

6. 如果a 是有理数，那么下列说法中正确的是（D ） 1 (A) (a +) 2是正数 (B) a2 +1 的值大于1 2

11 (C) -(a -) 2 的值是负数 (D) -(a -) 2+1 的值不大于1 22

提示：要考虑a 是负数或0的情形；当a =0时，a 2 + 1 = 1，所 以

11 （B ）不正确；当a =时，-(a -) 2= 0，所以（C ）不正确； 22

11 当a =-时，有(a +) 2 = 0， 所以（A ）不正确； 22

1111 当a =时，-(a -) 2+1 = 1；当 a ≠时，-(a -) 2+1

1 所以说-(a -) 2+1 的值不大于1。应选（D ）。 2

7．如果a 是有理数，代数式2a +1+1的最小值是（ A ）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

8．如果 a a +b

b +c

c =1，则abc

abc 的值为（ A ）

（A ）-1 （B ）1 （C ）±1 （D ）不确定

9．如图是一块矩形ABCD 的场地，长AB=102m，宽AD=51m，从A 、B 两处入口的中路宽

都为1m ，两小路汇合处路宽为2m ，其余部分种植草坪，则草坪面积为（ C ）

（A ）5050m2 （B ）4900m2

（Ｃ）5000m2 （Ｄ）4998m2

四、计算（每小题6分，共30分）：

5321． 3. 34⨯(-22) +5. 84⨯-4-(-+) ⨯12 1243

532 解：3. 34⨯(-22) +5. 84⨯-4-(-+) ⨯12 1243

=3. 34⨯(-4) +5. 84⨯⨯4-5+9-8

=（5. 84-3. 34) ⨯4-4

=（5. 84-4. 34) ⨯4

= 1. 5⨯4

= 6；

1⎡532．⨯⎢4. 85÷-(3. 6-6. 15⨯34⎣185

1⎡53解：⨯⎢4. 85÷-(3. 6-6. 15⨯34⎣185

1⎡[1**********]-⨯ =⨯⎢⨯-(4⎣2055205219)]-[1. 75⨯⎛)-5. 5] 1+⎝321219)]-[1. 75⨯⎛)-5. 5] 1+⎝3217⎛3519⨯ +4⎝2121)]-[)11] 2

[1**********]11 =⨯(+-1) -⨯+ 4202054212

118911 =⨯10⨯-+ 4522

= 9 + 1

=10。

注意逆用乘法分配律使运算简便。

五、（本题10分）三个互不相等的有理数，既可以表示为 1, a+b, a的形式，也可以表

b 示为0, , b 的形式, 试求 a2001+b2002 的值，并说明理由。 a

略解：由已知，着三个数中有0和1，且 a≠0 ，所以必有 a + b = 0,

b 也就是a = - b，于是可知 = -1 ，由此可得 a = - 1 , b = 1 ， a

则有

a2001+b2002

= （ - 1 ）2001 + 12002

= -1 + 1

= 0。

附加题（20分）：

1111) +(2+) +(3+) +……+(20+); 1⨯22⨯33⨯420⨯21

（2） 推出（1）中个括号相加的情形，用关于n 的代数式来表示S 。

1111简解：（1） S = （1 + 2 + 3 +……+20 ）+(+++...... +) 1⨯22⨯33⨯420⨯21

1111111 = 21⨯10 + （1-) +(-) +(-) +...... +(-) 223342021

1 = 210 + （1 - ) 21

20 = 210; 21 （1）求值：S = (1+

（2） S = （1 + 2 + 3 +……+n）+[1111+++...... +1⨯22⨯33⨯4n (n +1) ] n (n +1) n n (n +1) 2+2n n 3+2n 2+3n n (n +1) 1+==. = +(1-) =2n +12(n +1) 2(n +1) 2n +1

注意：得到横线上的等价结果即得满分。