初等与高等数学公式与定理

常见公式

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系

a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

48定理 四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）³180° 51推论 任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

[**************]2平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 矩形性质定理2 矩形的对角线相等 矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a³b）÷2

67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L³h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性质 如果a ／b=c／d, 那么(a±b)／b=(c±d)／d 85 (3)等比性质 如果a ／b=c／d=„=m／n(b+d+„+n≠0),那么 (a+c+„+m)／(b+d+„+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA ） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS ） 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS ）

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线

109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等

115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径

119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角

121①直线L 和⊙O相交 d＜r

②直线L 和⊙O相切 d=r

③直线L 和⊙O相离 d＞r

122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等

131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项

132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r＜d ＜R+r(R＞r)

④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d ＜R-r(R＞r)

136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理 把圆分成n(n≥3):

⑪依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形

⑫经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形

138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139正n 边形的每个内角都等于（n-2）³180°／n

140定理 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形

141正n 边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n 边形的周长

142正三角形面积√3a／4 a表示边长

143如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k³(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

144弧长计算公式：L=n兀R ／180

145扇形面积公式：S 扇形=n兀R^2／360=LR／2

146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

（还有一些，大家帮补充吧）

实用工具:常用数学公式

公式分类 公式表达式

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)

ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))

tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))

ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n 项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+„+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+„+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+„+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+„+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+„n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+„+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b ）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S' 是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

基本公式 (1)抛物线

y = ax^2 + bx + c （a≠0） 就是y 等于a 乘以x 的平方加上 b乘以x 再加上 c 置于平面直角坐标系中 a > 0时开口向上 a 0时函数图像与y 轴正方向相交 c

一般用于求最大值与最小值和对称轴

抛物线标准方程:y^2=2px

它表示抛物线的焦点在x 的正半轴上, 焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2

由于抛物线的焦点可在任意半轴, 故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

(2)圆

球体积=（4/3）π(r^3)

面积=π(r^2)

周长=2πr =πd

圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 注：（a,b ）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0

（一）椭圆周长计算公式

椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb ）加上四倍的该椭圆长半轴长（a ）与短半轴长（b ）的差。

（二）椭圆面积计算公式

椭圆面积公式： S=πab

椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a ）与短半轴长（b ）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T ，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。常数为体，公式为用。

椭球物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*π*高

（3）三角函数

和差角公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ；sin(A-B)=sinAcosB - sinBcosA ； cos(A+B)=cosAcosB - sinAsinB ；cos(A-B)=cosAcosB + sinAsinB ； tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)；

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ；

cot(A+B)=(cosAcotB-1)/(cosB+cotA) ；

cot(A-B)=(cosAcotB+1)/(cosB-cotA) ；

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan^2A) ；cot2A=(cot^2A-1)/2cota ；

cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a ；

sin2A=2sinAcosA=2/(tanA+cotA)；

另：

sin α+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+„„+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 ；

cos α+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+„„+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 ；

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0；

四倍角公式：

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角公式： sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式： sin6A=2*(cosA*sinA)*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)

七倍角公式：

sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))

cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)

八倍角公式：

sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)

tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)

九倍角公式：

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))

tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

十倍角公式：

sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))

cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))

tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

万能公式：

sin α=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cos α=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tan α=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))

tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))

cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)； 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ； 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) ；-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) ； sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 ；

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) ；

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB； tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ； cotA+cotB=sin(A+B)/sinAsinB； -cotA+cotB=sin(A+B)/sinAsinB ； 降幂公式

sin²(A)=(1-cos(2A))/2=versin(2A)/2；

cos²(α)=(1+cos(2A))/2=covers(2A)/2；

tan²(α)=(1-cos(2A))/(1+cos(2A))；

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角 诱导公式

公式一：

弧度制下的角的表示： sin （2k π＋α）＝sin α （k∈Z） cos （2k π＋α）＝cos α （k∈Z） tan （2k π＋α）＝tan α （k∈Z） cot （2k π＋α）＝cot α （k∈Z） sec （2k π＋α）＝sec α （k∈Z） csc （2k π＋α）＝csc α （k∈Z） 角度制下的角的表示： sin (α+k²360°)＝sin α（k∈Z） cos(α+k²360°)＝cos α（k∈Z） tan (α+k²360°)＝tan α（k∈Z） cot （α+k²360°）＝cot α （k∈Z） sec （α+k²360°）＝sec α （k∈Z） csc （α+k²360°）＝csc α （k∈Z） 公式二： 弧度制下的角的表示： sin （π＋α）＝－sin α （k∈Z） cos （π＋α）＝－cos α（k∈Z）

tan （π＋α）＝tan α（k∈Z）

cot （π＋α）＝cot α（k∈Z） sec （π＋α）＝－sec α（k∈Z） csc （π＋α）＝－csc α（k∈Z） 角度制下的角的表示： sin （180°+α）＝－sin α（k∈Z） cos （180°+α）＝－cos α（k∈Z） tan （180°+α）＝tan α（k∈Z） cot （180°+α）＝cot α（k∈Z） sec （180°+α）＝－sec α（k∈Z） csc （180°+α）＝－csc α（k∈Z） 公式三： sin （－α）＝－sin α（k∈Z） cos （－α）＝cos α（k∈Z） tan （－α）＝－tan α（k∈Z） cot （－α）＝－cot α（k∈Z） sec （－α）＝sec α（k∈Z） csc －α）＝－csc α（k∈Z） 公式四： 弧度制下的角的表示： sin （π－α）＝sin α（k∈Z） cos （π－α）＝－cos α（k∈Z） tan （π－α）＝－tan α（k∈Z） cot （π－α）＝－cot α（k∈Z） sec （π－α）＝－sec α（k∈Z） cot （π－α）＝csc α（k∈Z） 角度制下的角的表示： sin （180°－α）＝sin α（k∈Z） cos （180°－α）＝－cos α（k∈Z） tan （180°－α）＝－tan α（k∈Z） cot （180°－α）＝－cot α（k∈Z） sec （180°－α）＝－sec α（k∈Z） csc （180°－α）＝csc α（k∈Z） 公式五： 弧度制下的角的表示： sin （2π－α）＝－sin α（k∈Z） cos （2π－α）＝cos α（k∈Z） tan （2π－α）＝－tan α（k∈Z）

sec （2π－α）＝sec α（k∈Z） csc （2π－α）＝－csc α（k∈Z） 角度制下的角的表示： sin （360°－α）＝－sin α（k∈Z） cos （360°－α）＝cos α（k∈Z） tan （360°－α）＝－tan α（k∈Z） cot （360°－α）＝－cot α（k∈Z） sec （360°－α）＝sec α（k∈Z） csc （360°－α）＝－csc α（k∈Z） 公式六： 弧度制下的角的表示： sin （π/2＋α）＝cos α（k∈Z） cos （π/2＋α）＝—sin α（k∈Z） tan （π/2＋α）＝－cot α（k∈Z） cot （π/2＋α）＝－tan α（k∈Z） sec （π/2＋α）＝－csc α（k∈Z） csc （π/2＋α）＝sec α（k∈Z） 角度制下的角的表示： sin （90°＋α）＝cos α（k∈Z） cos （90°＋α）＝－sin α（k∈Z） tan （90°＋α）＝－cot α（k∈Z） cot （90°＋α）＝－tan α（k∈Z） sec （90°＋α）＝－csc α（k∈Z） csc （90°＋α）＝sec α（k∈Z） ⒉ 弧度制下的角的表示： sin （π/2－α）＝cos α（k∈Z） cos （π/2－α）＝sin α（k∈Z） tan （π/2－α）＝cot α（k∈Z） cot （π/2－α）＝tan α（k∈Z） sec （π/2－α）＝csc α（k∈Z） csc （π/2－α）＝sec α（k∈Z） 角度制下的角的表示： sin (90°－α) ＝cos α（k∈Z） cos (90°－α) ＝sin α（k∈Z） tan (90°－α) ＝cot α（k∈Z） cot (90°－α) ＝tan α（k∈Z）

csc (90°－α) ＝sec α（k∈Z） 3 弧度制下的角的表示： sin （3π/2＋α）＝－cos α（k∈Z） cos （3π/2＋α）＝sin α（k∈Z） tan （3π/2＋α）＝－cot α（k∈Z） cot （3π/2＋α）＝－tan α（k∈Z） sec （3π/2＋α）＝csc α（k∈Z） csc （3π/2＋α）＝－sec α（k∈Z） 角度制下的角的表示： sin （270°＋α）＝－cos α（k∈Z） cos （270°＋α）＝sin α（k∈Z） tan （270°＋α）＝－cot α（k∈Z） cot （270°＋α）＝－tan α（k∈Z） sec （270°＋α）＝csc α（k∈Z） csc （270°＋α）＝－sec α（k∈Z） 4 弧度制下的角的表示： sin （3π/2－α）＝－cos α（k∈Z） cos （3π/2－α）＝－sin α（k∈Z） tan （3π/2－α）＝cot α（k∈Z） cot （3π/2－α）＝tan α（k∈Z） sec （3π/2－α）＝－sec α（k∈Z） csc （3π/2－α）＝－sec α（k∈Z） 角度制下的角的表示： sin （270°－α）＝－cos α（k∈Z） cos （270°－α）＝－sin α（k∈Z） tan （270°－α）＝cot α（k∈Z） cot （270°－α）＝tan α（k∈Z）

sec （270°－α）＝－csc α（k∈Z）

csc （270°－α）＝－sec α（k∈Z）

（4）反三角函数

arcsin （-x ）=-arcsinx arccos （-x ）=π-arccosx arctan （-x ）=-arctanx arccot （-x ）=π-arccotx arc sin x+arc cos x=π/2

arc tan x+arc cot x=π/2

（5）数列

等差数列通项公式：an ﹦a1﹢（n-1）d

等差数列前n 项和：Sn=[n(A1+An)]/2 =nA1+[n(n-1)d]/2

等比数列通项公式：an=a1*q^（n －1）；

等比数列前n 项和：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n （n≠1）

某些数列前n 项和：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+„+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+„+(2n-1)=n^2

2+4+6+8+10+12+14+„+(2n)=n(n+1)

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+„+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+„n^3=(n(n+1)/2)^2

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+„+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

（6）乘法与因式分解

因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^2±2ab+b^2=(a±b)^2 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3 乘法公式 把上面的因式分解公式左边和右边颠倒过来就是乘法公式

(7)三角不等式

-|a|≤a≤|a| |a|≤b-b≤a≤b |a|≤b-b≤a≤b |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| |z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1+z2+...+zn|≤|z1|+|z2|+...+|zn| |z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1-z2-...-zn|≤|z1|+|z2|+...+|zn| |z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1±z2±...±zn|≤|z1|+|z2|+...+|zn|

(8)一元二次方程

一元二次方程的解wx1= -b+√(b^2-4ac)/2a x2= -b-√(b^2-4ac)/2a 根与系数的关系(韦达定理) x1+x2=-b/a ; x1*x2=c/a

判别式△= b^2-4ac=0 则方d 程有相等的个实根

△>0 则方程有两个不相等的两实根

△

公式分类

公式表达式 圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 注：（a,b ）是圆心坐标 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：△=D^2+E^2-4F>0 抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c' *h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4π*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2π*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=π*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S' 是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=π*r2h 图形周长 面积 体积公式 长方形的周长=（长+宽）³2 c =2〔a+b〕 正方形的周长=边长³4 c=4a 长方形的面积=长³宽 s=ab 正方形的面积=边长³边长 s=a2 三角形的面积=底³高÷2 已知三角形底a ，高h ，则S ＝ah/2 已知三角形三边a,b,c, 半周长p, 则S ＝ √[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦秦九韶公式） （p= (a+b+c)/2） 和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4 已知三角形两边a,b, 这两边夹角C ，则S ＝absinC/2 设三角形三边分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r 则三角形面积=(a+b+c)r/2

设三角形三边分别为a 、b 、c ，外接圆半径为r

则三角形面积=abc/4r

已知三角形三边a 、b 、c, 则S ＝ √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶） 注：秦九韶公式与海伦公式等价

| a b 1 |

S△=1/2 * | c d 1 |

| e f 1 |

【| a b 1|

| c d 1| 为三阶行列式, 此三角形ABC 在平面直角坐标系内

A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里 | e f 1 |

ABC 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值， 如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】

秦九韶三角形中线面积公式:

S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

其中Ma,Mb,Mc 为三角形的中线长.

平行四边形的面积=底³高

梯形的面积=（上底+下底）³高÷2

直径＝ｄ＝２ｒ

圆的周长=πd= 2πr 圆的面积= πr^2 长方体的表面积= （长³宽+宽³高＋高³长）³2 s=2〔ab+bc+ca〕 长方体的体积 =长³宽³高 v=abc 正方体的表面积=棱长³棱长³6 s=6a^2 正方体的体积=棱长³棱长³棱长 v=a^3 圆柱的侧面积=底面圆的周长³高 s=ch 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 s=2╥r^2 圆柱的体积=底面积³高 v=sh 圆锥的体积=底面积³高÷3 v=sh÷3 柱体体积=底面积³高 平面图形 名称 符号 周长C 和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a^2 长方形 a和b －边长 C＝2(a+b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 其中s ＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 h －a 边上的高 ＝ab/2³sinC s －周长的一半 ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2

A,B,C －内角 ＝a^2sinBsinC/(2sinA)

几何公理

线 角

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补

三角形

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等

25 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

26 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

27 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 28 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

29 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

30 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

31 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 32 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 33 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

34 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

35 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

36 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

37 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

38 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 39 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

40 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 41 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

42 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

43逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

44勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^2

45勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系

a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

四边形

[***********]5556575859定理 四边形的内角和等于360° 四边形的外角和等于360° 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）³180° 推论 任意多边的外角和等于360° 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 矩形性质定理2 矩形的对角线相等

60矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

61矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

62菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

63菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

64菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a³b）÷2

65菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

66菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

67正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 68正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

69定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

70定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

71逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

72等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

73等腰梯形的两条对角线相等

74等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 75对角线相等的梯形是等腰梯形

76平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

77 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

78 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 79 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

80 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l³h

81 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d

82 (2)合比性质 如果a ／b=c／d, 那么(a±b)／b=(c±d)／d 83 (3)等比性质 如果a ／b=c／d=„=m／n(b+d+„+n≠0),那么 (a+c+„+m)／(b+d+„+n)=a／b

84 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

85 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

86 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

87 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

88 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

89 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa ） 90 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 91 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas ）

92 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss ）

93 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

94 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

95 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

96 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

97任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值

98任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

圆

99圆是定点的距离等于定长的点的集合

100

101

103

104

的圆

105

分线 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 同圆或等圆的半径相等 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平

106到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

107到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

108定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

109垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 110推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

111推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

112圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

113定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

114推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

115定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

116推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

117推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径

118推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

119定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

120①直线l 和⊙o相交 d﹤r

②直线l 和⊙o相切 d=r

③直线l 和⊙o相离 d﹥r

121切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

122切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

123推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

124推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

125切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

126圆的外切四边形的两组对边的和相等

127弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

128推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 129相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

130推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项

131切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项

132推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

133如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

134①两圆外离 d﹥r+r ②两圆外切 d=r+r

③两圆相交 r-r﹤d ﹤r+r(r﹥r)

④两圆内切 d=r-r(r﹥r) ⑤两圆内含d ﹤r-r(r﹥r)

135定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

136定理 把圆分成n(n≥3):

⑪依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形

⑫经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形

137定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

138正n 边形的每个内角都等于（n-2）³180°／n

139定理 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形

149正n 边形的面积sn=pnrn／2 p表示正n 边形的周长

141正三角形面积√3a／4 a表示边长

142如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k³(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

143弧长计算公式：l=nπr ／180

144扇形面积公式：s 扇形=nπr2／360=lr／2

[***********]内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r) 等腰三角形的两个底脚相等 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 三条边都相等的三角形叫做等边三角形 两边的平方的和等于第三边的三角形是直角三角形

数学归纳法

（—）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n 取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k 为自然数）时命题成立，证明当n=k+1是命题也成立。

（二）第二数学归纳法：

第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n 有关的命题，如果：

（1）当n ＝1回时，命题成立；

（2）假设当n≤k时命题成立，则当n ＝k+1时，命题也成立。 那么，命题对于一切自然数n 来说都成立。

（三）螺旋归纳法：

螺旋归纳法是归纳法的一种变式，其结构如下： Pi 和Qi 是两组命题，如果： P1成立 Pi 成立=>Qi成立 那么Pi,Qi 对所有自然数i 成立

利用第一数学归纳法容易证明螺旋归纳法是正确的

排列，组合

²阶乘：

n ！=1³2³3³„„³n，（n 为不小于0的整数）

规定0！=1。

²排列

从n 个不同元素中取m 个元素的所有排列个数，

A （n ，m ）= n！/(n - m)！ （m 是上标，n 是下标，都是不小于0的整数，且m≤n）

²²组合

从n 个不同的元素里，每次取出m 个元素，不管以怎样的顺序并成一组，均称为组合。所有不同组合的种数

C （n ，m ）= A （n ，m ）/m！=n！/［m ！²（n －m ）！］ （m 是上标，n 是下标，都是不小于0的整数，且m≤n）

◆组合数的性质：

C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);

对组合数C(n,k)，将n,k 分别化为二进制，若某二进制位对应的n 为0，而k 为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数

◆整次数二项式定理（binomial theorem）

(a+b)^n=C(n,0)³a^n³b^0+C(n,1)³a^(n-1)³b+C(n,2)³a^(n-2)³b^2+...+C(n,n)³a^0³b^n

所以，有 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)

=C(n,0)³1^n+C(n,1)³1^(n-1)³1+C(n,2)³1^(n-2)³1^2+...+C(n,n)³1^n =（1+1）^n

= 2^n

微积分学

极限的定义:

设函数f(x)在点x 。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x 满足不等式0

|f(x)-A|

那么常数A 就叫做函数f(x)当x→x。时的极限

几个常用数列的极限：

an=c 常数列 极限为c

an=1/n 极限为0

an=x^n 绝对值x 小于1 极限为0

导数：

定义：f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x=dy/dx 几种常见函数的导数公式： ① C'=0(C为常数函数) ； ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)； ③ (sinx)' = cosx； ④ (cosx)' = - sinx； ⑤ (e^x)' = e^x； ⑥ (a^x)' = (a^x) * Ina （ln 为自然对数） ⑦ (Inx)' = 1/x（ln 为自然对数 X>0） ⑧ (log a x)'=1/(xlna) ,(a>0且a 不等于1) ⑨(sinh(x))'=cosh(x) ⑩(cosh(x))'=sinh(x) (tanh(x))'=sech^2(x) (coth(x))'=-csch^2(x) (sech(x))'=-sech(x)tanh(x) (csch(x))'=-csch(x)coth(x) (arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1) (arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1) (arctanh(x))'=1/(1+x^2) (|x|

(arccoth(x))'=1/(1-x^2) (|x|>1)

(chx)‘=shx, （ch 为双曲余弦函数）

（shx ）'=chx: （sh 为双曲正弦函数）

（3）导数的四则运算法则：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

（4）复合函数的导数

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数（链式法则）：

d f[u（x ）]/dx=（d f/du）*（du/dx）。

[∫（上限h （x ），下限g （x ）） f（x ）dx]’=f[h（x ）]²h'（x ）- f[g（x ）]²g'（x ）

洛必达法则(L'Hospital)：

是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设

(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；

(2)在点a 的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；

(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大) ，那么

x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设

(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；

(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；

(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大) ，那么

x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。 ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等。 曲率

K = lim(Δs→0) |Δα/Δs|

当曲线y=f(x)存在二阶导数时,K=|y''|/(1+ y' ^2)^(3/2); 曲率半径R=1/K;

不定积分

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C 为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分。

记作∫f(x)dx。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C 叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C ，就得到函数f(x)的不定积分。

也可以表述成, 积分是微分的逆运算, 即知道了导函数, 求原函数. ²基本公式:

1）∫0dx=c;

∫a dx=ax+c;

2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c;

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4) ）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c; 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c;

16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;

17) ∫shx dx=chx+c;

18) ∫chx dx=shx+c;

19) ∫thx dx=ln(chx)+c;

²分部积分法:

∫u(x)²v'(x) dx=∫u(x) d v(x)=u(x)²v(x) -∫v(x) d

u(x)=u(x)²v(x) -∫u'(x)²v(x) dx.

☆一元函数泰勒公式(Taylor's formula)

泰勒中值定理：若f(x)在开区间（a ，b ）有直到n+1阶的导数, 则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x0) 多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!?(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!?(x-x0)^3+„„+f的n 阶导数?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)为拉格朗日型的余项，这里ξ在x 和x0之间。

定积分

形式为∫f(x) dx (上限a 写在∫上面，下限b 写在∫下面) 。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

牛顿-莱布尼兹公式：若F'(x)=f(x)，那么∫f(x) dx (上限a 下限b)=F(a)-F(b)

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。

微分方程

凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布? 贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程

特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。

如 二阶常系数齐次线性微分方程y''+py'+qy=0的通解:

设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1，r2。 1 若实根r1不等于r2 y=C1*e^(r1x)+C2*e^(r2x). 2 若实根r=r1=r2 y=(C1+C2x)*e^(rx) 3 若有一对共轭复根 r 1, 2=λ±ib ： y=e^（λx ）²[C1²cos（bx ）+ C2²sin（bx ）]