高一数学必修一函数经典题型复习

1集合

题型1：集合的概念，集合的表示

1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）

A ．{x |x +3=3} B ．{(x , y ) |y 2=-x 2, x , y ∈R } C ．{x |x 2≤0} D ．{x |x 2-x +1=0, x ∈R } 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ A A ．(A C ) (B C )

B ．(A B ) (A C ) C ．(A B ) (B C ) D ．(A B ) C

4．下面有四个命题：

（1）集合N 中最小的数是1；

（2）若-a 不属于N ，则a 属于N ； （3）若a ∈N , b ∈N , 则a +b 的最小值为2； （4）x +1=2x 的解可表示为{1, 1}；

2

B

其中正确命题的个数为（ ）

A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

题型2：集合的运算

例1．若集合A ={-1, 1}，B ={x |mx =1}，且A ⋃B =A ，则m 的值为（ D ）

A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0

例2. 已知A ={x -2≤x ≤5}，B ={x m +1≤x ≤2m -1}，B ⊆A , 求m 的取值范围。

解：当m +1>2m -1，即m

当m +1=2m -1，即m =2时，B ={3}, 满足B ⊆A ，即m =2；

⎧m +1≥-2

m +12B ⊆A 当，即时，由，得⎨即2

⎩2m -1≤5

∴m ≤3

变式：

1．设A ={x x +4x =0},B ={x x +2(a +1) x +a -1=0}, 其中x ∈R ,

如果A B =B ，求实数a 的取值范围。

2

2

2

222

C =x |x 2+2x -8=0 2．集合A =x |x -ax +a -19=0，B =x |x -5x +6=0，

{}

{}{}

满足A B ≠φ, ，A C =φ, 求实数a 的值。

3．设U =R ，集合A ={x |x 2+3x +2=0}

，B ={x |x 2

+(m +1) x +m =0}

；

若(C U A ) B =φ，求m 的值。

2. 函数

题型1. 函数的概念和解析式

例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）

⑴y (x +3)(x -5)

1=

x +3

，y 2=x -5；

⑵y 1=x +1x -1，y 2=x +1)(x -1) ；

⑶f (x ) =x ，g (x ) =

x 2；

⑷f (x ) =

F (x ) = ⑸f 1(x ) =(2x -5) 2，f 2(x ) =2x -5。

A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸

⎧例2．已知f (x ) =⎪x +2(x ≤-1) ⎨x 2

(-1

⎪⎩2x (x ≥2) A ．1 B ．1或32 C ．1，3

2

或 D

例3．已知f (1-x 1-x 2

1+x ) =

1+x 2

，则f (x ) 的解析式为（ ） A ．

x 1+x 2 B ．-2x 2x 1+x 2 C ．1+x 2 D ．-x

1+x 2

变式：

1．设函数f (x ) =2x +3, g (x +2) =f (x ) ，则g (x ) 的表达式是（ ）

A ．2x +1 B ．2x -1 C ．2x -3 D ．2x +7

11-x 2

2．已知g (x ) =1-2x , f [g (x )]=x

2

(x ≠0) ，那么f (2) 等于（ ） A ．15 B ．1 C ．3 D ．30 3．x 1, x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m -1) x +m +1=0的两个实根， 又y =x 21+x 22，求y =f (m ) 的解析式及此函数的定义域。

⎧3x 2-4(x >0)

4．若函数f (x ) =⎪

⎨π(x =0) ，则f (f (0))= ．

⎪⎩

0(x

函数y =

____________

例2+1) 定义域是[-2，3]，则y =f (2x -1)

的定义域是（ ） A ．[0，5

2

] B. [-1，4] C. [-5，5] D. [-3，7]

例3

（1

）函数y =2的值域是（ ）

A ．[-2, 2] B ．[1,2] C ．[0,2] D

．[

（2）函数f (x ) =⎧⎪⎨2x -x 2

(0≤x ≤3)

x 2+6x (-2≤x ≤0)

的值域是（ ）

⎪⎩A ．R B ．[-9, +∞) C ．[-8,1] D ．[-9,1] 例4

若函数y =x 2

-3x -4的定义域为[0,m ], 值域为[-

25

4

，-4]，则m 的取值范围是（ A ．(0, 4] B ．[32，4]

C ．[3

2

，3] D ．[32，+∞） 变式：

1．求下列函数的定义域 （1

）y =

（2）y =

x 2-1+-x 2

x -1

）

（3）y =

11-1-

11x -x

2．求下列函数的值域

（1）y =

3+x 5

（2）y = （3）y =-2x -x 4-x 2x 2-4x +3

2x 2-2x +3

3．利用判别式方法求函数y =的值域。

x 2-x +1

题型3 函数的基本性质 一．函数的单调性与最值

例1．已知函数f (x ) =x +2ax +2, x ∈[-5,5].

2

① 当a =-1时，求函数的最大值和最小值；

② 求实数a 的取值范围，使y =f (x ) 在区间[-5, 5]上是单调函数。 变式：

1．若函数f (x ) =a x -b +2在x ∈[0, +∞)上为增函数, 则实数a , b 的取值范围是 2．已知y =x +2(a -2) x +5在区间(4,+∞) 上是增函数，

则a 的范围是（ ） A . a ≤-2 B . a ≥-2

2

C . a ≥-6 D . a ≤-6

二。函数的奇偶性

例题1：. 已知函数 f ( x ) = a + x 是奇函数，则常数 a =

解法一： f(x)是奇函数，定义域为R

1

4+1

∴f(0)=0 即 a +41+1=0∴a =-1

2

例题2：. 已知函数f (x ) =ax +bx +3a +b 是偶函数，定义域为[a -1, 2a ]，

2

则f (0) = (C )

A. 1 B. 2 C. 1 D. -1

33

例题3．已知f (x ) =x 5-ax 3+bx +2, 且f (-5) =17，则f (5) 的值为( A ) A ．－13 B．13 C．－19 D．19 练习．

已知f (x ) =ax 5+bx 3+cx +5(a , b , c 是常数) ，且f (5)=9，则f (-5) 的值为． （2）已知f (x ) 为R 上的奇函数，且x >0时f (x ) =-2x 2+4x +1，则f (-1) =____-3 例题5：若定义在R 上的函数f (x ) 满足：对任意x 1, x 2∈R , 有f (x 1+x 2) =f (x 1) +f (x 2) +1， 下列说法一定正确的是（C ）

A 、f (x ) 是奇函数 B、f (x ) 是偶函数 C f (x ) +1是奇函数 D、f (x ) +1是偶函数

练习：已知函数y =f (x ) 的定义域为R ，且对任意a , b ∈R ，都有f (a +b ) =f (a ) +f (b ) ，

求证：（1）函数y =f (x ) 是奇函数．（2）函数是减函数

证明： 由f (a +b ) =f (a ) +f (b ) 得f (x -x ) =f (x ) +f (-x ), 即f (x ) +f (-x ) =f (0)

令a =b =0得f (0+0) =f (0) +f (0), 即f (0) =0∴f (-x ) =-f (x ) ∴函数y =f (x ) 是奇函数

函数的单调性

证明函数单调性的步骤：

第一步：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1

例题2. 函数y =x 2+bx +c (x ∈(-∞,1)) 是单调函数时，b 的取值范围 （ ）.

A ．b ≥-2 B ．b ≤-2 C ．b >-2 D ． b

（1）若函数y =x +(2a -1) x +1在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是(B)

2

A ．[－

355，+∞） B．（－∞，－3] C．[，+∞） D．（－∞，]

2222

（2） 函数f (x ) =x 2-2x 的单调增区间是（ ）

A. (-∞,1] B. [1,+∞) C. R D. 不存在

（3） 在区间(-∞,0) 上为增函数的是（ ）

2

A ．y =-2x B ．y =

x

C ．y =|x | D ．y =-x 2

例题： 已知f (x ) 是定义在(-1,1) 上的减函数，且f (2-a ) -f (a -3)

练习 (07福建) 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f 是（C ）

A. (-1, 1) B.(0, 1) C. (-1, 0) (0, 1) D.(-∞, -1) (1, +∞) 函数的单调性

⎛1

⎝x ⎫⎪⎪

+∞) 上为增函数，且f (1)=0，例题1．已知定义域为(-∞,0) (0, +∞)的偶函数f (x ) 在(0，

则不等式x ⋅f (x ) >0的解集为． (-1,0) (1, +∞) 练习：

（1）已知定义在R 上的偶函数f (x ) 在(-∝, 0]上是减函数，若f () =0，则不等

1

2

1

f (log4x ) >0的解集是(0, ) (2, +∞)

2

（2）设f (x ) 是奇函数，且在(0,+∞) 内是增函数，又f (-3) =0，则x ⋅f (x )

A 、x |-33 B 、x |x 3 D、x |-3

{}{}

{}{}

5px 2+2

练习：已知函数f (x ) =是奇函数，且f (2)=-.

3q -3x

（1）求函数f (x ) 的解析式；

（2）判断函数f (x ) 在(0,1)上的单调性，并加以证明．

解：（1）∵f (x ) 是奇函数，∴f (-x ) =-f (x ) ，………2分

px 2+2px 2+2

=-即，整理得：q +3x =-q +3x ∴q=0 ………4分 q +3x q -3x

又∵f (2) =-，∴f (2) =

4p +25

=-， 解得p=2 …………6分 -632x 2+2

∴所求解析式为f (x ) = …………………………………………7分

-3x 2x 2+221

（2）由（1）可得f (x ) ==-(x +) ，

-3x 3x

5

3

设0

23

23

11211) -(x 1+)]=[(x 2-x 1) +(-)] x 2x 13x 2x 1

=[(x 2-x 1) +

x 1-x 21-x 1x 2212

]=(x 1-x 2)(-1) =(x 1-x 2) ⨯………13分 x 1x 23x 1x 23x 1x 2

因此，当0

∴f (x ) 在(0,1)上递增． ………………………15分