与等腰三角形有关的证明题
与等腰三角形有关的证明题
等腰三角形是特殊的三角形之一,它具有许多特性,因此,以等腰三角形为背景的证明题特别受到中考命题者的青睐,常以此考查同学们对等腰三角形性质的掌握情况及运用能力。
例1.如图1,等腰△ABC中,AB=AC,AD是顶角∠BAC的外角的平分线。
求证:AD∥
BC
图1
分析:要证AD∥BC,只需证明同位角∠1=∠B(或内错角∠2=∠C)即可,而这些角究竟有什么关系呢?考虑已知条件AB=AC,知∠B=∠C。
AD平分∠BAC的外角,得∠1=∠2
又∠1+∠2=∠B+∠C(三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和)
由这三个相等关系即可得:∠1=∠B
故AD∥BC成立。
例2.如图2,等腰△ABC中,AB=AC,D是AB边上一点,E是AC延长线上一点,且BD=CE,DE交BC于F。
求证:DF=
EF
图2
分析:要证DF=EF,只需设法证明DF与EF所在的三角形全等,但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大,故应考虑添加辅助线。
作DG∥AC,交BC于G,则∠DGB=∠ACB
从而∠DGF=∠ECF(等角的补角相等)
由AB=AC,得∠B=∠ACB
从而∠DGB=∠B,DG=BD=CE
在△DFG与△EFC中,∠DGF=∠ECF,∠DFG=∠EFC(对顶角相等)
故∠GDF=∠FEC
又DG=CE,所以△DFG≌△EFC
所以DF=EF
例3.如图3,等腰△ABC中,AB=AC,D是BC上任一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:DEDF为定值。
图3
分析:所谓定值是指不论点D在底边BC的何处,DE+DF的大小总是等于已知的或隐含的某条线段的长,也就是说定值是一个常量。那么本题的定值究竟是多少呢?我们可以考虑点D所在的特殊位置,当点D与点B重合时,DE的长度为0,DF等于AC边上的高,可见,(DE+DF)的定值是腰上的高,因此,作△ABC的高BG,然后只需证明DE+DF=BG即可。
要证DEDFBG,可在BG上截取GH=DF,然后只需证BH=DE。连接DH,则只需证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形,从而DH∥AC,∠BDH=∠C,∠BHD=∠DHG=90°=∠BED。又AB=AC,∠EBD=∠ABC=∠C,所以∠BDH=∠EBD。所以∠EDB=∠DBH。又BD为公共边,所以△BDE≌△DBH。
如果注意到高,联想到三角形面积,则可采用如下简单的证法:
则由SABDSACDSABC,得:
1
212AC·DFSABC AB·DE
又AB=AC
DEDF2SABC
ACAC边上的高=定值
例4.如图4,等腰△ABC中,AB=AC,D是AB边上一点,E是AC延长线上一点,且BD=CE。
求证:DE>
BC
图4
分析:要证DE>BC,由于它们不是同一个三角形的两边,故应先考虑通过添加辅助线把它们迁移到同一个三角形中。把DE沿AB平移到BF,连接EF、CF,则只需证明∠BCF>∠BFC。易知四边形BDEF是平行四边形,所以
∠DEF=∠DBF,EF=BD=CE,∠ECF=∠EFC
又∠BCF180∠ACB∠ECF
∠BFC∠BFE∠EFC180∠DEF∠EFC
而∠DEF∠DBF∠ABC∠ACB
所以∠BCF>∠BFC
故DE>BC
1.等腰△ABC中,AB=AC,D是底边BC延长线上一点。
求证:AD2AB2BD·DC
2.等腰△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC上的点(中点除外),且BD=AE。 求证:DE
12BC