高中数学排列组合相关公式
排列组合公式——熊雄
排列定义：从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
组合定义：从n 个不同元素中取r 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n 个中取r 个的无重组合。组合的个数用C(n,r)表示。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于
(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要
较强的抽象思维能力；
(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词) 准确理解；
(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
1. 分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，„，在第n 类办法中有m n 种不同
种不同的方法．
2. 分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做
第2步有m 2种不同的方法，„，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事
2. 怎样做才能完成所要做的事, 即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序) 还是组合(无序) 问题, 元素总数是多少及取出多少个元素.
4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
具体情况分析
一. 特殊元素和特殊位置优先策略
例1. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排,
占了这两个位置.
1
先排末位共有C 3
1
然后排首位共有C 4
443 最后排其它位置共有A 43
113
C 3A 4=288 由分步计数原理得C 4
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中
间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二. 相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的
排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也
看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A 55A 22A 22 480种不同的排法
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有
3枪连在一起的情形的不同种数为
20
三. 不相邻问题插空策略
例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱, 舞蹈节目不能
连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A 55种，第二步将4
4
舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A 6
4A 不同的方法, 由分步计数原理, 节目的不同顺序共有A 556种
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四. 定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队, 其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元
素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几
3
个元素之间的全排列数, 则共有不同排法种数是：A 77/A 3
4
(空位法) 设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A 7种方
4
法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有A 7种
方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法) 先排甲乙丙三个人, 共有1种排法, 再把其余4四人依次插入共有 方法
练习题:10人身高各不相等, 排成前后排，每排5人, 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
5
C 10
五. 重排问题求幂策略
例5. 把6名实习生分配到7个车间实习, 共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法. 把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推, 由分步计数原理共有76种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为m n 种
练习题：
1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人, 他们到各自的一层下电梯, 下电梯的方法78
六. 环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐, 共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所
以固定一人A 4！4并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）种排法即7！
E A B C D E F G H A
一般地,n 个不同元素作圆形排列, 共有(n-1)!种排法. 如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆 1m
形排列共有A n n
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七. 多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排, 每排4人, 其中甲乙在前排, 丙在后排, 共有多
解:8人排前后两排, 相当于8人坐8把椅子, 可以把椅子排成一排.
1A 个特殊元素有A 2种, 再排后4个位置上的特殊元素丙有44种,
215
A A A 其余的5人在5个位置上任意排列有A 5种, 则共有5445种
后 排
一般地, 元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑, 再分段研
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人
就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八. 排列组合混合问题先选后排策略
例8. 有5个不同的小球, 装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C 52种方法. 再把4
个元素(包含一个复合元素) 装入4个不同的盒内有A 44种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C 52A 44
练习题：一个班有6名战士, 其中正副班长各1人现从中选4人完成
四种不同的任务, 每人完成一种任务, 且正副班长有且只有1人参加, 则不同的选法有 192 种
九. 小集团问题先整体后局部策略
例9. 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹
1, ５在两个奇数之间, 这样的五位数有多少个？ 解：把１, ５, ２, ４当作一个小集团与３排队共有A 22种排法，再
2222
排小集团内部共有A 22A 2种排法，由分步计数原理共有A 2A 2A 2
种排法.
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
１. 计划展出10幅不同的画, 其中1幅水彩画, ４幅油画, ５幅国画, 排成一行陈列, 要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩
54
画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A 22A 5A 4 2. 5男生和５女生站成一排照像, 男生相邻, 女生也相邻的排法有55
A 22A 5A 5种
十. 元素相同问题隔板策略
例10. 有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形
成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C 96种分法。
一班二班三班四
班六班七班
将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）, 每份至少一个元素, 可以用m-1块隔板， m -1
插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C n -1
练习题：
1． 10个相同的球装5个盒中, 每盒至少一有多少装法？ C 94
3
2 .x +y +z +w =100求这个方程组的自然数解的组数 C 103
十一. 正难则反总体淘汰策略
例11. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数, 不同的 取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难, 可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数, 所取的三个数含有3个
12
C 5, 和为偶数的取法偶数的取法有C 53, 只含有1个偶数的取法有C 5
123
C 5+C 5共有C 5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法123C 5+C 5-9 共有C 5
有些排列组合问题, 正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷, 可以先求出 它的反面, 再从整体中淘汰.
练习题：我们班里有43位同学, 从中任抽5人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二. 平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆, 每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得C 62C 42C 22种方法, 但这里出现重复计数的现象, 不
妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB, 第二步取CD, 第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则C 62C 42C 22中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A 33种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法, 故共
3
有C 62C 42C 22/A 3种分法。
n
平均分成的组, 不管它们的顺序如何, 都是一种情况, 所以分组后要一定要除以A n (n 为均分的 组数) 避免重复计数。
练习题：
1 将13个球队分成3组, 一组5个队, 其它两组4个队, 有多少分
542C 84C 4/A 2法？（C 13）
2.10名学生分成3组, 其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组, 有多少种不同的 分组方法 （1540）
3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安
22/A 2 90） 排2名，则不同的安排方案种数为______（C 42C 22A 6
十三. 合理分类与分步策略
例13. 在一次演唱会上共10名演员, 其中8人能能唱歌,5人会跳舞,
现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目, 有多少选派方法 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C 32C 32种, 只会唱的5
112
C 3C 4种, 只会唱的5人中只有2人中只有1人选上唱歌人员C 5
人选上唱歌人员有C 52C 52种，由分类计数原理共有
112
C 3C 4+C 52C 52种。 C 32C 32+C 5
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做
到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
练习题：
1.
从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人, 他们任选2只船或3只船, 但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
十四. 构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯, 现要关掉其
中的3盏, 但不能关掉相邻的2盏或3盏, 也不能关掉两端的2盏, 求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C 53 种
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120） 十五. 实际操作穷举策略
例15. 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子, 现将5个球投入这五个盒子内, 要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有C 52种还剩下3球3盒序号
不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法, 由分步计数原理
有2C 52种
4号盒 5号盒
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果
练习题：
1. 同一寝室4人, 每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9) 2. 给图中区域涂色, 要求相邻区 域不同色, 现有4种可选颜色, 则不同的着色方法有 72种
13
25
4
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5
× 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2, 再从其余5个因数中任取
若干个组成乘积，
135+C 52+C 5+C 54+C 5所有的偶因数为：C 5
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共C 84-12=58, 每个四面体有
十七. 化归策略 例17. 25人排成5×5方阵, 现从中选3人, 要求3人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵, 现从中选3人, 要求3人不在同一行也不在同一列, 有多少选法. 这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后, 把这人所在的行列都划掉，
11
1
如此继续下去. 从3×3方队中选3
从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题. 从取3行3列有C 53C 53选法所以从5×5111
C 2C 1选法。 在同一列的3人有C 53C 53C 3
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，
从A 走到B 的最短路径有多少种？(C 73=35)
B
A
十八. 数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
解:N =2A 55+2A 44+A 33+A 22+A 11=297
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些
数字从小到大排列起来, 第71个数是 3140
十九. 树图策略
例19．3人相互传球, 由甲开始发球, 并作为第一次传球, 经过5次传求
后, 球仍回到甲的手中, 则不同的传球方式有______ N =10
练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅
（i =1, 2, 3, 4, 5）的不同坐法有多少种？N =44
二十. 复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只, 分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字
母, 现从中取5只, 要求各字母均有且三色齐备, 则共有多少种不同的取法
解
一些复杂的分类选取题, 要满足的条件比较多, 无从入手, 经常出现重复遗 漏的情况, 用表格法, 则分类明确, 能保证题中须满足的条件, 能达到好的效
二十一：住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例21. 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .
分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.
二项式定理
定义：一般地，对于任意正整数n ，上面的关系式也成立，即有
(a +b )n 0n 1n -1n 2n -22k n -k k n n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b (n ∈N *)
n 注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做(a +b )的二项展开式
（2）定理中的a , b 仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n 次幂，就能用二项式定理展开
公式特征：
（1） 项数：共有n +1项
（2） 指数规律：
① 各项的次数都等于二项式的系数n （关于a 与b 的齐次多项式）
② 字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n
（3） 二项式展开式的通项：T k +1=C n a
012k n -k b k ，k =0,1,2, , n k n k （4） 二项式系数：依次为C n , C n , C n , C n , C n 。这里C n （k =0,1,2, , n ）称为二
项式系数
⎛例1
求 的展开式 ⎝6
例2 （1）求(1+2x ) 7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数
1⎫⎛3 （2） x -⎪的展开式中x 的系数和中间项 x ⎭⎝
9
例3 求(x +a ) 12的展开式中的倒数第4项