高二数学 家教备课
领程教育一对一个性化辅导教案
一、判定两线平行的方法
1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行
3、 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行
4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、 在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明 二、 判定线面平行的方法
1、 据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点
2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个 平面平行
3、 两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
4、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面
5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义:没有公共点
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行
4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法
1、 定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线面垂直 2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直
3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面
5、 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法
1、 定义:成90 角
2、 直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直
3、 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
4、 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直
5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法
1、 定义:两面成直二面角, 则两面垂直
2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质
1、 二面角的平面角为90︒
2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是:0︒
4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是:0︒
内心:内切圆的圆心,角平分线的交点 外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点 重心:中线的交点 垂心:高的交点
新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形ABCD 是空间四边形,E , F , G , H 分别是边AB , BC , CD , DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形
(2) 若
BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
C
D
H
证明:在∆ABD 中,∵E , H 分别是AB , AD 的中点∴EH //BD , EH =同理,FG //BD , FG =(2) 90° 30 °
考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角
1
BD 2
1
BD ∴EH //FG , EH =FG ∴四边形EFGH 是平行四边形。 2
2、如图,已知空间四边形ABCD 中,BC =AC , AD =BD ,E 是AB 的中点。 求证:(1)AB ⊥平面CDE;
(2)平面CDE ⊥平面ABC 。 证明:(1)
E
BC =AC ⎫
⎬⇒CE ⊥AB
AE =BE ⎭
B
AD =BD ⎫同理,⎬⇒DE ⊥AB
AE =BE ⎭
又∵CE ⋂DE =E ∴AB ⊥平面CDE (2)由(1)有AB ⊥平面CDE
C
D
又∵AB ⊆平面ABC , ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定
3、如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是AA 1的中点, 求证: AC 1//平面BDE 。
证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO , ∵E 为AA 1的中点,O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形A 1AC 的中位线 ∴EO //AC 1 又EO 在平面BDE 内,A 1C 在平面BDE 外
∴AC 1//平面BDE 。 考点:线面平行的判定
4、已知∆ABC 中∠ACB =90, SA ⊥面ABC , AD ⊥SC , 求证:AD ⊥面SBC . 证明:∵∠ACB =90° ∴BC ⊥AC
又SA ⊥面ABC ∴S A ⊥B C ∴BC ⊥面SAC ∴BC ⊥AD
A
D 1
B
C
D
C
S
A
B
又SC ⊥AD , SC ⋂BC =C ∴AD ⊥面SBC 考点:线面垂直的判定
5、已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,O 是底ABCD 对角线的交点.
D 1A
D
O
A
B B C 1
⊥面AB 1D 1. 求证:(1) C1O ∥面AB 1D 1;(2)AC 1
证明:(1)连结A 1C 1,设
AC 11⋂B 1D 1=O 1
,连结AO 1
∵ ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体 ∴A 1ACC 1是平行四边形
∴A 1C 1∥AC 且 AC 11=AC 又O 1, O 分别是AC 11, AC 的中点,∴O 1C 1∥AO 且O 1C 1=AO
C
∴AOC 1O 1是平行四边形
∴C 1O ∥AO 1, AO 1⊂
面AB 1D 1,C 1O ⊄面AB 1D 1 ∴C 1O ∥面AB 1D 1
(2) CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1 ∴C C ! 1⊥B 1D 又
∵AC 11⊥B 1D 1
,, 又
∴B 1
⊥D 面1
A C C
即AC ⊥B 1D 1 1
同理可证
AC ⊥AD 11D 1B 1⋂AD 1=D 1
⊥面AB 1D 1 ∴AC 1
考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定
BD ' ⊥平面ACB ' . 6、正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中,求证:(1)AC ⊥平面B ' D ' DB ;(2)
考点:线面垂直的判定
7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中.(1)求证:平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ; (2)若E 、F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:平面EB 1D 1∥平面FBD .
A
1
证明:(1)由B 1B ∥DD 1,得四边形BB 1D 1D 是平行四边形,∴B 1D 1∥BD ,
又BD ⊄平面B 1D 1C ,B 1D 1⊂平面B 1D 1C , ∴BD ∥平面B 1D 1C . 同理A 1D ∥平面B 1D 1C .
而A 1D ∩BD =D ,∴平面A 1BD ∥平面B 1CD .
(2)由BD ∥B 1D 1,得BD ∥平面EB 1D 1.取BB 1中点G ,∴AE ∥B 1G .
从而得B 1E ∥AG ,同理GF ∥AD .∴AG ∥DF .∴B 1E ∥DF .∴DF ∥平面EB 1D 1.∴平面EB 1D 1∥平面FBD .
考点:线面平行的判定(利用平行四边形)
8、四面体ABCD 中,AC =BD , E , F 分别为AD , BC 的中点,
且EF =
AC , 2
∠BDC =90 ,求证:BD ⊥平面ACD
证明:取CD 的中点G ,连结EG , FG ,∵E , F 分别为AD , BC 的中点,∴EG
//1AC =
2
112222//1BD ,又A ∴在∆EFG 中,EG +FG =AC =EF FG =C =B D , ∴FG =AC ,
222
∴EG ⊥FG ,∴BD ⊥AC ,又∠BDC =90,即BD ⊥CD ,AC ⋂CD =C ∴BD ⊥平面ACD
考点:线面垂直的判定, 三角形中位线,构造直角三角形
9、如图P 是∆ABC 所在平面外一点,PA =PB , CB ⊥平面PAB ,M 是PC 的中点,N 是
AB 上的点,AN =3NB
P
(1)求证:MN ⊥AB ;(2)当∠APB =90,AB =2BC =4时,求MN 的长。 证明:(1)取PA 的中点Q ,连结MQ , NQ ,∵M 是PB 的中点, M
∴MQ //BC ,∵ CB ⊥平面PAB ,∴ MQ ⊥平面PAB
C ∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ,取 AB 的中点D ,连结 PD ,∵PA =PB , ∴PD ⊥AB ,又AN =3NB ,∴BN =ND ∴QN //PD ,∴QN ⊥AB ,由三垂线定理得MN ⊥AB
A
N
B
(2)∵∠APB =90,PA =PB , ∴PD =∴MQ ⊥NQ ,且MQ =考点:三垂线定理
1
AB =2,∴QN =1,∵MQ ⊥平面PAB . 2
1
BC =
1,∴MN =2
10、如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 分别是AB 、AD 、C 1D 1的中点. 求证:平面D 1EF ∥平面BDG .
证明:∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点,∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ,BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG
∵D
1G EB ∴四边形D 1GBE 为平行四边形,D 1E ∥GB
又D 1E ⊄平面BDG ,GB ⊂平面BDG ∴D 1E ∥平面BDG
EF ⋂D 1E =E
,∴平面D 1EF ∥平面BDG
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)
11、如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是AA 1的中点. (1)求证:AC 1//平面BDE ; (2)求证:平面A 1AC ⊥平面BDE . 证明:(1)设AC ⋂BD =O ,
∵E 、O 分别是AA 1、AC 的中点,∴A 1C ∥EO
⊄平面BDE ,EO ⊂平面BDE ,∴A 1C ∥平面BDE 又AC 1
(2)∵AA 1⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,AA 1⊥BD 又BD ⊥AC ,平面A 1AC
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定
12、已知ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,AB =2,PA =AD =4,E 为BC 的中点.
(1)求证:DE ⊥平面PAE ;(2)求直线DP 与平面PAE 所成的角. 证明:在∆ADE 中,AD =AE +DE ,∴AE ⊥DE ∵PA ⊥平面ABCD ,DE ⊂平面ABCD ,∴PA ⊥DE 又PA ⋂AE =A ,∴DE ⊥平面PAE (2)∠DPE 为DP 与平面PAE 所成的角
在Rt ∆
PAD ,PD =Rt ∆
DCE 中,DE =在Rt ∆DEP 中,PD =2DE ,∴∠DPE =30 考点:线面垂直的判定, 构造直角三角形
13、如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是∠DAB =60且边长为a 的菱形,侧面PAD 是等边三角形,且平面PAD 垂直于底面ABCD . (1)若G 为AD 的中点,求证:BG ⊥平面PAD ; (2)求证:AD ⊥PB ;
(3)求二面角A -BC -P 的大小.
AC ⋂AA 1=A
,∴BD ⊥平面A 1AC ,BD ⊂平面BDE ,∴平面BDE ⊥
222
证明:(1)∆ABD 为等边三角形且G 为AD 的中点,∴BG ⊥AD 又平面PAD ⊥平面ABCD ,∴BG ⊥平面PAD
(2)PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点,∴AD ⊥PG 且AD ⊥BG ,PG ⋂BG =G ,∴AD ⊥平面PBG ,
PB ⊂平面PBG ,∴AD ⊥PB
(3)由AD ⊥PB ,AD ∥BC ,∴BC ⊥PB 又BG ⊥AD ,AD ∥BC ,∴BG ⊥BC ∴∠PBG 为二面角A -BC -P 的平面角
在Rt ∆PBG 中,PG =BG ,∴∠PBG =45
考点:线面垂直的判定, 构造直角三角形, 面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法) 14、如图1, 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为CC 1 的中点,AC 交BD 于点O ,求证:
AO ⊥平面MBD . 1
证明:连结MO ,A 1M ,∵DB ⊥A 1A ,DB ⊥AC ,
A 1A ⋂AC =A
,
⊂平面A 1ACC 1 ∴DB ⊥A 1O . ∴DB ⊥平面A 1ACC 1,而AO 1
2
设正方体棱长为a ,则AO =1
323
a ,MO 2=a 2. 24
.
在Rt △A 1C 1M 中,A 1M 2=
92222
O O ⊥M +MO =A 1M ∵AO ,∴A a .11
4
∵OM ∩DB =O ,∴ A 1O ⊥平面MBD .
考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC =AC ,AD =BD ,
作BE ⊥CD ,E为垂足,作AH ⊥BE 于H.求证:AH ⊥平面BCD . 证明:取AB 的中点F,连结CF ,DF . ∵AC =BC ,∴CF ⊥AB .
∵AD =BD ,∴DF ⊥AB .
又CF DF =F ,∴AB ⊥平面CDF . ∵CD ⊂平面CDF ,∴CD ⊥AB . 又CD ⊥BE ,BE ⋂AB =B , ∴CD ⊥平面ABE ,CD ⊥AH .
∵AH ⊥CD ,AH ⊥BE ,CD ⋂BE =E ,
∴ AH ⊥平面BCD . 考点:线面垂直的判定
16、证明:在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1C ⊥平面BC 1D
A
C
证明:连结AC
⊥A C ∵B D ∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影
∴BD ⊥A 1C
⎫
⎬⇒A 1C ⊥平面BC 1D
同理可证A 1C ⊥BC 1⎭
考点:线面垂直的判定,三垂线定理
17、如图,过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC ⊥平面BSC .
证明∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC 的中点O ,连AO 、SO ,则AO ⊥BC ,SO ⊥BC ,
2
∴∠AOS 为二面角的平面角,设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=2a ,SO=2a ,
11
AO 2=AC2-OC 2=a2-2a 2=2a 2,∴SA 2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面ABC ⊥
平面BSC .
考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)