导数习题及答案解析
一、选择题
1.(2010年广东卷. 文) 函数f (x ) =(x -3) e 的单调递增区间是 A. (-∞, 2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2, +∞) 答案 D
解析 f '(x ) =(x -3) 'e x +(x -3) e x
x
( )
()'=(x -2) e
x
, 令f '(x ) >0, 解得x >2, 故选D
2. (2010全国卷Ⅰ理) 已知直线y=x+1与曲线y =ln(x +a ) 相切,则α的值为( ) A.1 B. 2 C. -1 D. -2 答案 B
解:设切点P (x 0, y 0) ,则y 0
=x 0+1, y 0=ln (x 0+a ) , 又 y ' |x =x 0=
1
=1
x 0+a
∴x 0+a =1∴y 0=0, x 0=-1∴a =2. 故答案 选B
2
3. (2010安徽卷理)已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) =2f (2-x ) -x +8x -8,则曲线
y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程是
( )
A. y =2x -1 B. y =x C. y =3x -2 D. y =-2x +3答案 A
解析 由f (x ) =2f (2-x ) -x +8x -8得几何
2
f (2-x ) =2f (x ) -(2-x ) 2+8(2-x ) -8,
即2f (x ) -f (2-x ) =x +4x -4,∴f (x ) =x ∴f (x ) =2x ,∴切线方程
2
2
/
y -1=2(x -1) ,即2x -y -1=0选A
4. (2010江西卷文)若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 和y =ax 2+
3
15
x -9都相切,则4
( )
a 等于
A .-1或-答案 A
25217257 B .-1或 C .-或- D .-或7 6444644
3
解析 设过(1,0)的直线与y =x 相切于点(x 0, x 0) ,所以切线方程为
3
y -x 03=3x 02(x -x 0)
3, 2
15252
当x 0=0时,由y =0与y =ax +x -9相切可得a =-,
644
3272715
当x 0=-时,由y =x -与y =ax 2+x -9相切可得a =-1,所以选A .
2444
即y =3x 0x -2x 0,又(1,0)在切线上,则x 0=0或x 0=-
2
3
5. (2010江西卷理)设函数f (x ) =g (x ) +x ,曲线y =g (x ) 在点(1,g (1))处的切线方程为
2
y =2x +1,则曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处切线的斜率为
A .4 B .-答案 A
( )
11
C .2 D .- 42
解析 由已知g '(1)=2,而f '(x ) =g '(x ) +2x ,所以f '(1)=g '(1)+2⨯1=4故选A 力。
6. (2009全国卷Ⅱ理)曲线y =
x
在点(1,1)处的切线方程为2x -1
( )
A. x -y -2=0 B. x +y -2=0 C. x +4y -5=0 D. x -4y -5=0 答案 B 解
y '|x =1=
2x -1-2x 1
|=[-]|x =1=-1, x =122
(2x -1) (2x -1)
故切线方程为y -1=-(x -1) , 即x +y -2=0 故选B.
7. (2009湖南卷文)若函数y =f (x ) 的导函数在区间[a , b ]上是增函数, ...则函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上的图象可能是
( )
a
b a
b a
A . B . C . D .
解析 因为函数y =f (x ) 的导函数...y =f '(x ) 在区间[a , b ]上是增函数,即在区间[a , b ]上各点处的斜率k 是递增的,由图易知选A. 注意C 中y '=k 为常数噢.
x
8. (2009辽宁卷理)若x 1满足2x+2=5, x 2满足2x+2log 2(x-1)=5, x 1+x 2=
( )
A.
57
B.3 C. D.4 22
1
答案 C
解析 由题意2x 1+2x =5 ① 2x 2+2l o 2g ② x (-=1) 52
所以2x =5-2x 1, x 1=log 2(5-2x 1)
1
即2x 1=2log 2(5-2x 1)
令2x 1=7-2t, 代入上式得7-2t =2log 2(2t-2) =2+2log 2(t-1) ∴5-2t =2log 2(t-1) 与②式比较得t =x 2 于是2x 1=7-2x 2
9. (2009天津卷理)设函数f (x ) =
1
x -ln x (x >0), 则y =f (x ) 3
( )
1e 1
B 在区间(,1),(1,e ) 内均无零点。
e 1
C 在区间(,1) 内有零点,在区间(1,e ) 内无零点。
e 1
D 在区间(,1) 内无零点,在区间(1,e ) 内有零点。
e
A 在区间(,1),(1,e ) 内均有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用,基础题。 解析 由题得f `(x ) =
11x -3
,令f `(x ) >0得x >3;令f `(x )
3x 3x
故知函数f (x ) 在区间(0, 3) 上为减函数,在区间(3, +∞) 0
为增函数,在点x =3处有极小值1-ln 3
f (1) =
1e 11
, f (e )=-10,故选择D 。 33e 3e
二、填空题
x 2+a
10. (2009辽宁卷文)若函数f (x ) =在x =1处取极值,则a =
x +12x (x +1) -(x 2+a )
解析 f’(x)= 2
(x +1)
f’(1)=答案 3
11. 若曲线f (x )=ax +Inx 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是2
3-a
=0 ⇒ a=3 4
1。因为存在垂直于y 轴x
1'
的切线,故此时斜率为0,问题转化为x >0范围内导函数f (x )=2ax +存在零点。
x
1
解法1 (图像法)再将之转化为g (x )=-2ax 与h (x )=存在交点。当a =0不符合题
x
意,当a >0时,如图1,数形结合可得显然没有交点,当a
解析 解析 由题意该函数的定义域x >0,由f '(x
x 2)=a
+
交点,故有a
解法2 (分离变量法)上述也可等价于方程2ax +
1
=0在(0, +∞)内有解,显然可得x
a =-
1
∈(-∞,0) 22x
3
2
12. (2009江苏卷)函数f (x ) =x -15x -33x +6的单调减区间为. 解析 考查利用导数判断函数的单调性。
f '(x ) =3x 2-30x -33=3(x -11)(x +1) ,
由(x -11)(x +1)
3
y '=3x 2-10=2⇒x =±2,又点P 在第二象限内,∴x =-2点P 的坐标为(-2,15)
答案 : (-2 ,15) 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系, 隐含着对指数函数的性质的考查, 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.
14. (2009福建卷理)若曲线f (x ) =ax +ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 取值范围是_____________.
3
答案 (-∞,0)
解析 由题意可知f (x ) =2ax +所以2ax 2+
'
2
1
,又因为存在垂直于y 轴的切线, x
11
=0⇒a =-3(x >0) ⇒a ∈(-∞,0) 。 x 2x
n +1
15. (2009陕西卷理) 设曲线y =x
(n ∈N *) 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标
为x n , 令a n =lg x n ,则a 1+a 2+ +a 99的值为 答案 -2
解析:点(1,1)在函数y =x n +1(n ∈N *) 的图像上,∴(1,1)为切点,y =x n +1的导函数为y ' =(n +1) x n ⇒y ' |x =1=n +1⇒切线是:y -1=(n +1)(x -1) 令y=0得切点的横坐标:x n =
n
n +1
1298991
a 1+a 2+... +a 99=lg x 1x 2... x 99=lg ... =lg =-2
2399100100
16. (2009四川卷文)设V 是已知平面M 上所有向量的集合,对于映射f :V →V , a ∈V ,记a 的象为f (a ) 。若映射f :V →V 满足:对所有a 、b ∈V 及任意实数λ, μ都有,则f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题: f (λa +μb ) =λf (a ) +μf (b )
①设f 是平面M 上的线性变换,a 、b ∈V ,则f (a +b ) =f (a ) +f (b )
②若e 是平面M 上的单位向量,对a ∈V , 设f (a ) =a +e ,则f 是平面M 上的线性变换;
③对a ∈V , 设f (a ) =-a ,则f 是平面M 上的线性变换;
④设f 是平面M 上的线性变换,a ∈V ,则对任意实数k 均有f (ka ) =kf (a ) 。 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号)
答案 ①③④
解析 ①:令λ=μ=1,则f (a +b ) =f (a ) +f (b ) 故①是真命题 同理,④:令λ=k , μ=0,则f (ka ) =kf (a ) 故④是真命题 ③:∵f (a ) =-a ,则有f (b ) =-b
f (λa +μb ) =-(λa +μb ) =λ⋅(-a ) +μ⋅(-b ) =λf (a ) +μf (b ) 是线性变换,故③是真
命题
②:由f (a ) =a +e ,则有f (b ) =b +e
f (λa +μb ) =(λa +μb ) +e =λ⋅(a +e ) +μ⋅(b +e ) -e =λf (a ) +μf (b ) -e
∵e 是单位向量,e ≠0,故②是假命题 【备考提示】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意新颖, 突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质。
17. (2009宁夏海南卷文)曲线y =xe +2x +1在点(0,1)处的切线方程为 。 答案 y =3x +1
解析 y ' =e +xe +2,斜率k =e +0+2=3,所以,y -1=3x ,即y =3x +1
x
x
x
三、解答题
1.(本题满分12分)
已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+(c -3a -2b ) x +d 的图象如图所示. (I )求c , d 的值;
(II )若函数f (x ) 在x =2处的切线方程为3x +y -11=0,求函数f (x ) 的解析式;
(III )在(II )的条件下,函数y =f (x ) 与y =个不同的交点,求m 的取值范围.
1
f '(x ) +5x +m 的图象有三3
解:函数f (x ) 的导函数为 f ' (x ) =3ax 2+2bx +c -3a -2b …………(2分) (I )由图可知 函数f (x ) 的图象过点(0,3),且f ' (1) =0
⎧d =3⎧d =3
得 ⎨ …………(4分) ⇒⎨
3a +2b +c -3a -2b =0c =0⎩⎩
(II )依题意 f ' (2) =-3且f (2) =5
⎧12a +4b -3a -2b =-3
⎨
8a +4b -6a -4b +3=5⎩
解得 a =1, b =-6
所以f (x ) =x 3-6x 2+9x +3 …………(8分)
2
3
2
3
2
(III )f '(x ) =3x -12x +9.可转化为:x -6x +9x +3=x -4x +3+5x +m 有
三个不等实根,即:g (x )=x -7x +8x -m 与x 轴有三个交点;
(
2
)
g 'x =3x 2-14x +8=3x -2x -4,
⎛2⎫68
g ⎪=-m , g (4)=-16-m . …………(10分) 327⎝⎭
⎛2⎫68
当且仅当g ⎪=-m >0且g (4)=-16-m
⎝3⎭27
68
故而,-16
27
2.(本小题满分12分)
已知函数f (x ) =a ln x -ax -3(a ∈R ) .
(I )求函数f (x ) 的单调区间;
(II )函数f (x ) 的图象在x =4处切线的斜率为
31m , 若函数g (x ) =x 3+x 2[f ' (x ) +]
322
在区间(1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围.
a (1-x )
(2分) (x >0)
x
(0, 1], 减区间为[1, +∞) 当a >0时, f (x ) 的单调增区间为
[1, +∞), 减区间为(0, 1]; 当a
当a=1时,f (x ) 不是单调函数 (5分)
3a 3
(II )f ' (4) =-=得a =-2, f (x ) =-2ln x +2x -3
421m
∴g (x ) =x 3+(+2) x 2-2x , ∴g ' (x ) =x 2+(m +4) x -2(6分)
32
g (x ) 在区间(1, 3) 上不是单调函数, 且g ' (0) =-2
解:(I )f ' (x ) =
⎧g ' (1)
∴⎨
g ' (3) >0. ⎩
⎧m
19⎪
(8分)∴⎨(10分)m ∈(-, -3) 19
3m >, ⎪3⎩
(12
分)
3.(本小题满分14分)
已知函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +c 的图象经过坐标原点,且在x =1处取得极大值. (I )求实数a 的取值范围;
(2a +3) 2
(II )若方程f (x ) =-恰好有两个不同的根,求f (x ) 的解析式;
9
(III )对于(II )中的函数f (x ) ,对任意α、β∈R ,求证:|f (2sin α) -f (2sin β) |≤81. 解:(I )f (0) =0⇒c =0, f '(x ) =3x 2+2ax +b , f '(1) =0⇒b =-2a -3
∴f '(x ) =3x 2+2ax -(2a +3) =(x -1)(3x +2a +3),
2a +3
由f '(x ) =0⇒x =1或x =-,因为当x =1时取得极大值,
3
2a +3
所以->1⇒a
3
…………(4分)
(II
a +6(2a +3) 2
依题意得:,解得:a =-9 (2a +3) =-
279
所以函数f (x ) 的解析式是:f (x ) =x 3-9x 2+15x
…………(10分)
(III )对任意的实数α, β都有-2≤2sin α≤2, -2≤2sin β≤2,
在区间[-2,2]有:f (-2) =-8-36-30=-74, f (1) =7, f (2) =8-36+30=2 f (x ) 的最大值是f (1) =7, f (x ) 的最小值是f (-2) =-8-36-30=-74 函数f (x ) 在区间[-2, 2]上的最大值与最小值的差等于81, 所以|f (2sin α) -f (2sin β) |≤81.
…………(14分)
4.(本小题满分12分)
已知常数a >0,e 为自然对数的底数,函数f (x ) =e x -x ,g (x ) =x 2-a ln x .
(I )写出f (x ) 的单调递增区间,并证明e a >a ; (II )讨论函数y =g (x ) 在区间(1, e a ) 上零点的个数.
解:(I )f '(x ) =e x -1≥0,得f (x ) 的单调递增区间是(0, +∞) , …………(2分)
∵a >0,∴f (a ) >f (0) =1,∴e a >a +1>a ,即e a >a . …………(4分)
(II )
g '(x ) =2x -
a
=2(x +
2a 2a )(x -) ,由g '(x ) =0,得x =2a ,列表
当x 2222
…………(6分)
⎧e 2a >e a
a 2a ⎪2a a
由(I )e a >a ,∵⎨ a ,∴e >,∴e >
22⎪a >
2⎩
g (1) =1>0,g (e a ) =e 2a -a 2=(e a +a )(e a -a ) >0 …………(8分)
2a
≤1,即0
(ii )当>1,即a >2时
2a a
若(1-ln ) >0,即2
22a a
若(1-ln ) =0,即a =2e 时,函数y =g (x ) 在区间(1, e a ) 存在一个零点x =e ;
22a a
若(1-ln ) 2e 时,函数y =g (x ) 在区间(1, e a ) 存在两个零点;
22
a
综上所述,y =g (x ) 在(1,e ) 上,我们有结论: 当0
(i )当
当a =2e 时,函数f (x ) 有一个零点;
当a >2e 时,函数f (x ) 有两个零点.
…………(12分) 5.(本小题满分14分)
已知函数f (x ) =ln(x -1) -k (x -1) +1. (I )当k =1时,求函数f (x ) 的最大值;
(II )若函数f (x ) 没有零点,求实数k 的取值范围; 解:(I )当k =1时,f '(x ) =
2-x
x -1
,令f '(x ) =0, 得x =2, ………………(2分) f (x ) 定义域为(1,+∞)
∵当x ∈(1,2)时, f '(x ) >0,当x ∈(2,+∞) 时, f '(x )
∴f (x ) 在(1,2)内是增函数,在(2,+∞) 上是减函数
∴当x =2时,f (x ) 取最大值f (2)=0 ………………(4分) (II )①当k ≤0时,函数y =ln(x -1) 图象与函数y =k (x -1) -1图象有公共点,
∴函数f (x ) 有零点,不合要求; ………………(8分)
1+k
)
11+k -kx ………………(6分) ②当k >0时,f '(x ) =-k ==-x -1x -1x -1k +1k +11
令f '(x ) =0, 得x =,∵x ∈(1,) 时, f '(x ) >0, x ∈(1+, +∞) 时, f '(x )
k k k 11
∴f (x ) 在(1,1+) 内是增函数,在[1+, +∞) 上是减函数,
k k
1
∴f (x ) 的最大值是f (1+) =-ln k ,
k
∵函数f (x ) 没有零点,∴-ln k 1,
因此,若函数f (x ) 没有零点,则实数k 的取值范围k ∈(1,+∞) .………………(10分) 6.(本小题满分12分)
2x
已知x =2是函数f (x ) =(x +ax -2a -3) e 的一个极值点(e =2. 718⋅⋅⋅). (I )求实数a 的值;
3
(II )求函数f (x ) 在x ∈[, 3]的最大值和最小值.
2
2x
解:(I )由f (x ) =(x +ax -2a -3) e 可得
k (x -
f '(x ) =(2x +a ) e x +(x 2+ax -2a -3) e x =[x 2+(2+a ) x -a -3]e x ……(4分)
∵x =2是函数f (x ) 的一个极值点,∴f '(2)=0
∴(a +5) e =0,解得a =-5 ……………(6分) (II )由f '(x ) =(x -2)(x -1) e x >0,得f (x ) 在(-∞, 1) 递增,在(2, +∞) 递增,
由f '(x )
∴f (2) =e 2是f (x ) 在x ∈[, 3]的最小值; ……………(8分)
2
32
[1**********]22
f () =e ,f (3) =e ∵f (3) -f () =e -e =e 2(4e e -7) >0, f (3) >f ()
244224
3
∴f (x ) 在x ∈[, 3]的最大值是f (3) =e 3. ……………(12分)
2
7.(本小题满分14分)
2
已知函数f (x ) =x -4x +(2-a ) ln x , (a ∈R , a ≠0) (I )当a=18时,求函数f (x ) 的单调区间;
(II )求函数f (x ) 在区间[e , e ]上的最小值. 解:(Ⅰ)f (x ) =x -4x -16ln x ,
2
2
162(x +2)(x -4)
=
x x
由f ' (x ) >0得(x +2)(x -4) >0,解得x >4或x 0,所以函数f (x ) 的单调递增区间是(4,+∞) 由f ' (x ) 0,所以函数f (x ) 的单调递减区间是(0, 4]. 综上所述,函数f (x ) 的单调增区间是(4,+∞),单调减区间是(0, 4] f ' (x ) =2x -4-
2
2
2分
6分
(Ⅱ)在x ∈[e , e ]时,f (x ) =x -4x +(2-a ) ln x
2-a 2x 2-4x +2-a
=所以f ' (x ) =2x -4+, x x
2
设g (x ) =2x -4x +2-a 当a
此时g (x ) >0,所以f ' (x ) >0,f (x ) 在[e , e ]上单调递增, 所以f (x ) m in =f (e ) =e -4e +2-a 当a >0时,△=16-4⨯2(2-a ) =8a >0,
2
2
8分
2a 2a 或x
令f ' (x )
22
2a 22
①若1+≥e 2,即a ≥2(e -1) 时,
2
f (x ) 在区间[e , e 2]单调递减,所以f (x ) m in =f (e 2) =e 4-4e 2+4-2a .
令f ' (x ) >0,即2x 2-4x +2-a >0,解得x >1+
2a
2a 2a 2
]上单调递减,在区间[1+, e ]上单调递增, f (x ) 在区间[e , 1+222a a 2a
所以f (x ) min =f (1+) =-2a -3+(2-a ) ln(1+) .
222
2a 22
③若1+≤e ,即0
2
2
所以f (x ) m in =f (e ) =e -4e +2-a
②若e
综上所述,当a ≥2(e -1) 时,f (x ) m in =a -4e +4-2a ; 当2(e -1)
22
2
2
2
2
4
2
当a ≤2(e -1) 时,f (x ) m in 8.(本小题满分12分)
已知函数f (x ) =x (x -6) +a ln x 在x ∈(2,+∞) 上不具有单调性. ...
(I )求实数a 的取值范围;
(II )若f '(x ) 是f (x ) 的导函数,设g (x ) =f '(x ) +6-正数x 1、x 2,不等式|g (x 1) -g (x 2) |>
a 2a
-2a -3+(2-a ) ln(1+) ; 22
=e 2-4e +2-a 14分
2
,试证明:对任意两个不相等x 2
38
|x 1-x 2|恒成立. 27
a 2x 2-6x +a
解:(I )f '(x ) =2x -6+=, ………………(2分)
x x
∵f (x ) 在x ∈(2,+∞) 上不具有单调性,∴在x ∈(2,+∞) 上f '(x ) 有正也有负也有0, ...
即二次函数y =2x 2-6x +a 在x ∈(2,+∞) 上有零点 ………………(4分) ∵y =2x 2-6x +a 是对称轴是x =
3
,开口向上的抛物线,∴y =2⋅22-6⋅2+a
的实数a 的取值范围(-∞,4) ………………(6分) (II )由(I )g (x ) =2x +方法1:g (x ) =f '(x ) -
a 2-, x x 2
2a 2+6=2x +-(x >0) , x 2x x 2
a 4442x 3-4x +4
∵a 2-2+3=,…………(8分)
x x x x x 3
448124(2x -3)
', +h (x ) =-=
x 2x 3x 3x 4x 433338
h (x ) 在(0,) 是减函数,在(, +∞) 增函数,当x =时,h (x ) 取最小值
22227
383838
∴从而g '(x ) >,∴(g (x ) -x ) '>0,函数y =g (x ) -x 是增函数,
272727
3838x 2>g (x 1) -x 1 x 1、x 2是两个不相等正数,不妨设x 1
∴g (x 2) -g (x 1) > >(x 2-x 1) ,∵x 2-x 1>0,∴
x 1-x 22727
设h (x ) =2-∴
g (x 1) -g (x 2) 3838
,即|g (x 1) -g (x 2) |>|x 1-x 2| ………………(12分) >
x 1-x 22727
方法2: M (x 1, g (x 1)) 、N (x 2, g (x 2)) 是曲线y =g (x ) 上任意两相异点,
g (x 1) -g (x 2) 2(x 1+x 2) a
=2+-, x 1+x 2>a
4 22
x 1-
x 2x 1x 2x 1x 2∴2+
设t =
2(x 1+x 2) a a 4
………(8分)
->2+
->2+2
x 12x 2x 1x 2x 1x 2x 1x 2
t >0,令k MN =u (t ) =2+4t 3-4t 2,u '(t ) =4t (3t -2) ,
由u '(t ) >0,得t >
22
, 由u '(t )
2233
g (x 1) -g (x 2) 2383838
,∴u (t ) ≥,∴所以 >∴u (t ) 在t =处取极小值
x 1-x 22727273
∴u (t ) 在(0, ) 上是减函数,在(, +∞) 上是增函数,
即|g (x 1) -g (x 2) |>
38
|x 1-x 2| ………………(12分) 27
9.(本小题满分12分)
12
x -ax +(a -1) ln x , a >1. 2
(I )讨论函数f (x ) 的单调性;
已知函数f (x ) =
(II )证明:若a
f (x 1) -f (x 2)
>-1.
x 1-x 2
a -1x 2-ax +a -1(x -1)(x +1-a )
(1)f (x ) 的定义域为(0, +∞) ,f ' (x ) =x -a + ==
x x x
2分
(x -1) 2
. 故f (x ) 在(0, +∞) 单调增加. (i )若a -1=1, 即a =2,则 f ' (x ) =
x
(ii )若a -11, 故1
当x ∈(0, a -1) 及x ∈(1, +∞) 时, f ' (x )>0, 故f (x ) 在(a -1, 1) 单调减少,在(0,a-1), (1, +∞) 单调增加.
(iii )若a -1>1, 即a >2, 同理可得f (x ) 在(1, a -1) 单调减少, 在(0, 1), (a -1, +∞)
单调增加.
(II )考虑函数g (x ) =f (x ) +x =
12
x -ax +(a -1) ln x +x . 2
a -1a -1
≥2x ⋅-(a -1) =1-(a -1-1) 2. x x
由于a 0, 即g (x ) 在(0, +∞) 单调增加,从而当x 1>x 2>0时有 g (x 1) -g (x 2) >0, 即f (x 1) -f (x 2) +x 1-x 2>0,
f (x 1) -f (x 2) f (x 1) -f (x 2) f (x 2) -f (x 1)
>-1,当0-1 故
x 1-x 2x 1-x 2x 2-x 1
由 g ' (x )=x -(a -1) +
10.(本小题满分14分)
12
x +a ln x , g (x ) =(a +1) x , a ≠-1. 2
(I )若函数f (x ), g (x ) 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数a 的
已知函数f (x ) =
取值范围;
(II )若a ∈(1, e ](e =2.71828 ) ,设F (x ) =f (x ) -g (x ) ,求证:当x 1, x 2∈[1,a ]时,不等式|F (x 1) -F (x 2) |
a
, g '(x ) =a +1, ……………(2分)
x
∵函数f (x ), g (x ) 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,
(a +1)(x 2+a )
≥0恒成立, ……………(4分)∴当x ∈[1,3]时,f '(x ) ⋅g '(x ) =
x
2
即(a +1)(x +a ) ≥0恒成立, ⎧a >-1⎧a
⎩a ≥-x ⎩a ≤-x
∵-9≤x ≤-1,∴a >-1或a ≤-9 ………………(6分)
(II )F (x ) =
12a (x -a )(x -1)
x +a ln x , -(a +1) x ,F '(x ) =x +-(a +1) =
2x x
∵F (x ) 定义域是(0,+∞) ,a ∈(1,e ],即a >1
∴F (x ) 在(0,1)是增函数,在(1,a ) 实际减函数,在(a , +∞) 是增函数
1
∴当x =1时,F (x ) 取极大值M =F (1)=-a -,
21
当x =a 时,F (x ) 取极小值m =F (a ) =a ln a -a 2-a , ………………(8分)
2
∵x 1, x 2∈[1,a ],∴|F (x 1) -F (x 2) |≤|M -m |=M -m ………………(10分)
设G (a ) =M -m =∴[G '(a )]'=1-
121
a -a ln a -,则G '(a ) =a -ln a -1, 22
1
,∵a ∈(1,e ],∴[G '(a )]'>0 a
∴G '(a ) =a -ln a -1在a ∈(1,e ]是增函数,∴G '(a ) >G '(1)=0
11
∴G (a ) =a 2-a ln a -在a ∈(1,e ]也是增函数 ………………(12分)
22
121(e -1) 2
-1, ∴G (a ) ≤G (e ) ,即G (a ) ≤e -e -=
222
121(e -1) 2(3-1) 2
-1
2222∴当x 1, x 2∈[1,a ]时,不等式|F (x 1) -F (x 2) |
设曲线C :f (x ) =ln x -ex (e =2.71828⋅⋅⋅),f '(x ) 表示f (x ) 导函数. (I )求函数f (x ) 的极值;
(II )对于曲线C 上的不同两点A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) ,x 1
11-ex 1
-e ==0,得x = x x e
当x 变化时,f '(x ) 与f (x ) 变化情况如下表:
∴当x =
时,f (x ) 取得极大值f () =-2,没有极小值; …………(4分)
e e
(II )(方法1)∵f '(x 0) =k AB ,∴
ln x 2-ln x 1-e (x 2-x 1) x -x 1x 1
,∴2-e =-ln 2=0
x 0x 2-x 1x 0x 1
x x
即x 0ln 2-(x 2-x 1) =0,设g (x ) =x ln 2-(x 2-x 1)
x 1x 1
x x /
g (x 1) =x 1ln 2-(x 2-x 1) ,g (x 1) x =ln 2-1>0,g (x 1) 是x 1的增函数,
1
x 1x 1
x
∵x 1
x 2
x x /
g (x 2) =x 2ln 2-(x 2-x 1) ,g (x 2) x =ln 2-1>0,g (x 2) 是x 2的增函数,
2
x 1x 1
x
∵x 1g (x 1) =x 1ln 1-(x 1-x 1) =0,
x 1
x
∴函数g (x ) =x ln 2-(x 2-x 1) 在(x 1, x 2) 内有零点x 0, …………(10分)
x 1
x x x
又∵2>1, ∴ln 2>0,函数g (x ) =x ln 2-(x 2-x 1) 在(x 1, x 2) 是增函数,
x 1x 1x 1
x -x 1x
∴函数g (x ) =2-ln 2在(x 1, x 2) 内有唯一零点x 0,命题成立…………(12分)
x x 1
ln x 2-ln x 1-e (x 2-x 1) 1
(方法2)∵f '(x 0) =k AB ,∴, -e =
x 0x 2-x 1
即x 0ln x 2-x 0ln x 1+x 1-x 2=0,x 0∈(x 1, x 2) ,且x 0唯一
设g (x ) =x ln x 2-x ln x 1+x 1-x 2,则g (x 1) =x 1ln x 2-x 1ln x 1+x 1-x 2, 再设h (x ) =x ln x 2-x ln x +x -x 2,00 ∴h (x ) =x ln x 2-x ln x +x -x 2在00
∴方程x ln x 2-x ln x 1+x 1-x 2=0在x 0∈(x 1, x 2) 有解 …………(10分)
∵一次函数在(x 1, x 2) g (x ) =(lnx 2-ln x 1) x +x 1-x 2是增函数
∴方程x ln x 2-x ln x 1+x 1-x 2=0在x 0∈(x 1, x 2) 有唯一解,命题成立………(12分) 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线C 不存在拐点,不给分.
定义F (x , y ) =(1+x ) , x , y ∈(0, +∞) ,
(I )令函数f (x ) =F (3,log2(2x -x 2+4)) ,写出函数f (x ) 的定义域;
(II )令函数g (x ) =F (1,log2(x 3+ax 2+bx +1)) 的图象为曲线C ,若存在实数b 使得曲线C 在x 0(-4
(III )当x , y ∈N *且x F (y , x ) .
解:(I )log 2(2x -x 2+4) >0,即2x -x 2+4> 1 ……………………(2分)
得函数f (x ) 的定义域是(-1,3) , ……………………(4分)
(II )g (x ) =F (1,log2(x 2+ax 2+bx +1)) =x 3+ax 2+bx +1,
设曲线C 在x 0(-4
又由题设log 2(x +ax +bx +1) >0, g '(x )=3x +2ax +b ,
2⎧3x 0+2ax 0+b =-8①⎪
∴存在实数b 使得⎨-4
②
⎪32
⎩x 0+ax 0+bx 0+1>1③
3
2
2
y
分)
22-2ax 0, 代入③得-2x 0-ax 0-8
2
⎧⎪2x 0+ax 0+8>0∴由⎨有解, ……………………(8
⎪⎩-4
88
∈[8,10), 方法1:a
(-x 0) (-x 0)
当a
方法2:得2⨯(-4) 2+a ⨯(-4) +8>0或2⨯(-1) 2+a ⨯(-1) +8>0,
∴a
⎧2⨯(-4) 2+a ⨯(-4) +8≤0⎪方法3:是⎨
) 2+a ⨯(-1) +8≤0⎪⎩2⨯(-1
的补集,即a
x
-ln(1+x )
ln(1+x )
(III )令h (x ) = , x ≥1, 由h '(x ) =1+x 2
x x
11-x x
又令p (x ) =-=0, ∴p '(x ) =22
1+x (1+x ) 1+x (1+x )
∴p (x ) 在[0, +∞) 单调递减. ……………………(12)
分
∴当x >0时有p (x )
∴h (x ) 在[1, +∞) 单调递减,
ln(1+x ) ln(1+y )
∴1≤x , ∴y ln(1+x ) >x ln(1+y ), ∴(1+x ) y >(1+y ) x ,
x y
∴当x , y ∈N *且x F (y , x ). ………………(14分)