数学分析课程设计的论文
河南科技大学 课 程 设 计 说 明 书
课程名称题 目
学 院 班 级 学生姓名 指导教师 日 期
数学分析课程设计 函数项级数的一致收敛性
数学与统计学院 ＿＿数学与应用数学121班 ＿＿＿常惠丽 ＿＿＿ 冯爱芬 ＿2015年1月9号
课程设计任务书
（指导教师填写）
课程设计名称 数学分析课程设计 学生姓名 常惠丽 专业班级 基数121
设计题目 函数项级数的一致收敛性
一、课程设计目的
数学分析课程设计运用所学数学分析知识归纳、推广、研究若干有关课题。 通过本课程设计，使学生更深入地理解所学数学分析的知识，掌握运用所学数学分析知识用于数学理论，设计算法，培养学生数学的思维和分析能力，为今后数学学习和应用打好基础。
二、设计内容、技术条件和要求
运用级数理论解决一定的实际问题。 由此对级数收敛的判别方法形成深刻的认识，从而利用函数的级数展开分析问题和解决问题。
掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算，并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。
三、时间进度安排
第一天, 集中学习、讨论，给出参考资料，进行资料查阅。 第二天, 学生选题，初步拟定实习题目，开始研究、设计。 第三天, 再次讨论实习中所涉及的问题。教师指导。 第四天, 检查各小组的实习情况。教师指导。 第五天, 提交实习成果及文档。 四、主要参考文献
1．陈纪修．数学分析．第二版．北京：高等教育出版社，2004．
2． 陈传璋，欧阳光中．数学分析．第二版．北京：高等教育出版社，2003． 3．华东师大数学系编. 数学分析．第三版．北京：高等教育出版社，2001． 4．费定晖．Б.П.吉米多维奇数学分析习题集题解（1～6册）．第四版．济南：山东科学技术出版社，2012．
指导教师签字： 2015 年 1 月 5 日
函数项级数的一致收敛性
摘要
函数项级数的一致收敛性是数项级数中一个重要的性质，对于数项级数一致收敛性的发展进行了简单的说明，并回答了为什么要找出函数项级数一致收敛性判别的原因，经过定义函数项级数一致收敛性及相关辅助概念，找到了判别函数项级数一致收敛性的判别方法，主要有定义判别法，柯西判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法，将其推广后得到其它的一些判别法，比如：余项判别法，比式判别法，根式判别法，对数判别法，导数判别法以及一些推论，旨在完善这方面的理论知识，并帮助学习者更好的理解和学习这方面的知识。
关键词 ：函数项级数, 一致收敛性, 判别法
1引言
函数项级数作为数项级数级数的推广，在研究内容上同数项级数有许多极其相似的地方，比如它们的收敛性，和的问题，但是函数项级数还有一点不同于数项级数，就是关于它的一致收敛性。对比数项级数的收敛性和数项级数的一致收敛性的判别法，不难发现，它们在判别方法上极其相似，特别是判别法的名称上。比如它们都有Cauchy 判别法，Abel 判别法等，对于函数项级数的一致收敛性，有没有类似于数项级数收敛性判别的其他方法，是一个值得研究的课题。函数项级数在一致收敛的条件下，可以讨论其和函数的连续性，可微性以及可积性。函数项级数在一致收敛时，求和和求导，求和和求积分的顺序可以交换顺序，并且，往往交换顺序以后方便我们解决一些函数项级数中的基本问题，这个应用非常的重要，因此，本文将对函数项级数的一致收敛性以及判别方法进行全面总结。 2.1函数项级数及其一致收敛性的定义
定义1 设{u n (x )}是定义在数集E 上的一个函数列, 表达式
u 1(x ) +u 2(x ) +... +u n (x ) +..., x ∈E
称为定义在E 上的函数项级数, 简记为∑u n (x ) . 称
s n (x ) =∑u k (x ), x ∈E , n =1, 2,...
k =1
n
为函数项级数的部分和函数列.
定义2 若函数项级数∑u n (x ) 的部分和函数列{S n (x ) }在数集D 上一致收敛于
S (x ) , 则称函数项级数∑u n (x ) 在D 上一致收敛于S (x ) 或称∑u n (x ) 在D 上一致
∞n =1
∞
∞
收敛.
n =1n =1
我们可以看到, 函数项级数∑u n (x ) 的一致收敛性归结到其部分和函数列
n =1
∞
{S (x ) }的一致收敛性的研究上, 下面我们给出一个运用这个思想处理问题的例子.
例1 考察级数
∑x e
n =1
∞
2-nx
(0
证明： 由等比级数求和公式知当x >0时
S (x ) =∑x e
n =1
∞
2-nx
x 2= 1-e -x
故对任意n ,
2-nx
∞2-kx x -e
S (x ) -S n (x ) =∑x e =
1-e -x k =n +1
下面证明此函数列是一致收敛于零的.
x 2x 2
=0 所以f (x ) =由于lim -x x →01-e -x 1-e
在00, 存在δ>0, 当x ∈(0, δ) 时,
x 2-nx e -(n -2) x e -(n -2) δ
e
1-e 1-e 1-e
x 2x 2x 2-nx
δ
x 2-nx
e 在δ≤x 2时, -x
1-e
x
x 2-nx x 2
e ≤e -n δN 时, 对所有x ∈[δ, +∞], -x -δ
1-e 1-e
n >N 时, 对所有0
∑x e
k =n
∞
2-kx
x 2e -nx =
∑x
n =1
∞
2
e -nx 在
3.1函数项级数一致收敛的判定方法
定义 设{S n (x )}是函数项级数∑u n (x ) 的部分和函数列. 若{S n (x )}在数集D 上一致收敛于函数S (x ) , 则称函数项级数∑u n (x ) 在D 上一致收敛于函数
S (x ) , 或称∑u n (x ) 在D 上一致收敛.
由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定, 所以由前段 有关函数列一致收敛的定理, 都可推出相应的有关函数项级数的定理： 定理1（柯西一致收敛准则） 函数项级数∑u n (x ) 在数集D 上一致收敛 的充要条件：对任意的正数ε, 总存在某正整数N, 使得当n>N时, 对一切x ∈D 和 一切正整数p 都有 |s n +p (x ) -s n (x ) |
例2 讨论函数项级∑
n =2∞
x
2
+n x +n -12
2
1-2n
2
, D =[-1, 1]在所给区间D 上是否
一致收敛.
解 因 |S n +p (x ) -S n (x ) |=|
=|
1-2k
|∑2222
(x +k )[x +(k -1) ]k =n +1
n +p
11
-) |2222
+k x +(k -1) k =n +1
1111
= |-|
x 2+(n +p ) 2x 2+n 2x 2+n 2n
∑(x
n +p
所
以
,
∀ε>0,
取
|S n +p (x ) -S n (x ) |
⎡1⎤
N =⎢⎥+1, 当n >N 时, 对
⎣⎦
一切x ∈[-1,1], 和一切自然数p, 都有由函数项级数一致收敛的柯西准则知所给级数在[-1,1]上一致收敛. 柯西收敛准则是我们在判断函数项级数一致收敛时的常用方法
定理2（阿贝尔判别法）
设 (1)∑u n (x ) 在区间I 上一致收敛; (2)对于每一个x ∈I , {v n (x )}是单调的；
(3){v n (x )}在I 上一致有界, 即对一切x ∈I 和正整数n, 存在正数M, 使
|v n (x ) |≤M ,
则原级数在I 上一致收敛.
2x +n 在任何有穷区间上的一致收敛性 例3 ∑(-1)
n 2n =1
∞
n
解 对任何有穷区间I , ∃M 1>0, 使得对一切x ≤M 1, 有∑(-1) n
n =1
∞
1
，在I 上n
x 2+n x 2+n x 21x 212
==++≤M +1 即是一对 x ∈I 一致收敛，∀x ∈I , 调, 12222
n n n n n n
致有界的, 由阿贝尔判别法知级数一致收敛
定理3（余项判别法） 函数项级数∑u n (x ) 在数集D 上一致收敛于S (x ) 的充要条件是:
limsup |R n (x ) |=limsup |S (x ) -S n (x ) |=0
n →∞x ∈D
n →∞x ∈D
例4
∑x
n =1
∞
n -1
在(-1,1) 的收敛性
解 由余项判别法知,
n
n n
)
x sup |S n (x ) -S (x ) |=sup ||≥||
n x -1x ∈(-1,1) x ∈(-1,1)
1-
n +1
(
=n (
n n -1
) →∞n (→∞ ) n +1
可知级数在(-1,1) 内不一致收敛, 实际上, 余项判别法本质上可看做是柯西一致收敛准则的推论
定理4（狄利克雷判别法）
（1）∑u n (x ) 的部分和函数列 U n (x ) =∑u k (x ) （n=1,2,…）
k =1n
在I 上一致有界；
（2）对于每一个x ∈I , {v n (x ) }是单调的；
（3）在I 上v n (x ) ⇒0(n →∞) , 则级数(3)在I 上一致收敛.
∑
n =1
∞
(-1) (n -1) x 2
, x ∈(-∞, +∞)
(1+x 2) n
（注意：利用狄利克雷判别函数级数一致收敛时, 三个条件都应满足 定理（5比式判别法） 设u n (x ) 为定义在数集D 上的函数列, 且u n (x ) >0,n=1,2,……,
u (x )
记q n (x ) =n +1若存在正整数N 及实数q,M, 使得q n (x ) ≤q
∞u n (x )
意的n>N, x ∈D 成立, 则函数项级数∑u n (x ) 在D 上一致收敛.
n =1
证明 易知
u n (x ) =
u n (x ) u n -1(x ) u N +1(x )
⋅ ⋅u N (x ) u n -1(x ) u n -2(x ) u N (x )
= q n -1 ( x ) n - ⋅q 2(x ) q N (x ) ⋅u N (x )
≤q n -N +1M
∞
n
1-N
而等比级数当0
n =N
收敛, 由M 判别法知,
∑u
n =1
∞
n
(x ) 在
（极限形式）设u n (x ) 为定义在数集D 上正的函数列, 若q n (x ) =
u n +1(x )
, 由于 u n (x )
lim q
n →∞
n
(x ) =q (x ) ≤q
∑u
n =1
∞
n
(x ) 在D 上一
致收敛.
定理6 (根式判别法) 设u n (x ) 为定义在数集D 上的函数列, 若存在正整数N, 使
u n (x ) |≤q
∞
对∀n>N ,x∈D 成立, 则函数项级数∑u n (x ) 在D 上一致收敛.
n =1
证明 由定理条件,|u n (x)| ≤ q n , 对∀n>N成立, 而几何级数∑q n 收敛, 由
∞
优级数判别法知, 函数项级数∑u n (x ) 在D 上一致收敛. （注:当定理6条件成立时,
n =1
级数∑u n (x ) 在D 上收敛且绝对收敛）
n =1
∞
∞
（极限形式）∑u n (x ) 为定义在数集D 上的函数列, lim n u n (x ) |=q (x ) ≤q
n -1
n →∞
∀x ∈D 成立, 则函数项级数在D 上一致收敛
例5
∑x
n =1
∞
n
在[-b , b ]上一致收敛（0
解
=|=|x |≤b |=q
定理7(对数判别法)
设u n (x ) 为定义在数集D 上正的函数列, 若存在
-ln u n (x )
=p (x ) lim ln n n →∞
则(1)若对∀x ∈D , p (x ) >p >1 , 则函数项级数∑u n (x ) 在D 上一致收敛；
n =1∞
∞
(2)若对∀x ∈D , p (x )
n =1
证明 由定理条件知, 对∀ε>0 , ∃N , 使得对∀n>N , 有
p (x ) -ε
-ln u n ( x )
, 1n p (x ) -ε
1n p (x ) +ε
则当p (x )
∞
11而p 级数当p (x ) >p >1时∑p p n n
收敛, 由优级数判别法知函数项级数∑u n (x ) 在D 上一致收敛；而当p (x )
n =1
∞
1
有u n (x ) >, 且由p 级数当p
n n =1
敛.
例6
13
l n (+1n x 在) [2,+∞) 上不一致收敛 ∑3
n =1n
∞
解
lim
n →∞
-ln u n (x )
=lim ln n n →∞
-ln[
11
ln(1+n 3x )]-[ln3+ln(1+n 3x )]3 =lim ln n ln n n →∞
ln(n 3x )
[3-]=lim ln n n →∞
ln(1+n 3x )
=lim [3-]
ln n n →∞
lim (-ln n )
n →∞
ln x
≤lim (-
n →∞
ln 2
)
定理8（两边夹判别法）
对任意自然数n 和x ∈D , 都有u n (x ) ≤v n (x ) ≤w n (x ) 成立且∑u n (x ), ∑w n (x ) 均在点集D 上一致收敛于s (x ) , 则∑v n (x ) 也在点集D 一致收敛于s (x ) .
n =1∞
∞∞
n =1n =1
证
∞
明
∞
∞
设都
有
U n (x ) =∑u k (x ), V n (x ) =∑v k (x ), W n (x ) =∑w k (x )
k =1
k =1
k =1
∀n ∈N +, ∀x ∈I
u n (
≤x )
∞
n
≤v (
n ∈N +, ∀x ∈I 有u n (x ) ≤v n (x ) ≤w n (x ) , 又级数x ) , n 所以w 对∀x
∑u
n =1
∞
n
(x ), ∑w n (x ) 在I 上一致收敛于s (x ) , 即
n =1
s (x ) -ε
由函数项级数一致收敛定义知, ∑u n (x ) 在I 上也一致收敛于s (x ) 定理9（导数判别法）
n =1∞
下面探讨在函数列{u n (x ) }可微条件下, 当∑u n '(x ) 在[a , b ]上一致收敛时, 函
n =1
∞
数项级数∑u n (x ) 的一致收敛性.
n =1
∞
设函数列{u n (x ) }在闭区间[a , b ]上连续可微, 且存在一点x 0∈[a , b ]使得
∑u
n =1
∞
n
(x ) 在点x 0收敛；∑u n (x ) 在[a , b ]上一致收敛, 则函数项级数∑u n (x )
n =1
∞
'
∞
n =1
在[a , b ]上一致收敛.
证明 已知∑u n (x ) 在点x 0∈[a , b ]收敛,
n =1
∞
∑u
n =1
∞
'
n
(x ) 在[a , b ]上一致收敛, 即任
n +p
意ε>0, 存在N 1(ε) , 使得n ≥N 1(ε) 时, 对任意p ∈N , 有
n +p
+
k =n +1
∑u
k
(x 0)
x ∈[a , b ], 有
k =n +1
'u ∑k (x ) N +, 任意p ∈N +, 任意
x ∈[a , b ], 有
k =n +1
∑u (x ) -∑u (x ) ≤∑u '(ξ)(x -x )
k
k
k
k =n +1
k =n +1
n +p n +p n +p
于是任意n >N +, 任意p ∈N +, 任意x ∈[a , b ],
x ) =∑k ( u ∑ u k (x ) -
k =n +1
k =n +1
n +p n +p
k =n +1n +p
∑u (x ) +∑u (x )
k
k
k =n +1n +p
k
k
n +p n +p
n +p
≤ ∑ u k (x ) -
k =n +1
k =n +1
∑u (x ) +∑u (x )
k =n +1
≤ε(b -a ) +ε=ε(b -a +1) .
即∑u n (x ) 在[a , b ]上一致收敛.
n =1
∞
例7
∑sin
n -1
∞
1
n
解：令f (x ) =sin x , 显然在x =0处可导连续, 但f '(0)=1≠f (0), 所以由导数判别法知级数发散.
总结
通过本次课程设计，使我无论是对文献资料的整理和搜集，还是运用公式编辑器对复杂的数学公式进行编辑等基本操作都能更加熟练，对函数项级数一致收敛判别法有了更清晰的认识和了解。总之，这次课程设计在函数项级数收敛判别的方法上更加系统和全面，是我这次课程设计总结，也是今后学习和研究的宝贵经验。
参考文献
1．华东师范大学数学系. 数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.
2. 陈纪修．数学分析．第二版．北京：高等教育出版社，2004．
3. 陈传璋，欧阳光中．数学分析．第二版．北京：高等教育出版社，2003．
9