向量的夹角与长度
4.4 向量的夹角与长度
例1.已知|a|=2,|b|=4,a与b的夹角为120 求k值,使向量ka-b与a+2b垂直. 例2.已知ABCD是平行四边形,求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
例3.已知非零和量a与b的夹角为θ且向量a+3b与7a-5b垂直;a-4b与7a-2b垂直,求θ的值. 例4.已知a,b是非零向量,且满足|a|=2,(a-b)⋅(a+b)=1,
(1)求(-)2+(+)2
(2)若a⋅b=-,求a与b的夹角θ. 【备用题】 如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补. 【基础训练】
1π
1.已知||=,||=6,与的夹角为,则⋅
33
A.2 B.±2 C.1 D.±1 2.等式①⋅= ②0⋅=0 ③|⋅|=|||| A.0 B.1
④a2=|a|2其中正确的个数为
C.2 D.3
( )
( )
3.下列命题①|⋅|=|||| ②|a2|=a2 ③(⋅)⋅=⋅(⋅) ④(λ)⋅(λ)=λ(⋅)其中正确
命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.在ΔABC中,a=3,b=4,c=30 则BC⋅CA=__________________. 5.已知|a|=4,a与b的夹角为60 ,则a在b方向上的投影长为________________.
6.已知i,j分别是x,y轴上的单位向量且a=5i-12j,6=4i+3j,则a与b夹角的余弦值为___________. 【拓展练习】
1.已知a=(3,-4)b=(-2,3),则a⋅(a+b)= A.-13 B.7
C.6
D.26
( ) ( )
2.已知a=(1,),b=(-3,3),则a,b的夹角为
πππ
A. B. C.
263
3.已知P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ)则|PQ|的最大值为
A.2
B.2
C.4
4.已知向量a,b和实数λ,下列等式中错误的是
A
.|a|=
B.|a⋅b|=|a||b|
2D.π
3 D.2
( ) ( )
C.λ(a⋅b)=λa⋅b D.|a⋅b|≤|a||b| D.150°
( )
5.已知||=2,向量在单位向量方向的投影为-,则向量与的夹角为
A.30° B.60° C.120° 6.若=-4i+3,=-47j,则||等于_____________. 7.向量=(,1),=(-3,)的夹角是_____________.
8.已知a=(-1,),b=(0,2),则a在b方向上的投影是_____________.
9.已知||=3,||=3,||=2,且++=,则⋅+⋅+⋅=________________. 10
ABCD是菱形的充要条件是对角线AC⊥BD.
17
11.已知|a|=|b|=1,a+b=(-,),求|a-b|.
55
12.设在四边形ABCD中,=,=,=,=,且⋅=⋅=⋅=⋅,问该四边形
ABCD是什么图形.
⎧⎪++=13.在向量,,之间,该等式. ⎨成立,当|a|=1时,求|a|=1时,
⎪⎩(a⋅b):(b⋅c):(c⋅a)=1::(3-2)
求|a|和|c|的值.
14.若a,b,c中每两个向量的夹角均为60°,且||=4,||=6,||=2,求|++|的值.