地球主惯性矩
第34卷 第1期 2005年2月
测 绘 学 报
ACTAGEODAETICAetCARTOGRAPHICASINICA
Vol.34,No.1
Feb.,2005
文章编号:100121595(2005)0120007207中图分类号:P22 文献标识码:A
地球主惯性矩
魏子卿
(西安测绘研究所,陕西西安710054)
Earth’sPrincipalMomentsWEI(Xi’anResearchS,710054,China)
Abstract:sinertiaarethegeodeticandastronomicalfundamentalEarthparame2
ters.ThetheEarth’sprincipalmomentsofinertiaandtherelatedissues.Section1formulatestheEarth’sprincipalmomentsofinertiaandtheEarth’sflattening;Section2dealswiththecomputationofthesec2ond2degreeharmoniccoefficientsintheprincipalaxescoordinatesystem;Section3studiesthedirectionsoftheEarth’sprincipalaxesofinertia,andSection4presentsthenumericalvaluesoftheEarth’sprincipalmomentsofin2ertia,andoftheorientationsoftheEarth’sprincipalaxesofinertia,andoftheEarth’sflattening.
Keywords:second2degreeharmoniccoefficients;earth’sprincipalaxesofinertia;earth’sprincipalmomentsofin2
ertia;earth’sfigure
摘 要:地球主惯性矩属于大地测量学和天文学的基本地球参数。研究地球主惯性矩及有关
问题。第一节研究主惯性矩和地球扁率的计算公式;第二节研究主惯性轴坐标系中2阶位系数的计算;第三节研究地球主惯性轴方向的确定方法,第四节给出地球主惯性矩、主惯性轴方向和地球扁率的数值结果。
关键词:2阶位系数;地球主惯性轴;地球主惯性矩;地球形状 地球主惯性矩是地球对于主惯性轴的转动惯量,是地球转动惯性大小的度量。地球主惯性矩是大地测量学和天文学的基本地球参数。其反映地球的实际形状和质量分布,研究地球主惯性矩有助于了解地球形状,也有助于了解地球的密度分布。
本文重点研究主惯性矩的计算和主惯性轴方向的确定。本文第一节推演计算主惯性矩和地球扁率的公式;第二节研究将非主惯性轴坐标系的2阶位系数化为主惯性轴坐标系的算法,地球惯性矩可径由主惯性轴坐标系的2阶位系数计算。
第三节研究地球主惯性轴的方向,给出求定主惯性轴方向余弦和定向的算法和公式。第四节利用实际数据计算地球主惯性矩的大小和主惯性轴的方向,计算地球的极扁率和赤道扁率,给出数值结果,并进行初步分析,以证明得到的主惯性矩值比较可靠。
1 地球主惯性矩与地球形状
众所周知,地球外部一点的2阶引力位V2可以表示为
收稿日期:2004204216;修回日期:2004209210
作者简介:魏子卿(19372),男,河南睢县人,研究员,中国工程院院士,博士生导师。主要研究领域为卫星大地测量与地球动力学。
近期主要研究方向为大地坐标系和全球板块运动。
8
2
2
测 绘 学 报 第34卷
V2
(J2mcosmλ+k2msinmλ)・=-3
rm=0
(1)P2m(sinφ)
∑
由此
2=J2-2J22Ma
(5)
式中,GM为地心引力常数,a为椭球的长半径;r,φ,λ为所考虑点的球坐标(地心距、地心纬度和经度);P2m(sinφ)为非正规化缔合勒让德函数;J2m,K2m,m=0,1,2,为非正规化2阶m次位系数,理论上可用下式表示(参见文献[1]中式(2238),(2239)和(2240)):
2
(2a)J20=J2=-rp20(sinφ)dM2
Ma
J21=-
另外
Ma
2
2+2=MaMa
(6)
J2-2J2+4J22=J2+2J22
假定除2阶位系数J2和J22外还知道另一物理量———动力椭率或力学椭率[1,2]
C-H=
2
3MaK21=-3Ma2J22=-12Ma2
K22=-12Ma式中,M,a为地球的赤道半径,积分域为整个地球。经简单推演,有[1]
C-J20≡J2=2
Ma
µ
µrsinλp(sinφ)dMrcosM(sin)dM
)dMr2cosλp21(sinφ
2
21
2
22
2
µ
(7)
(2b)(((2e)
A,B,,根据
式(,(7),2=HMa
=-(J2+2J22)HMa2
=-(J2-2J22)HMa2
(8)(9)(10)
(3a)
J21=K21=0(假定z轴与地球平均旋转轴重合)
(3b)
J22=
4Ma22Ma2
(3c)(3d)
K22=-
其中,A,B,C代表地球对于x,y,z轴的惯性矩,D代表x,y惯性积,分别由下式定义:
A=B=C=D=
假定知道地球质量M(M=GM/G,GM为地心引力常数,G为牛顿引力常数),利用式(8210)最后即可算出主惯性矩A,B,C。
从式(9),(10)看出,由于J22为负,所以C>B>A。
地球的形状接近3轴椭球体,其3轴分别与主惯性轴A,B,C重合。至一级近似,在C,A平面的扁率可按下式计算[1]
(11)fp=+
2Ma22
,ω为地球旋转角速度。用式(5)
GM
代入式(11),则有
式中,m=
23
如果进一步让x,y轴与相应的地球主惯性轴重合,则x,y惯性积等于零,即D=0。所以,在主惯性轴坐标系ABC中,K22=0(见式3(d))。
让我们推演主惯性矩的算式。将式(3a)改写为
C-A+
J2===22+MaMa2Ma2
2+2J22
Ma
µ
µ(z+x)dMµ(x+y)dMµxydM
(y2+z2)dM
2
2
2
2
(4a)
fp=
(J2-2J22)+22
(11′)
(4b)
类似地,至一级近似,在C,B平面的扁率为
(12)fp′==(J2+2J22)+2+2Ma222在A,B平面(赤道面)的扁率为
fe==-6J22
2Ma2
(13)
在式(13)中没有m/2项,是因为地球没有绕A或B轴的旋转。
2 主惯性轴坐标系中2阶位系数的
计算
已知主惯性轴坐标系的2阶位系数J2,J22
第1期 魏子卿:地球主惯性矩9
(其余3个2阶系数为0)是确定主惯性矩的前
提。而引力位模型一般给出参考于非主惯性轴坐标系(例如,EGM96参考于JGM22坐标系)的完全正规化系数C2m,S2m,m=0,1,2。因而,需要将非主惯性轴坐标系xyz的完全正规化系数
C2m,S2m化算为主惯性轴坐标系ABC的位系数J2,J22。
λ1=A22-
AAλ2=-A22-λ3=2
A(21)
λλ容易证明,λ由式(21)得1≥2≥3。
A20=
在非主惯性轴坐标系,以完全正规化位系数表示的2阶引力位V2的形式是
V2=
3r
2
2m=0
2
∑(C2
mcos
λ+S2msinmλ)・m
(14)
A22=λ1+
=-2-
(22)
P2m(sinφ)
式中,P2m(sinφ)为完全正规化缔合勒让德函数将其熟知的表达式代入,,r直角坐标x,y,z,则式()[3]:
V212,3,:
(23)||0,的单位矩阵。将行列式(23)展
,3
λ+q=0λ(24)+p其中
2222
p=-C220-C21-S21-C22-S22
H5
r
T
(15)(16)C21
=(x y z)C22-H=
S22C21
S22
(25)
q=-
332
-
2
222
(C221+S21-2C22-2S22)-
-C22-S21
C22(C21-S21)-2C21S21S22
S21
(17)
(26)
3
2
判别式D=式(24)有3个实根:
2
2
+
3
在主惯性轴坐标系中,式(15),(16),(17)相应地变为
V2=
+33
λ2=-2tsinβλ1=2tsinλ3=2tsin
其中
t=
(27)
2T
H