综合法与分析法习题
[学业水平训练]
1.分析法是从要证的结论出发,逐步寻求结论成立的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.等价条件
解析:选A.由分析法的要求知,应逐步寻求结论成立的充分条件.
2.若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明过程如下: ∵a,b,c∈R,
∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2aC.
又a,b,c不全相等,
∴以上三式至少有一个“=”不成立.
∴将以上三式相加,得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac).
∴a2+b2+c2>ab+bc+aC.此证法是( )
A.分析法 B.综合法
C.分析法与综合法并用 D.反证法
答案:B
3.对于不重合的直线m,l和平面α,β,要证明α⊥β,需要具备的条件是( )
A.m⊥l,m∥α,l∥β B.m⊥l,α∩β=m,l⊂α
C.m∥l,m⊥α,l⊥β D.m∥l,l⊥β,m⊂α
解析:选D.A:与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定;B:平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直,这两个平面的位置关系不能确定;C:这两个平面有可能平行或重合;D:是成立的,故选D.
4.使a2+b2-a2b2-1≤0成立的充要条件是( )
A.|a|≥1且|b|≥1 B.|a|≥1且|b|≤1
C.(|a|-1)(|b|-1)≥0 D.(|a|-1)(|b|-1)≤0
222222解析:选C.a+b-ab-1≤0⇔a(1-b)+(b2-1)≤0⇔(b2-1)(1-a2)≤0⇔(a2-1)(b2
-1)≥0⇔(|a|-1)·(|b|-1)≥0.
5.不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数( )
A.成等比数列而非等差数列
B.成等差数列而非等比数列
C.既成等差数列又成等比数列
D.既非等差数列又非等比数列
解析:选B.由已知条件,
a+c=2b, ①2可得x=ab, ②
y2=bc. ③
由②③得yc=b2x2a=b
x2y2代入①,得2b, bb
即x2+y2=2b2.
故x2,b2,y2成等差数列.
a2+b2a2+b26.将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整:要证≥ab,只需证a2+22
b2≥2ab,也就是证________,即证________,由于________显然成立,因此原不等式成立.
a2+b2解析:用分析法证明ab的步骤为: 2
a2+b2要证ab成立, 2
只需证a2+b2≥2ab,也就是证a2+b2-2ab≥0,即证(a-b)2≥0.
由于(a-b)2≥0显然成立,
所以原不等式成立.
答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0
1π3π7.已知sin θ+cos θ=≤θ≤cos 2θ=________. 524
1解析:因为sin θ+cos θ=, 5
1所以1+sin 2θ=, 25
24所以sin 2θ=-. 25
π3π因为θ≤, 24
3π所以π≤2θ≤2
7所以cos 2θ1-sin2θ25
7答案:- 25
8. 如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面,满足________时,BD⊥A1C(写上一个条件即可).
解析:要证BD⊥A1C,只需证BD⊥平面AA1C.
因为AA1⊥BD,只要再添加条件AC⊥BD,
即可证明BD⊥平面AA1C,从而有BD⊥A1C.
答案:AC⊥BD(答案不唯一)
|a|+|b|9.已知非零向量a⊥b,求证:2. |a-b|证明:∵a⊥b,∴a·b=0.
|a|+|b|要证≤2, |a-b|只需证|a|+|b|2|a-b|,
平方得|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2a·b),
22只需证|a|+|b|-2|a||b|≥0成立,
即(|a|-|b|)2≥0显然成立.
故原不等式得证.
b+ca+ca+b11110.已知,,也成等差数列. abcabc
111证明:因为 abc
112acb
a+c2即, acb
所以b(a+c)=2ac,
b+ca+bb+cc+aa+b所以= acac
bc+c2+a2+ab=ac
ba+c+a2+c2= ac
2ac+a2+c2=ac
a+c2=ac
2a+c2
=ba+c
2a+c= b
b+ca+ca+b所以,也成等差数列. abc
[高考水平训练]
1.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)成立”的是( )
1A.f(x)= B.f(x)=(x-1)2 x
C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)
1解析:选A.本题就是找哪一个函数在(0,+∞)上是减函数,A项中,f′(x)=(′=-x
1<0, x1∴f(x)=(0,+∞)上为减函数. x
12.设a>0,b>0,则下面两式的大小关系为lg(1ab)________[lg(1+a)+lg(1+b)]. 2
解析:因为(1ab)2-(1+a)(1+b)
=1+ab+ab-1-a-b-ab
=ab-(a+b)=-a-b)2≤0, 所以(1)2≤(1+a)(1+b),
1所以lg(1ab)≤[lg(1+a)+lg(1+
b)]. 2
答案:≤
3.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C1.
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
[证明](1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点,
所以EF∥BC,EF⊄平面ABC,BC⊂平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)因为直三棱柱ABC-A1B1C1,
所以BB1⊥平面A1B1C1,BB1⊥A1D,
又A1D⊥B1C1,BB1∩B1C1=B1,
所以A1D⊥平面BB1C1C,
又A1D⊂平面A1FD,
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
14.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求证f(x2
为偶函数.
1证明:法一:要证f(x+为偶函数, 2
只需证明其对称轴为x=0,
b1即证-0,只需证a=-b. 2a2
-b-b∵函数f(x+1)的对称轴x1与函数f(x)的对称轴x=y轴对称, 2a2a
-b-b∴1=- 2a2a
∴a=-b.
1∴f(x+)为偶函数. 2
1法二:记F(x)=f(x+, 2
欲证F(x)为偶函数,
只需证F(-x)=F(x),
11即证f(-x)=f(x+). 22
∵函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,而函数f(x)与f(-x)的图象也是关于y轴对称的,
∴f(-x)=f(x+1),
11∴f(-x+)=f[-(x-22
11=f[(x-+1]=f(x, 22
1∴f(x+)为偶函数. 2