[数系的扩充]教学设计贺家颖

《数系的扩充》教学设计

吉林毓文中学 贺家颖

一、【教材分析】

1. 内容分析：本章《数系的扩充与复数的引入》是人教A 版普通高中课程标准试验教科书《数学》选修2-2第三章第一节。复数的引入实现了中学阶段数的概念的最后一次扩充。学生在问题情境中了解数系扩充的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。新课程中复数内容突出复数的代数表示，同时也强调了复数的几何意义，在此基础上研究了复数代数形式的四则运算。

2. 课型：本章是该章的基础课、起始课，也是典型的概念课。

3. 地位：承上启下。所谓承上，是指通过让学生回忆数系扩充的过程，能使学生对数的概念有一个初步完整的认识，从而体会虚数引入的必要性和合理性；所谓启下，是指通过学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为后继学习奠定基础。

4. 数学思想：在本节教学中，分类讨论思想与化归转化思想得以多次体现。

5. 重点：基于上述分析，确定本节课的教学重点是复数的基本概念、复数的代数表示以及复数相等的条件。

二、【目标分析】

依据新课标中的内容与要求，结合实际情况，制定如下教学目标：

1. 知识与技能：理解复数的概念、理解复数的代数表示、掌握复数相等的充要条件；

2. 过程与方法：感知数系扩充过程、感悟数系扩充的基本方法；

3. 情感、态度与价值观：感受虚数引入的必要性和合理性、体会矛盾转化实虚共存等辩证思想、感受人类理性思维的作用。

三、【学情分析】

1. 学生具备的：

（1）数的概念及数集之间的包含关系；

（2）会在实数集范围内解方程；

（3）踏实的学习态度及良好的合作精神。

2. 学生欠缺的：

（1）数的生成发展的历史和规律的整体认识与理性思考 ；

（2）严谨及深入的思维习惯 ；

（3）较强的理性思维与自主构建能力 。

3. 学生可以自己消除的：

对数的生成发展历史的整体认识，学生可以通过努力自己消除；对数系的扩充原则可通过合作交流完成。

4. 需要在教师帮助下消除的：

新知识的建构。

5. 难点：根据历史相似性原理，预测本节课的难点是i 的引入以及对i 的认识。

6. 突破难点的关键：教师合理设置问题串。

四、【教法分析】

1. 教学材料：课前下发的《导学案》（详见附件）为课上顺利引入新知做好充分的铺垫。

2. 教学方法：本节课的教法主要采用问题驱动教学法。

3. 设置问题串的目的：通过设置问题串，让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“助产士”的作用。

五、【教学过程】：

1. 创设情境：

22x +y =20⎧问题1 已知⎨ （, 1）求x +y 的值; (2)分别求x , y 。

⎩xy =40

问题2 x +y 的存在让我们不用怀疑x 、y 的存在，那你找到这两个数了吗？

设计意图：几次试讲的经历让我感受到如果直接将莱布尼茨和卡尔丹的研究资料直接介绍给学生，多重根号对于学生来讲是难以接受的。直接介绍史实，根号下面有负数出现，会引起学生思维的混乱，如果再以“数学家的思维数学家的坚毅”来攻击学生，再加上好看的图片动听的媒体，就会出现越是热闹的引，学生越进入不了状态，成了“引而不入”。所以我此次导课是将卡尔丹和莱布尼茨的问题整合成一个题目，让数学史“润物细无声”般的融入课堂。该题设置的目的在于引导学生发现x +y 存在但x 、y 却不存在的矛盾，让学生处于“愤悱”状态，形成认知冲突，引发学生学习兴趣。

问题3 回顾作业，前三个小题的结果是什么？你有什么发现？

设计意图：通过讲解导学案中前三个小题引导学生得出正是由于运算的需要，数系才被一点一点扩充起来的过程。

（附： 1. 方程x +3=0，当x ∈N 时解集为 ，当x ∈Z 时解集为 . 2. 方程2x +3=0，当x ∈Z 时解集为 ，当x ∈Q 时解集为 . 3. 方程x 2-3=0，当x ∈Q 时解集为 ，当x ∈R 时解集为 . ）

2. 建构理论：

问题4 从你认识数到现在，数系都在哪几个阶段经历了哪几次扩充？

设计意图：学生已经学习过一些数集，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，这是本节课的生长点。

此时，提出开放性问题：

问题5 这几次扩充有什么共同的特点？

设计意图：一方面培养学生的归纳、概括与表达能力；另一方面通过对前几次数系扩充的梳理，为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础，让学生感受到数系扩充的合理性，并能提炼出数系扩充的一般原则，由此，突破本节课的难点。

问题6 回到刚才的问题，你现在有什么新的想法吗？

设计意图：前面对于数系扩充的回顾为现在学生自然而然想到数系可以被继续扩充做好铺垫，并顺理成章使用数系扩充的共同的两大原则去扩充。

问题7 引入一个新的数的目的是什么？

问题8 那引入一个数，使得这个数的平方是----

问题9 若引入一个数的平方是-60（刚才解方程时出现的）, 那换道题再碰到其他负数开方，你都需要引入吗？

问题10 那应该引入什么呢？

设计意图：逐步引导学生得出应该引入的数是虚数单位。让学生真正体会，新数的引入是为了解决原来解决不了的问题，不仅是这一道题，而是所有的负数不能开方的问题。

问题11 数字行不行？为什么不行？那你想引入什么？

设计意图：此时虚数单位i 的引入顺理成章，并适时加以史实的介绍，使学生接受起来非常自然。

问题12那现在i 2那刚才的问题就可以解决了，什么数的平方可以得到-60呢？ =-1了，

设计意图：让学生直观得出60i 的结果，为下面写出复数的代数形式做好铺垫。 问题13看来实数可以与虚数相乘。你能再写出几个含有i 的数吗？

问题14你能写出一个形式，把刚才所写出来的数都包含在内吗？

设计意图：学生利用新知解决卡丹问题，通过设计问题12、13的铺垫，引导学生由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式，帮助学生主动建构复数的代数形式。

由此，追问：

问题15 a +b i(a , b ∈R ) 一定是虚数吗？

设计意图：引导学生自然而然地想到要对复数进行分类，从而深化对复数概念的理解，攻克本节课的重点。

3．巩固深化

为了检测学生对复数有关概念的理解，我设置了下列三组练习： 例1. 写出复数2-3i, -14 +i , 5+2i , 6i , 4的实部与虚部。23

例2．说明下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。 2+7, 0. 618, i , 0, i 2, i (1-), 5i +8, 3-92i

例3．实数m 取什么值时，复数z =m (m -1) +(m -1)i 是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？（4）z 27=0 （5）z =6

设计意图：例题1例2及例3的前三个小问都是在巩固复数的分类标准，让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效。

对于（4）、（5）既是巩固了数的分类， 又为得出复数相等的充要条件做好铺垫。 并追问：

z 2问题16对于复数z 1=a +b i ，=c +d i(a , b , c , d ∈R ) ，你认为在什么情况下相等呢？

从而为在直角坐标系中用点表示复数提供了可能，并设置了：

例4．已知(2x -1) +i =y -(3-y ) i ，求实数x ，y 的值．

设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解。

4. 反思总结：

问题17 这节课你有什么收获？你还有什么疑惑？

设计意图：通过学生总结、教师提炼，深化内容，感悟数系扩充的必要性，并为后继学习做好铺垫。

六、【课后反思】：

该节课获得了第六届全国青年教师优秀课观摩与评比的一等奖，在比赛现场，来自山西的教研员对我的课给予了高度评价，来自北京的教研员对我的课在现场做了点评，我将点评主要内容摘录如下：

（1） 该节课的导课很有创意，独具匠心，能激发求知欲；

（2） 对于复数相等的处理，很大程度上尊重了学生的理解力，处理的较好；

（3） 对数学发展史的融入，在处理上做到了浓缩历史贯穿于课堂；

（4） 善于捕捉课堂上的意外；

（5） 整节课设计自然而连贯，问题串很有效；

（6） 对于无穷数集不能比较大小，应在学生回答问题时及时给与纠正和讲解；

（7） 对于-1=i 的提法，因容易让学生与算数平方根发生混淆和知识的迁移，所以

2应改为教材中的提法i

=-1。

吉林毓文中学

贺家颖