斐波那契数列通项公式的证明
斐波那契数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34……它的通项公式为:a n =1[(1+5) n -(1-) n ]
2
2
α+β=1解得⎧α⎪证明:令a n -αa n -1=β(a n -1-αa n -2) (n ≥3) 则有⎧⎪⎨⎨⎩αβ=-1⎪β
⎪⎩
=
1+21-=
2
α=或⎪⎪
⎨⎪β⎪⎩
⎧
1-21+=
2
故有
(1)
a n -
1+1-51+1-1+1-a n -1=(a n -1-a n -2) 或 (2) a n -a n -1=(a n -1-a n -2) 222222
a n -a n -1
1+a n -11+1+51-5,因为n ≥3故数列{a n -}是以a a -a 1为首项,n -12=2221+-a n -2
2
(Ⅰ) 由(1)得
以
1+1+1-5n -21-5
为公比的等比数列,所以,a n -a n -1=(a 2-a 1) ∙() 由a 1=a 2=1得2222
1+a n -12
a n -
1+1-n -1a n a n -11 =() 两边同除以(1-5) n 得:-∙=221-n 1-1-5n -11-5
() () 2222
即
a n (1-n
) 2-
-
1+a n -1
1-1-n -1
() 2
=-
a n a n -11+5移项得1+51+5(n ≥3) 则由
=-
221-n 1-1-n -1
() () 22
1+a n a n -11+55所以{a n 得,}是以2+=[+]k ==-+
51-51-n -15551-n 1+1-5n
() () () 1-
2221-a 2(1-52
) 2
+
1+a n
为首项为公比的等比数列。故51-1-(2
+) n
a 21+n -2
=[+]∙() 551-521-() 2
a 251+5n -2,由(1+) 2=(2) 2化简可得 得a =(1-5) n {-+[+]∙() }n
21-52551-21-5
() 2
a n =
1
1+5n 1-5n
) -() ](n ≥3) (*) 验证可得,当n=1、n=2时,a 1=a 2=1故斐波那契数列中,225[(
*
对于n ∈N ,(*)式都成立。
*
(Ⅱ) 同理,由(2) a n -1-a n -1=1+(a n -1-1-a n -2) 也可得斐波那契数列中,(*)式对于n ∈N 都成立
222
所以,斐波那契数列的通项公式即为:a n =
1
1+5n 1-5n
) -() ] 225[(
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