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集合
⎧⎪⎪
集合与元素⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪集合⎨
⎪⎪
⎪集合与集合⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(⎧1)元素与集合的关系:属于(∈)和不属于(∉)⎪(⎪2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性⎨(⎪3)集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集
⎪4)集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描法、区间法(⎩
⎧⎧子集:若x ∈A ⇒x ∈B ,则A ⊆B ,即A 是B 的子集。⎪⎪
⎧1、若集合A 中有n 个元素,则集合A 的子集2n 个,真子集有(2n -1) 个。⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪2、任何一个集合是它本身的子集,即 A ⊆A ⎪⎪⎪ 注⎨
⎪关系⎨⎪3、对于集合A , B , C , 如果A ⊆B ,且B C A . ⎪⎪⎪4、空集是任何集合的(真)子。
⎩⎪⎪
⎪⎪真子集:若A ⊆B 且A ≠B (即至少存在x 0∈B 则A 是B 的真子集。⎪⎪⎪⎪⎩集合相等:A ⊆B 且A ⊇B ⇔A =B ⎪⎪⎧⎧⎪定义:A ⋂B ={x /x ∈A 且x ∈B }⎨
⎪交集⎨
⎪
⎪⎪⎩性质:A ⋂A =A ,A ⋂∅=∅,A ⋂B =B ⋂A ,A ⋂B ⊆A , A ⋂B ⊆B ,A ⊆B ⇔A ⋂⎪
⎪
⎪⎧⎪定义:A ⋃B ={x A 或x ∈B }⎪⎪并集⎨
⎪
⎪⎪⎪⎩性质:A ⋃A A ,A ⋃B =B ⋃A ,A ⋃B ⊇A ,A ⋃B ⊇B ,A ⊆B ⇔A ⋃运算⎨⎪
⎪ C ard (A ⋃B ) =C ard C (B ) -C ard (A ⋂B ) ⎪
⎪⎪⎧定义:C U A {x /x ∈U 且x ∉A }=A ⎪⎪⎪
⎪补集⎨性质:⎪(C ) ⋂A =∅,(C U A ) ⋃A =U ,C U (C U A ) =A ,C U (A ⋂B ) =(C U A ) ⋃(C U B ) ,⎪⎪⎪(A ⋃B ) =(C A ) ⋂(C B ) ⎪U U U ⎪⎩⎩
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函数
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⎧映射定义:设A ,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A 中的任意一个元素x ,⎪ 在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :→B 为从集合A 到集合B 的一个映射
传统定义:如果在某变化中有两个变量x , y , 并且对于x 在某个范围内的每一个确定的⎧⎪
⎪定义 按照某个对应关系f , y 都有唯一确定的值和它对应。那么x 的函数。⎪
近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。
⎪⎪
定义域⎧⎪⎪函数及其表示函数的三要素值域
⎨⎨
⎪
⎩对应法则⎪
⎪
⎧解析法⎪
⎪
⎪函数的表示方法⎨列表法
⎪⎩⎩图象法
⎧⎪⎧传统定义:在区间[a , b ]上,若a ≤x 1
⎪⎪ 递增区间;如f (x ) >f () ,则f (x ) 在a , b 上递减, a , b 是的递减区间。⎪[][]12⎪⎪单调性⎨
导数定义:在区间[a , b ]上,若f (x ) >0,则f (x ) 在[a , b ]上递增, [a , b ]是递增区间;如⎪⎪
[a , b ]是的递减区间。 ⎪⎪⎩ 则f (a , b ]上递减, ⎪⎪
⎪⎪
⎧最大值:设f 义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x ∈I ,都⎪函数⎪(2)存在x 0∈I ,使得f (x 0) =M 。则称M 是函数y =f ⎨函数的基本性质⎨
最值⎨⎪最小值:设函数y =(x ) 的定义域为I ,如果存在实数N 满足:(1)对于任意的x ∈I ,都
⎪⎪
⎪⎩(2)存在x 0∈I ,使得f (x 0) =N 。则称N 是函数y =f (⎪
⎧(1) f () =-f (x ), x ∈定义域D ,则f (x ) 叫做奇函数,其图象关于原点对称。⎪⎪
奇偶性⎪(2) x ) =f (x ), x ∈定义域D ,则f (x ) 叫做偶函数,其图象关于y 轴对称。⎪⎪⎪⎩ 函数的定义域关于原点对称
⎪周函数f (x ) 的定义域上恒有f (x +T ) =f (x )(T ≠0的常数) 则f (x ) 叫做周期函数,T 为
⎪T 小正值叫做f (x ) 的最小正周期,简称周期⎧⎪(1线法:列表、描点、连线⎪⎧⎧向左平移α个单位:y 1=y , x 1-a =x ⇒y =f (x +a )
⎪⎪⎪向右平移a 个单位:y =y , x +a =x ⇒y =f (x -a )
11⎪平移变换⎨
向上平移b 个单位:x =x , y 11+b =y ⇒y -b =f (x ) ⎪⎪⎪⎪向下平移b 个单位:x =x , y ⎪⎩11-b =y ⇒y +b =f (x )
⎪⎪⎧横坐标变换:把各点的横坐标x 1缩短(当w >1时)或伸长(当0
⎪⎪⎪ 到原来的1/w 倍(纵坐标不变),即x =w x ⇒y =f (w x )
1⎪⎪伸缩变换⎨
纵坐标变换:把各点的纵坐标y 伸长(A >1) 或缩短(0
(⎧x +x 1=2x 0x =2x 0-x ⎪2)变换法⎨
关于点(x 0, y 0) 对称:⇒{1⇒2y 0-y =f (2x 0-x ) {⎪⎪⎪y +y 1=2y 0y 1=2y 0-y ⎪⎪⎪
⎪关于直线x =x 0对称:x +x 1=2x 0⇒x 1=2x 0-x ⇒y =f (2x 0-x ) ⎪⎪{y =y 1{y 1=y
⎪对称变换⎪⎪⎨
x =x 1x =x ⎪⎪⎪关于直线y =y 0对称:⇒{1⇒2y 0-y =f (x ) {⎪⎪y 1+y =2y 0y 1=2y 0-y ⎪
⎪⎪⎪x =x 1-1⎪⎪⇒y =f (x ) {⎪⎪关于直线y =x 对称:y =y 1⎪⎪⎩⎪⎪⎩⎩
⎪⎩
{
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附:
一、函数的定义域的常用求法:
1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数y =tan x 中
x ≠k π+
π
2
(k ∈Z ) ;余切函数y =cot x 中;6应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法:
1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6 三、函数的值域的常用求法:
1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;567、直接法
四、函数的最值的常用求法:
1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5 五、函数单调性的常用结论:
1、若f (x ), g (x ) 均为某区间上的增(减)函数,则f (x ) +g (x ) 在这个区间上也为增(减)函数
2、若f (x ) 为增(减)函数,则-f (x )
3、若f (x ) 与g (x ) y =f [g (x )]是增函数;若f (x ) 与g (x ) 的单调性不同,则y =
4 5
1x =0处有定义,则f (0)=0,如果一个函数y =f (x ) 既是奇f (x ) =0(反之不成立)
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
4、两个函数y =f (u ) 和u =g (x ) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。
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5、若函数f (x ) 的定义域关于原点对称,则f (x ) 可以表示为
f (x ) =
12
[f (x ) +f (-x )]+
12
[f (x ) -f (-x )],该式的特点是:右端为一个奇函数和
一个偶函数的和。
⎧⎧⎧零点:对于函数y =f (x ), 我们把使f (x ) =0的实数x 叫做函数=(x ) 的零点。⎪⎪定理:如果函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上的图象是连续不的条曲线,并且有f (a )
⎪⎪⎪零点与根的关系⎨ 那么,函数y =f (x ) 在区间[a , b ]内有零点。即存在c ∈(a , b ), 使得f (c ) =0
⎪⎪⎪ 程f (x ) =0的根。(反之不成立)⎪⎪⎩关系:方程f (x ) =0有实数根⇔y f (x ) 零点⇔函数y =f (x ) 的图象与⎪⎪⎧(1) 确定区间[a , b ],验证f (
⎪函数的应用⎨⎪(3) 计算f (c ) ;
⎪⎪二分法求方程的近似解 ①若f (c ) =0, 则c 就是函数的零点;
⎪⎨
⎪c 此时零点x ∈(a , b ) );⎪0f (a ) ⋅f (c )
) ⋅f (b )
⎪⎪⎪⎩(4) 判断是否达到精确度ε:即若a -b
⎪
⎧几类不同长函数模型
⎪函数模型及其应用知函数模型解决问题⎪立实问题的函数模型⎩
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⎧⎧⎧根式n 为根指数,a 为被开方数⎫⎪⎪=a ⎪⎪⎬
分数指数幂⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪r s r +s ⎧a a =a (a >0, r , s ∈Q ) ⎪⎪指数的运算⎨
⎪⎪⎪⎪r s r s
指数函数⎨=a (a >0, r , s ∈Q )
⎪性质⎨(a ) ⎪
⎪⎪r r s ⎪⎪(a b ) =a b (a >0, b >0, r ∈) ⎪⎩⎩⎪
⎪x ⎪
⎪指数函数⎧定义:一般地把函数y =a (a >0且≠做指数
⎪⎨⎪⎪⎩性质:见表1⎩
⎪
⎧⎧对数:x =lo g a N , a 为底数,真数⎪
⎪⎪⎪
⎧lo g a (M ⋅N ) =lo g a M g a N ; ⎪⎪⎪基本初等函数⎨⎪⎪⎪⎪⎪lo ; ⎪⎪⎪⎪⎪对数的运算⎨⎪⎪⎪性质⎨lo 0, a ≠1, M >0, 对数函数⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
(a , c >0且
a , c ⎪⎪换⎪⎪⎪⎩⎩⎪
⎪⎪
⎪对数函数⎧定义:一0且a ≠1) 叫做⎪⎨⎪⎪⎩性质:见⎩
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