全等三角形的提高训练
全等三角形的提高训练
1．如图，D、E分别在AB、AC上，BD、CE相交于O，∠OBC =∠OCB = B
C
E
A
12
∠A，求证：BE=CD．
D
2．已知△ABC中，∠BAC = 45°，以AB、AC为边在△ABC外作等腰△ABD和△ACE，AB = AD、AC = AE，且∠BAD =∠CAE，连CD、BE并交于F，连AF．
（1）①如图1，若∠BAD = 60°，则∠AFE = ． ②如图2，若∠BAD = 90°，则∠AFE = ．
③如图3，若∠BAD = 120°，则∠AFE = ． （2）如图4，若∠BAD = α°，猜想∠AFE 的度数，并予以证明．
（3）如图5，将图2中的△ABD绕点A顺时针旋转β°（45°＜β＜90°），直接写出∠AFE的度数（不必证明）．
1
3．如图， 已知△ABC中，∠B=30，现将△ABC绕点A顺时针旋转角度α至△ADE，直线BC与直线DE交于点F，连结AF．
（1）若α=60（如图1），则∠AFB= ； 若α=90（如图2），则∠AFB= ；
（2）若00＜α＜1200（如图3），猜想∠AFB的度数（用α表示）， 并证明你的结论
（3）若120＜α＜180（如图4），（2）中的猜想结论还成立吗？ 若不成立，试探究∠AFB的度数，并写出你的结论（不必证明）
E
图3
C
FE
E图4
DC
D
E
图1
C
图2
4．如下图：将斜边均为2的一副直角三角板如图1摆放，C、B、D在同一直线上，将Rt△CDE绕C点逆时针旋转α角，CE交AB于F，CD交AB于G，GH⊥AB交AC于H． （1）若α=45°（如图2），求BE的长度； （2）若α=45°（如图2），求证：GH+BF=GF； （3）若α=75°（如图3），GH、BF、GF三条线段是否仍满足（2）中的关系式，请下结论并予于证明．
A
A
A
B DCHE
H
CB(F)
BEC图2
图1图3
2
5．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角形角尺如图1所示位置摆放，该三角形尺的直角顶点为F，三角形尺沿一条直角边AC边所在直线移动：
（1）图1：当另一直角边恰好经过点B时，则BF CG； （2）图2：当另一直角边与BC相交于点D，（点D不与点B重合）判断DF、DE、CG之间存在的一种关系是 ；
C
B
C
（3）若三角形尺继续移动到如图3所示的位置时，判断DF、DE、CG之间存在的一种关系
是 ；和三角形尺继续移动到AC延长线上如图4所示的位置时，判断DF、DE、CG之间存在的一种关系是；请你选择其中一种情况说明理由．
6．如图：在△ABC中，BC=2AB=4，AD为边BC上的中线，E、F分别为BC、AB上的动点，且CE=BF，EF与AD交于点G. FH⊥AG于H
（1）①如图1，当∠B=90︒时，FG EG；GH= . ②如图2，当∠B=60︒时，FG EG；GH= . ③如图3，当∠B=α时，FG EG；GH= . 请你先填上空，再从以上三个命题中任选择一个进行证明； _A
_ D
_ E
__ BC
_A
_ D
_ E
FA
_ F
_B
B
D
E
C
图3
3
（2）如图4，若（1）中的点E、F分别在BC、AB的延长线上，试问（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
7．△ABC中，CA=CB，点D为AB的中点，∠A=30°，M、N分别为AC、BC上的点.且∠CMD＋∠CND=180° ①如图9，当CM=CN时， DM与DN的数量关系为___________；∠MDN =__________；CM+CN与AB的数量关系为________________________.
②如图9-1，当CM≠CN时，①的结论是否成立？
A
A
C
FBA
D
G
E
图4
D
D
B
B
图9 图9-1
③如图9-2，若点M在AC的延长线上，点N在BC上，其它条件不变，CM、CN、AB有何数量关系？ A
④在图9-1中，若∠A=a，则DM和DN的数量关系为____________，∠MDN=______________.
8．等腰△ABC和等腰△DCE，AB＝AC，DC＝DE，∠ACB＝∠DCE，P、M、N分别为AD、BC、CE的中点，连接PM、PN．
①如图①，B、C、D依次在同一直线上，∠ACB＝30°，则∠MPN＝ ； ②如图②，B、C、D依次在同一直线上，∠ACB＝45°，则∠MPN＝ ； ③如图③，B、C、D依次在同一直线上，∠ACB＝60°，则∠MPN＝ ；
4
C
M
N
D
B
图9-2
④如图④，B、C、D依次在同一直线上，∠ACB＝α， 则∠MPN＝ ； （1）请你完成以上各空，并从中任选一个进行证明；
（2）如图⑤，将图①中的△ABC绕C点旋转180°，使得A点在CE上，B点在CD上，∠ACB＝30°，则∠MPN的度数为多少？写出你的结论并给予证明．
9．（1）如图1，△ABC和△ECD都是等边三角形，图中有一对全等三角形可以看成是旋转变换得到的.它们是_______________，其旋转中心是_______，旋转角的度数是________；
（2）在（1）中，将△ECD绕C点任意旋转一个角度得如图2，分别取AD、BE的中点M、N，连结MN、MC、NC. 则∠MCN的度数=__________；
（3）如图3，若△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，且C为直角顶点，M、N分别是AD、BE的中点，请判断△MCN的形状，并证明你的结论． B
5
B
A
P
C
A
P
B
M
C
D
N
E
P
B
D
N
E
MC
①
N
E
A
②
③
MBP
P
A
⑤
N
E
B
M
C
D
N
E
④
A
E
A
B
C
E
N
B
M
E
图1 图2
图3
C
D
10．如图，点A在x轴上，点D在y轴上，以OA、AD为边分别作等边△OAC和等边△ADE，若D（0，4），A（2，0）．
（1）求CE的长；
（2）若∠DAC=10°，求∠AEC的度数．
（3）如图，若点P为x轴正半轴上一动点，点P在点A的右边，连PC，以PC为边在第一象限作等边△PCM，延长MA交y轴于N，当点P运动时，
①∠ANO
②AM-AP
（4）如图，点P为x轴上A点右一动点，以PA为边在第一象限作等边△PAM，连OM、PC，并交于F，连AF，当P点运动时，
AF MFPF
的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由．
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