相似三角形压轴经典大题(含答案)

相似三角形压轴经典大题解析

1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．

（1）请你用含x的代数式表示h．

（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，

△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，

【答案】解：（1） MN∥BC ∴△AMN∽△ABC

∴

h6=x

8 ∴h=3x4 （2） △AMN≌△A1MN

∴△A1MN的边MN上的高为h，

①当点A1落在四边形BCNM内或BC边上时，

y=S1133

△A1MN=2MN·h=2x·4x=8x2（0

②当A1落在四边形BCNM外时，如下图(4

设△A1EF的边EF上的高为h1， 则h1=2h-6=

3

2

x-6 EF∥MN

∴△A1EF∽△A1MN

△A1MN∽△ABC∴△A1EF∽△ABC

y最大，最大值为多少？

S△A1EFS△ABC

⎛h⎫= 1⎪ ⎝6⎭

⎛3⎫x-6 ⎪32

== 2+⎪⨯24=x-1x

2 6⎪

⎝⎭

2

2

1

S△ABC=⨯6⨯8=24 ∴S△A1EF

2

42

y=S△A1MN-S△A1EF=

所以 y=-

32⎛329⎫

x- x-12x+24⎪=-x2+12x-24 88⎝2⎭

92

x+12x-248

(4

32

x，取x=4，y最大=6 8

综上所述：当0

92

x+12x-24， 8

16

，y最大=8 3 8>6

16

∴当x=时，y最大，y最大=8

3

A

N

B A1

F

C

2．如图，抛物线经过A(4，，0)B(1，，0)C(0，-2)三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

【答案】解：（1） 该抛物线过点C(0，-2)，∴可设该抛物线的解析式为y=ax+bx-2． 将A(4，0)，B(1，0)代入，

2

1⎧

a=-，

⎧16a+4b-2=0，⎪⎪2得⎨解得⎨ a+b-2=0.5⎩⎪b=.

⎪⎩215

∴此抛物线的解析式为y=-x2+x-2．

22

（2）存在．

如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为-当1

125

m+m-2， 22

15

AM=4-m，PM=-m2+m-2．

22

又 ∠COA=∠PMA=90°，

AMAO2

==时， ∴①当

PMOC1△APM∽△ACO，

即4-m=2 -

⎛125⎫

m+m-2⎪．

2⎝2⎭

解得m1=2，m2=4（舍去），∴P(2，1)． ②当

AMOC115

==时，△APM∽△CAO，即2(4-m)=-m2+m-2． PMOA222

解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）

1)． ∴当1

类似地可求出当m>4时，P(5，-2)． 当m

综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，-14)． -2)或(-3，

3．如图，已知直线l1:y=

28

矩x+与直线l2:y=-2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．

33

形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．

（1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为

t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的

t的取值范围．

【答案】（1）解：由

28

0)．得x=-4． ∴A点坐标为(-4，x+=0，

33

0)．由-2x+16=0，得x=8． ∴B点坐标为(8，

∴AB=8-(-4)=12．

28⎧

y=x+，⎧x=5，⎪

6)．由⎨解得∴C点的坐标为(5， 33⎨

⎩y=6．⎪⎩y=-2x+16．

∴S△ABC=

11

AB·yC=⨯12⨯6=36．

22

28

⨯8+=8．

33

（2）解：∵点D在l1上且xD=xB=8，∴yD=

8)． ∴D点坐标为(8，

∴-2xE+16=8．∴xE=4．又∵点E在l2上且yE=yD=8，

8)．∴E点坐标为(4，

∴OE=8-4=4，EF=8．

（3）解法一：①当0≤t

（图1）

∴

（图2）

（图3）

BGRGtRG

即=∴RG=2t． =，，

BMCM36

Rt△AFH∽Rt△AMC，

112

∴S=S△ABC-S△BRG-S△AFH=36-⨯t⨯2t-(8-t)⨯(8-t)．

223

41644

即S=-t2+t+ ．

333

82t, 当3≤t

(8-t)+=8-

333

∴

1282t880 s=⨯4[(4-t)++8-]=-t+233333

当8≤t

s

12tt2

=(8-)(12-t)=-8t+48 233

4．如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a>3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿

B→A，B→C运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点

N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．

（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=______厘米；

（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围； （4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

N 3

【答案】解： （1）PM=，

4

（2）t=2，使△PNB∽△PAD，相似比为3:2

（3） PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，

△AMP∽△ABC，∴∴QM=3-

t(a-1)

a

PMAMPMa-tt(a-t)

即， ==， PM=

BNABtaa

当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即

(QP+AD)DQ(MP+BN)BM

=

22

⎛t(a-t)⎫⎛t⎫

3-+3(a-1) ⎪ (a-t)+t⎪t

aa⎭⎭化简得t=6a，

=⎝=⎝

226+a

t≤3，∴

6a

≤3，则a≤6，∴3

（4） 3

∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM

t6a

代入，解之得a=±

，所以a= ∴(a-t)=3-t，把t=

a6+

a

所以，存在a

，当a=PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．

5．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

【答案】 解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.

又因为∠B=60,所以△BPQ是等边三角形. (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin60=3t,由AP=t,得PB=6-t,

所以S△BPQ=

3211

×BP×QE=(6-t)×3t=－t+33t；

222

(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=60，∠RQC=∠B=60，又因为∠C=60, 所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos60=

1

×

2t=t, 2

所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形, 所以PR=EQ=t,又因为∠PEQ=90,所以∠APR=∠PRQ=90.因为△APR～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=60,所以tan60=

6-2tQR6,即=,所以t=, PR53t

所以当t=

6

时, △APR～△PRQ 5

6．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标；

（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的

解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、

N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

.7．在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 于点O，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD

的数量关系和位置关系；

（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到

图15-2，其中AO = OB． 求证：AC = BD，AC ⊥ BD；

（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到

图15-3，求

【答案】 解：（1）AO = BD，AO⊥BD；

M 2

N

B

图7-1

M

BD

的值． AC

A

图7-2

B

N

M

（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．

A N

图4

B F

M

又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE， ∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．

∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．

（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．

又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC．

M C

∴

BEBO

． =

ACAO

又∵OB = kAO，

B

图5

由（2）的方法易得 BE = BD．∴

BD

=k． AC

N

10．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。 （1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？

（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；

（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；

（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理

由；