几何证明--线段和差模型(中级)
几何证明——线段和差模型(中级)
【知识要点】
在几何证明中,我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段(abc),或者两条线段之差等于一条线段(abc)。在处理这类线段和差关系的问题时,我们常用“截长”与“补短”的方法。
截长补短法,是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法,也是把几何问题化难为易的一种思想。截长就是在一条线段上截取成两段(一分为二),补短就是在一条边上延长,使其等于一条所求边(合二为一)。
截长法:如果要证明线段等式abc,可以在长的一条线段a上截取一条线段等于b(或者c),然后只需证明线段a上去掉b(或者c)之后剩下的线段等于c(或者b)就行了。
补短法:如果要证明线段等式abc,可以先将短的两条线段b和c拼接在一起形成一条长线段d,然后只需要证明ad就行了。
截长补短的方法比较灵活,要根据具体的题目条件,作出相应的辅助线。 对于一些经典的截长补短模型,希望同学们能记住并掌握其用法,以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。
【经典例题】
例1、(1)正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,EAF45。求证:EFDEBF。
F
(2)正方形ABCD中,点E在CD延长线上,点F在BC延长线上,EAF45。请问现在
EF、DE、BF又有什么数量关系?
E
(3)正方形ABCD中,点E在DC延长线上,点F在CB延长线上,EAF45。请问现在
EF、DE、BF又有什么数量关系?
例2、正三角形ABC中,E在AB上,F在AC上EDF60。DBDC,BDC120。 请问EF、BE、CF有什么数量关系?
B
例3、已知:AC平分BAD,CEAB,BD180,求证:AEADBE。
C
例4、正方形ABCD中,对角线AC与BD交于O,点E在BD上,AE平分∠DAC.求证:
A
AC
ADEO. 2
D
例5、已知,如图,在ABC中,ABAC,BADCAD,P为AD上任一点.
求证:ABACPBPC。
B
【提升训练】
1、如图,已知ABC中,边BC上的高为CD,B2C,求证:CDABBD。
C
2、已知:AD平分BAC,ACABBD,求证:B2C。
B
3、已知ABC3ACB,BAECAE,BEAE,求证:ACAB2BE。
B
C
4、如图,在ABC中,BAC60,AD是BAC的平分线,且ACABBD,求ABC的度数。
5、如图,四边形ABCD中,AB//DC,BE、CE分别平分ABC、BCD,且点E在AD上。求证:
BCABDC。
C
6、如图所示,ABC是边长为1的正三角形,BDC是顶角为120的等腰三角形,以D为顶点作一个60的
MDN,点M、N分别在AB、AC上,求AMN的周长。
B
7、如图,在梯形ABCD中,AD//BC,C90,E为CD的中点,EF//AB交BC于点F。
C
,BC7,且BE平分ABC时,求EF的长。
(1)求证:BFADCF;(2)当AD1
D
D
EE
B
8、已知ABC中,A60,BD、CE分别平分ABC和.ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、
BC 的数量关系,并加以证明。
C
B
C
B
9、己知,ABC中,ABAC,CDAB,垂足为D,P是BC上任一点,PEAB,PFAC垂足
分别为E、F.(1)求证: PEPFCD;(2)若P在BC延长线上,求证:PEPFCD。
B
P
10、(1)如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点。AEF90, 且EF交正方形外角
DCG的平行线CF于点F,求证:AEEF。
(2)如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上(除B,C外)的任意一点。AEF90,且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F,求证:AEEF。
(3)如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点。AEF90,且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F,求证:AEEF。
11、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为ABC外一点,且MDN60,
BDC120,BDCD。探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之
间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系。
AA
D
C
D
C
DC
图1 图2 图3
(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DMDN时,BM、NC、MN之间的数量关系是
_______ ; 此时
Q
; L
(2)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出
你的猜想并加以证明;
(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若ANx,则Q (用x、L
表示)。