关于自然对数底e和圆周率π的出处探索及应用

　　【摘要】 通过本文，可了解数e、π的来龙去脉和在数学等自然科学中的运用。此文充分阐述了两个重要的数学常数在人类社会以及自然科学的发展中诞生的历程。使读者能更广泛和深层次地了解两个重要数学常数。常数e在编制自然对数表、微积分中的应用十分微妙有趣、精彩而广泛。而微积分对近代力学、天文学以及物理和其他科学技术的运用，都离不开常数e的应用。而我们从小学、初中、高中都经常用到的数π，到底是一个什么样的数？而这个数又对数学、自然科学有什么样的作用和特殊之处？通过本文，对π就有了一个更深层次的认识与理解，对提高我们的数学知识和数学在生产、生活以及自然科学中的应用起到了以点带面的作用。而且使广大读者认识到了数e和数π 的趣味性和美妙性。 　　【关键词】 趣味 数学 常数e和π出处 探讨 应用 　　 一、 常数e和π的探源。 　　为什么数学家们要用e作自然对数的底，以e为底的对数为什么叫自然对数，e究竟是一个什么样的数？它为什么和怎样与圆周率π一样，在整个科学中大放异彩。 　　（一）数学5大常数：1，0，i,π,e中的3大常数：e,π,i都与大数学家欧拉有密切的关系，现在数学界通常认为这三大常数是欧拉发明介绍的。另一种说法是，1600年，英国威廉奥托兰首先使用π表示圆周率，因为π是希腊文之"圆周"的第一个字母。1706年英国的琼斯使用π表示圆周率，1737年欧拉在其著作中使用π，而琼斯使用π时并未被数学界立刻接受，欧拉予以提倡，则逐渐被数学家广泛接受，沿用至今，全世界通用π表示圆周率。而欧拉选择e 作为自然对数的底的理由较为人所接受的说法有二：一为a,b,c,d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；一为e 是指数的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的指数都是它。也有人认为，欧拉取自己名字的第一个字母作为自然对数的底数。著名的欧拉公式e��iφ�=cosφ+isinφ,当φ=π时有eiπ+1=0 是数学中最美妙的式子，它把数学中的五大常数e,i,π,0,1融入到一个式子中，体现了数学的不可思议的美。 　　人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖，放射性元素的衰变，都要研究 ,当n趋于无穷时的极限。（正是这种从无限变化中获得的有限而产生出一个数学上最常用的常数e） 。当n→∞时，lim（1+1/n）�n为多少？利用二项式定理：记x�n=(1+1/n)�n展开有： 　　 　　比较（1）式与（2）式两式右端，发现（2）式右端多出k=n+1的一项且每个括号中的因子都大于（1）式中的相应因子，所以有x��n+1�＞x�n，即数列{x�n}严格递增。 　　将（1）式右端中所有括号表示的因子都放大为1，当n≥2时便有 　　 　　这表明{x�n}有上界，从而由单调收敛定理：单调有界数列必收敛（《数学分析》科学出版社第二版上册第31页）知数列收敛。数列收敛到一个2到3之间的实数，记它的极限为e，也就是e=，数e就是自然对数的底数，它在数学分析及高等数学中占有极为重要的地位，它的近似值： 　　 　　e是一个无理数，又是一个超越数。从两个相反方向发展（当n 趋向于正无穷大的时候，的极限等于e，当n趋向于负无穷大时，的极限也等于e），这种共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。 　　(二)圆周率π的出现更具传奇色彩。很早以前，人们就认识到圆的周长和直径的比是与圆的大小无关的常数，称之为圆周率。前面已经提到过，是欧拉最早推广使用π表示圆周率的。 　　很早以前国内外就有求圆周率的杰出科学家。圆周率π=圆的周长/圆的直径，它是一个常数，最早出于解决有关圆的计算问题，比如已知直径，求圆周和已知直径求圆面积，都与这个常数有关。阿基米德第一次创用上、下界来确定π的近似值。他用几何方法证明了"圆周长与圆直径之比有如下关系：3+（10/71）　　二、 e和π的应用。 　　关于π和e在生产生活及数学中的应用是十分广泛的，是数学中不可缺少的两个常数。 　　以e编制对数表最好，微积分公式具有最简的形式。以e为底的对数称为自然对数，数学符号为ln,它与常用对数lg一样也是最常用的对数。 �(e�x)�、e�x，fe�xdx=e�x+c�,关于自然对数底的微分、积分是所有微积分中最简单的形式。并且对于�f1xdx=1n｜x｜+c�也是积分最常用的公式，其中ln是自然对数的专用符号。这里特别介绍一下e在实际生产生活中的应用实例。 　　1、 碳-14测年代的方法可应用于《放射性考古学》对古动、植物化石生长年代的测定，以及对人类考古的测定，在放射性地质年代学，放射性考古学等崭新的学科分支中十分有用。它的测定原理是应用了放射性同位素的衰变，公式为�e��-λt�=m（t）m�0� 可得到�t=-1nm（t）m�0/λ�，其中：t：为为生物体从生长年代到测量时经过的时间。 　　m(t)：待测定的生物体（或生物化石）的碳-14含量。 　　m0：生物体生长时的碳-14含量。 　　λ：碳-14的衰变常数为�1.209×10��-4�� 　　通过对生物体出土化石中碳-14和碳-12含量的测定，就可以准确算出生物体生存的年代。 　　2、在力学、物理的实际应用中，有时要求解微分方程：dy/dx=p(x)y+Q(x),而恰恰数e 发挥了重大作用，其通解为�y=e��fp（x）dx�［c+fQ(x)e��-fp（x）dx�dx］�。在初等函数中，双曲函数是以数e为主要对象进行定义的：�shx=e�x-e��-x�;chxe�x+e��-x�2� 　　对于数e的应用，在高等数学、导数、微分、积分以及有关物理学、考古学中应用十分广泛，这里就不一一列举了。下面来谈谈圆周率π在生产、生活及数学中的应用。 　　3、π是一个无理数，是一个无限不循环小数，而当今在生产生活当中应用十分广泛的计算机与π之间有奇妙的关系。由于π的小数位无限，而小数位的数值又是一定的，所以人们发现π可以用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性。这对计算机本身的改进至关重要。Intel公司推出奔腾时，发现它有一点小问题，这问题正是通过运行π的计算而找到的。而实际生产生活中求圆的面积，球的表面积和球的体积，旋转体的侧面积及体积计算，都要用到π。 　　例如 　　解：令 x= asint(0≤x≤a),此时dx=acostdt,当t从0变到π2时，x从0变到a,所以 　　 　　在区间［0，a ］上，曲线�y=√a�2-x�2� 是圆周�x�2+y�2=a�2�的1/4 。 　　所以半径为a的圆面积是所求定积分的4倍，即S=4•π4a�2=πa�3这就从微积分的角度证明了圆面积的公式。π发挥了巨大作用。 　　因为一个圆周规定为360度=2π， 　　而直角90度=π2 ，在所有三角函数的计算中，π 　　的作用不可缺少，是最常用的数值之一。 　　 再举两个例子。 　　 (2)求半径为r的球面的面积。 　　解：球面的面积就是函数�y=√r�2-x�2� 绕x轴旋转所得的旋转体的侧面积，这时有 　　 　　于是由公式 及对称性有： 　　 　　这正是中学中的球面积公式。只不过当时是只知其然，不知其所以然。而现在知道其所以然了。 　　（3）求椭圆�x�2a�2+y�2b�2�绕x轴旋转所得的旋转椭球的体积。 　　解：这时�y�2=b�2（1-x�2a�2）�有 ,由公式及对称性有 　　 　　显然，当椭圆的长轴a等于短轴b等于r时，椭球就变成球，这个体积�V=43πab�2=43πr�3�,这就是中学中的球体积公式。以上两例是π在求曲线旋转的面积、体积的应用。圆的面积，球的表面积及体积等有关的计算，π发挥了不可或缺的作用。 　　关于数e 与数π是人类在自然科学，在数学上最精妙的发明和发现，对促进科学的发展、人类的进步产生了非常特殊而重要的作用。它们是两个常数，又不是普通的常数。它们是无理数，而且已证明它们还是超越数。e和π表现了人类高超的智慧和无限的发明创造才能，数e和数π是人类的杰作，它们还在推动着科学和人类社会的发展，永不休止地发挥它们无限的功能和作用。� 　　参考文献� 　　［1］ 《微积分》 赵树原 主编 中国人民大学出版社1988年5月第一版。� 　　［2］ 《数学分析》 李成章 黄玉民 编 科学出版社2004年7月第二版。� 　　［3］www.省略/ndhtml/pysx/jxyj/ 用mathematica研究自然对数的底数e。