因式分解方法大全
因式分解方法大全(一)
因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中。因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式,叫因式分解或分解因式。它与整式乘法是方向相反的变形,是有效解决许多数学问题的工具。因式分解方法灵活,技巧性强。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
因式分解的主要方法: ⑴提公因式法; ⑵运用公式法; ⑶分组分解法;
⑷十字相乘法;
⑸添项折项法;
⑹配方法;
⑺求根法;
⑻特殊值法;
⑼待定系数法;
⑽主元法;
⑾换元法;
⑿综合短除法等。
一、提公因式法: mambmcm(abc)
二、运用公式法: ⑴平方差公式:ab(ab)(ab)
⑵完全平方公式:a2abb(ab)
⑶立方和公式:ab(ab)(aabb)(新课标不做要求)
⑷立方差公式:ab(ab)(aabb)(新课标不做要求)
⑸三项完全平方公式:abc2ab2ac2bc(abc)
⑹ abc3abc(abc)(abcabbcac) [***********]22222
三、分组分解法.
㈠分组后能直接提公因式
例:分解因式:2ax10ay5bybx
解法一:第一、二项为一组;解法二:第一、四项为一组;
第三、四项为一组。第二、三项为一组。
解:原式=(2ax10ay)(5bybx)原式=(2axbx)(10ay5by) =2a(x5y)b(x5y) =x(2ab)5y(2ab) =(x5y)(2ab) =(2ab)(x5y)
㈡分组后能直接运用公式或提公因式
例:分解因式:a2abbc
解:原式=(a22abb2)c2
=(ab)c
=(abc)(abc)
四、十字相乘法.
凡是能十字相乘的二次三项式axbxc,都要求b22222224ac0而且是一个完全平方数。
㈠二次项系数为1的二次三项式:xbxc,
条件:如果存在两个实数p、q ,使得cpq且bpq,那么2x2bxc(xp)(xq)
例1、分解因式:x5x6
分析:将6分解成两个数的积,且这两个数的和等于5。 2
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适
合,即2+3=5。
1 2
解:x5x6=x2(23)x23 =(x2)(x3) 1×2+1×3=5
㈡二次项系数不为1的二次三项式——axbxc
条件:(1)aa1a2 a1 c1
(2)cc1c2 a
2 c2
(3)ba1c2a2c1 ba1c2a2c1
分解结果:axbxc=(a1xc1)(a2xc2)
例2、分解因式:3x11x10
分析: (-6)+(-5)= -11
解:3x11x10=(x2)(3x5)
㈢二次项系数为1的齐次多项式
例3、分解因式:m6mn8n
解:原式=m[(2n)(4n)]m(2n)(4n) 1 -2n
=(m2n)(m4n) 1 -4n
(-2n)+(-4n)= -6n
㈣二次项系数不为1的齐次多项式
例4、2x7xy6y
2222222222
2 -3y
(-3y)+(-4y)= -7y
解:原式=(x2y)(2x3y)
五、添项、拆项法:
(1)、巧拆项:在某些多项式的因式分解过程中,若将多项式的某一项(或几项)适当拆成几项的代数和,再用基本方法分解,会使问题化难为易,迎刃而解。
例1、因式分解a2b24a2b3
解析:根据多项式的特点,把3拆成4+(-1),
解:a2b24a2b3
a2b24a2b41
(a24a4)(b22b1)
(a2)2(b1)2
(ab1)(ab3)
32例2、因式分解 x6x11x6
222解析:根据多项式的特点,把6x拆成2x4x;把11x拆成8x3x
32解:x6x11x6
(x32x2)(4x28x)(3x6)
x2(x2)4x(x2)3(x2)
(x2)(x24x3)
(x1)(x2)(x3)
(2)、巧添项:在某些多项式的因式分解过程中,若在所给多项式中加、减相同的项,再用基本方法分解,也可谓方法独特,新颖别致。
例3、因式分解x44y4
解析:根据多项式的特点,在x44y4中添上4x2y2,4x2y2两项,
解:x44y4
(x44x2y24y4)4x2y2
(x22y2)2(2xy)2
(x22xy2y2)(x22xy2y2)
例4、因式分解 x33x24
222解析:根据多项式的特点,将3x拆成4xx,再添上4x,4x两项,则
32解:x3x4
x34x24xx24x4
x(x24x4)(x24x4)
(x24x4)(x1)
(x1)(x2)2
六、配方法。
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例:分解因式x6x72 2
解:x6x72 2
x26x9972 (x3)292
(x39)(x39) (x12)(x6)