4静定结构的位移计算习题解答

第4章 静定结构的位移计算习题解答

习题4.1 是非判断题

(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。（ ）

(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。（ ） (5) 对于静定结构，有变形就一定有内力。（ ） (6) 对于静定结构，有位移就一定有变形。（ ）

(7) 习题4.1(7)图所示体系中各杆EA 相同，则两图中C 点的水平位移相等。（ ） (8) M P 图，图如习题4.1(8)图所示，EI =常数。下列图乘结果是正确的：

12ql 2l

(⨯⨯l ) ⨯ EI 384

（ ）

(9) M P 图、图如习题4.1(9)图所示，下列图乘结果是正确的：

11(A 1y 01+A 2y 02) +A 3y 03 EI 1EI 2

（ ）

(10) 习题4.1(10)图所示结构的两个平衡状态中，有一个为温度变化，此时功的互等

定理不成立。（ ）

(a)

习题 4.1(7)图

(b)

(a)M P 图

(a)M P 图

(b)

P

(b)

习题 4.1(8)图 习题 4.1(9)图

(a) 习题 4.1(10)图

【解】（1）错误。变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。

（2）错误。只有一个状态是虚设的。 （3）正确。

（4）错误。反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。 （5）错误。譬如静定结构在温度变化作用下，有变形但没有内力。 （6）错误。譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。 （7）正确。由桁架的位移计算公式可知。

（8）错误。由于取y 0的图为折线图，应分段图乘。 （9）正确。 （10）正确。 习题4.2 填空题

(1) 习题4.2(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引起D 点的水平位移∆D H (2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即位移的是_______原理。

(3) 用单位荷载法计算位移时，虚拟状态中所加的荷载应是与所求广义位移相应的。

(4) 图乘法的应用条件是：且M P 与图中至少有一个为直线图形。 (5) 已知刚架在荷载作用下的M P 图如习题4.2(5)图所示，曲线为二次抛物线，横梁的

抗弯刚度为2EI ，竖杆为EI ，则横梁中点K 的竖向位移为________。

(6) 习题4.2(6)图所示拱中拉杆AB 比原设计长度短了1.5cm ，由此引起C 点的竖向位移为________；引起支座A 的水平反力为________。

(7) 习题4.2(7)图所示结构，当C 点有F P =1(↓) 作用时，D 点竖向位移等于∆ (↑) ，当E 点有图示荷载作用时，C 点的竖向位移为

(8) 习题4.2(8)图（a ）所示连续梁支座B 的反力为F R B =11(↑) ，则该连续梁在支座B

16

下沉∆B =1时（如图（b ）所示），D 点的竖向位移δD

习题 4.2(1)图 习题 4.2(5)图

M =1

习题 4.2(6)图 习题 4.2(7)图

(b)

(a)

习题 4.2(8)图

【解】（1）

∆

3

(→) 。根据公式Δ=-∑R c 计算。

（2）虚位移、虚力；虚力 。 （3）广义单位力。

（4）EI 为常数的直线杆。 （5）

48.875

(↓) 。先在K 点加单位力并绘图，然后利用图乘法公式计算。 EI

（6）1.5cm ↑；0。C 点的竖向位移用公式Δ=∑N ∆l 计算；制造误差不会引起静定结构产生反力和内力。

（7）

∆

a

(↑) 。由位移互等定理可知，C 点作用单位力时，E 点沿M 方向的位移为

δ21=-

∆

a

。则E 点作用单位力M =1时，C 点产生的位移为δ12=-

∆

a

。

（8）

11

(↓) 。对（a ）、（b ）两个图示状态，应用功的互等定理可得结果。 16

习题4.3 分别用积分法和图乘法求习题4.3图所示各指定位移∆C V 。EI 为常数。 【解】1）求∆C V

（a ）

P

M （b ） P 图

习题4.3(1)图

（c

（1） 积分法

绘M P 图，如习题4.3（1）(b)图所示。在C 点加竖向单位力F P =1，并绘M 图如习题4.3（1）(c)图所示。由于该两个弯矩图对称，可计算一半，再将结果乘以2。

AC 段弯矩为

M =

则

11

x ，M P =F P x 22

∆C V =2⨯⎰

（2） 图乘法

l /2

F P l 3111

⨯x ⨯F P x d x =(↓) EI 2248EI

∆C V

2) 求∆C V

F P l 311F P l l 2l

=2⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(↓)

EI 2423448EI

（1） 积分法

M （b ） m ）P 图（kN·

（c

习题4.3(2)图

绘M P 图，如习题4.3（2）(b)图所示。在C 点加竖向单位力并绘M 图，如习题4.3（2）(c)图所示。以C 点为坐标原点，x 轴向左为正，求得AC 段（0≤x ≤2）弯矩为

M =x ，M P =10⨯(x +2) 2

则

∆C V =⎰

（2） 图乘法

2

1680x ⨯10⨯(x +2) 2d x =(↓) EI 3EI

由计算位移的图乘法公式，得

∆C V =

3) 求∆C V

1

EI

2112⎡1⎤680

⨯160⨯2⨯⨯2+⨯40⨯2⨯⨯2-⨯10⨯2⨯1=(↓) ⎢⎥3233⎣2⎦3EI

（a ）

P =ql /2（c 12M （b ） P 图

习题4.3(3)图

（1） 积分法

绘M P 图，如习题4.3（3）(b)图所示。在C 点加竖向单位力并绘M 图，如习题4.3（3）(c)图所示。根据图中的坐标系，两杆的弯矩（按下侧受拉求）分别为 AB 杆

1ql 1

M =-x ，M P =x -qx 2

242

CB 杆

M =x ，M P =

则

ql

x 2

∆C V

1=EI

1⎛ql 12⎫1-x ⨯x -qx d x +⎪⎰02 2EI ⎝4⎭

l

⎰

l /2

ql ql 4

x ⨯x d x =(↓)

224EI

（2）图乘法

∆C V

1⎛1ql 22l 2ql 21l 1ql 2l 2l ⎫ql 4

=⨯l ⨯⨯-⨯l ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎪=(↓) ⨯EI ⎝[1**********]32⎭24EI

4) 求ϕA

q

M （b ） P 图

（a ）

（c

习题4.3（4）图

（1）积分法

绘M P 图，如习题4.3（4）(b)图所示。在A 点加单位力偶并绘M 图，如习题4.3（4）(c)图所示。以A 为坐标原点，x 轴向右为正，弯矩表达式（以下侧受拉为正）为

M =1-

则

131x ，M P =qlx -qx 2 3l 22

3l MM MM P P

∆C V =⎰x +⎰x

02l 2EI EI 2l 1⎛3l 1⎛1⎫⎛312⎫1=⎰1-x ⨯qlx -qx d x +1-⎪ ⎪⎰2l EI 02EI 2⎝3l ⎭⎝2⎭⎝3l

2l

1⎫⎛3⎫

x ⎪⨯ qlx -qx 2⎪d x

2⎭⎝2⎭

=

5

ql 3（ ） 8EI

（2） 图乘法

由计算位移的图乘法公式，得

ϕA =

⎡112⎛1⎫1⎤⎛211⎫22

⨯ql ⨯2l ⨯⨯+⨯1+⨯2l ⨯ql ⨯ 1+⎪⨯⎥ ⎪⎢233332⎝⎭⎝3⎭2⎦⎣ 1⎡12121211⎤2

+⨯ql ⨯l ⨯⨯+⨯l ⨯ql ⨯⨯⎥

EI ⎢2333832⎦⎣

5

ql 3（ ） 8EI

12EI

=

习题4.4 分别用积分法和图乘法求习题4.4(a)图所示刚架C 点的水平位移∆C H 。已知EI =常数。

ql 2(c)(a)

(b)M P 图习题4.4图

【解】1）积分法

、（c ）图所示，建立坐标系如（c ）图所示。各杆的弯M P 、M 图分别如习题 4.4（b ）矩用x 表示，分别为

CD 杆

M =x ，M P =

AB 杆

1qlx 2

1

M =x ，M P =qlx -qx 2

2

代入公式计算，得

∆C H =⎰

2）图乘法

l 13111

ql 4(→) ⨯x ⨯qlx d x +⎰⨯x ⨯(qlx -qx 2)d x =

0EI 0EI 8EI 22l

∆C H

1⎛1ql 222ql 2l ⎫3=⨯⨯l ⨯l ⨯2+⨯l ⨯⨯=ql 4(→) ⎪EI ⎝223382⎭8EI

习题4.5 习题4.5(a)图所示桁架各杆截面均为A =2×10-3m 2，E =2.1×108kN/m2，F P =30kN，d =2m。试求C 点的竖向位移F P ∆C V 。

F P E

2

D

-3F P

F P

√2

2F P

(a)

E -2√22F P

F P

√F

P

P

C

B

(b) F

NP 图

(b) F NP 图

D

A 2

-√/2

1√2d

1√2d 0

-1√2/2

0.5

C

1

1d d

N （c

d

-√2-0

1

1√2d

1√2d F N （d ） 图

1

d

1√2d

（ c ） 图 F N 习题 4.5图

F N （d ） 图

【解】绘F NP 图，如习题4.5(b)图所示。

在C 点加竖向单位力，并绘N 图，如习题4.5(c) 图所示。 由桁架的位移计算公式Δ=

N F NP

∑EA l ，求得

∆C V =

10+F P d =2.64mm(↓) EA

习题4.6 分别用图乘法计算习题4.3和习题4.4中各位移。（见以上各题） 习题4.7 用图乘法求习题4.7（1）、（2）、（3）、（4）图所示各结构的指定位移。EI 为常

数。

【解】

1）求∆C V

（a ）

M （b ） P 图（c

习题 4.7（1）图

绘M P 图，如习题4.7（1）(b)图所示；在C 点加竖向单位力，并绘图，如习题4.7（1）(c) 图所示。

由计算位移的图乘法公式，得

∆C V =

1EI

⎡11⎫12⎫⎤⎛2⎛1⨯34q ⨯5⨯⨯7+⨯4+⨯16q ⨯5⨯⨯7+⨯4⎪⎥

⎪ ⎢233233⎝⎭⎝⎭⎦AB ⎣

1⎡11221123⎤⨯

ql ⨯l ⨯⨯4+⨯ql ⨯l ⨯⨯4⎥⎢EI ⎣223324⎦BC

2354 =q (↓)

3EI +

2）求ϕD

2ql 2

（a ）

M （b ） P 图

（c 2

2

ql

习题 4.7（2）图

绘M P 和图，分别如习题4.7（2）(b) 、(c) 图所示。 由计算位移的图乘法公式，得

ϕD =

=

11⎛132172⎫1⨯ ql +ql ⎪⨯1+2EI 2⎝88EI ⎭13

ql 3（ ） 12EI

112l ⎤⎡12

ql ⨯l ⨯1+⨯ql ⨯⨯1⎥ ⎢8382⎦⎣

3）求A 、B 两截面的相对转角ϕAB

q

2

（a ）

M （b ） P 图

（c

习题 4.7（3）图

绘M P 和图，分别如习题4.7（3）(b) 、(c

) 图所示。 由计算位移的图乘法公式，得

ϕAB =

=

1⎛121⎫

⨯ ⨯2ql 2⨯l -⨯ql 2⨯l ⎪⨯1 2EI ⎝238⎭11

ql 3（

） 24EI

4）求C 、

D 两点间的相对线位移∆CD 及铰C 左右两侧截面C 1、C 2之间的相对转角ϕC 1C 2

（c M （b ） P 图

（c

习题 4.7（4）图

绘M P 图，如习题4.7（4）(b) 图所示。分别加一对单位力和单位力偶，并绘图，如习题4.7（4）(c) 、(d) 图所示。

由计算位移的图乘法公式，得

∆CD =

1⎛11⎫1 ⨯ ⨯F P l ⨯l ⎪⨯EI ⎝22⎭

3

P l 3=(→←) 24EI

ϕC C =

12

1⎡111⎤⨯⎢⨯1⨯l ⨯⨯F P l ⎥⨯2 EI ⎣232⎦1

F P l 2（ ） 6EI

=

习题4.8 求习题4.8(a)图所示刚架A 、B 两点间水平相对位移，并勾绘变形曲线。已知EI =常数。

/24

(b)M P 图

(c)(d)变形曲线

习题 4.8图

【解】绘M P 和图，分别如习题4.8(b) 、(c) 图所示。则

∆AB =

12l 212l ⎤⎡112l 4l

⨯ql ⨯⨯⨯⨯2+ql ⨯l ⨯-⨯ql ⨯l ⨯⎢252242382⎥⎣424⎦

4ql

=-(→←)

60EI

1EI

变形曲线如习题4.8(d) 图所示，需注意图中A 、B 两点以上为直线。 习题4.9 习题4.9(a)图所示梁的EI =常数，在荷载F P 作用下，已测得截面B 的角位移为0.001rad （顺时针），试求C 点的竖向位移。

(a)

(c)

(b)M P 图

习题 4.9图

【解】绘M P 图，在B 点加单位力偶并绘M 图，分别如习题4.9(b) 、(c) 图所示。图乘得

ϕB =

令ϕB =0.001，得F P =

3F P

EI

0.001

EI 。 3

下面求∆C V （在M P 图中令F P =1即为对应之图）：

∆C V =

1

EI

212⎤27F P ⎡1

⨯3F ⨯3⨯⨯3+⨯3F ⨯6⨯⨯3⎥==9mm(↓) P P ⎢2323EI ⎣⎦

习题4.10 习题4.10(a)图所示结构中，EA =4×105kN ，EI =2.4×104kN·m 2。为使D 点竖

向位移不超过1cm ，所受荷载q 最大能为多少？

F M （b ） P 图、NP 图（c N 图

习题 4.10图

【解】绘梁杆的M P 图、桁杆的F NP 图，如习题4.10(b) 图所示。

在D 点加竖向单位力，绘梁杆的图、桁杆的N 图，如习题4.10(c) 图所示。 由组合结构的位移计算公式，求得∆D V 为

∆D V =

1⎡12213⎤

⨯2q ⨯4⨯⨯2-⨯4⨯2q ⨯1+⨯2⨯2q ⨯⨯2⎥⎢EI ⎣23334⎦1

+ [1.5q ⨯(-0.5) ⨯3+7.5q ⨯2.5⨯5]

EA 2q 183 =+q

EI 2EA

令∆D V =0.01，解得

q =32.04kN /m

即q 不超过32.04kN /m 时，D 点竖向位移不超过1cm 。

习题4.11 试计算由于习题4.11(a)图所示支座移动所引起C 点的竖向位移∆C V 及铰B 两侧截面间的相对转角ϕB 1B 2。

（a ）

R2=3

（b ）

R2

习题 4.11图

【解】在C 点加一竖向单位力，求出支座移动处的反力，如习题4.11(b) 图所示。则

∆C V =-∑R c =-(-1⨯0.01a -3a ⨯0.02) =0.07a (↓)

在铰B 两侧截面加一对单位力偶，求出支座移动处的反力，如习题4.11(c) 图所示。则

ϕB B =0

12

习题4.12 习题4.12(a) 、(b)图所示刚架各杆为等截面，截面高度h =0.5m，α =10-5，刚架内侧温度升高了40℃，外侧升高了10℃。试求：

图（a ）中A 、B 间的水平相对线位移∆AB 。 图（b ）中的B 点的水平位移∆B H 。

(a)

(b)（c N 图

（d N 图

习题 4.12图

【解】1）求图（a ）中∆AB

在A 、B 两点加一对单位力，绘图和N 图，如习题4.12(c) 图所示。按如下公式计算∆AB

∆AB =∑

互抵消，故∆AB =0。

2）求图（b ）中的∆B H

α∆t

h

⎰d x +∑αt l

N

因AC ，BD 杆两侧温度均升高了40℃，对上式无影响。其他四边代入上式计算结果相

在B 点加一水平单位力，绘图和N 图，如习题4.12(d) 图所示。

∆B H =

α⨯(40-10) 1

h

⨯⨯4⨯4⨯2+α⨯2

10+40

⨯1⨯4⨯2=0.0116m(→) 2

习题4.13 由于制造误差，习题4.13(a)图所示桁架中HI 杆长了0.8cm ，CG 杆短了0.6cm ，试求装配后中间结点G 的水平偏离值∆G H 。

(b)

习题 4.13图

【解】在G 点加一水平单位力，解出HI ，CG 杆的轴力N ，如习题4.13(b)图所示。则

∆G H =∑N ∆l =(0.8⨯1+0.5⨯0.6) =1.1cm(→)

习题4.14 求习题4.14(a)图所示结构中B 点的水平位移∆B H 。已知弹性支座的刚度系数k 1=EI/l，k 2=2EI /l 3。

（a ）=ql l

M （b ） P 图

（c

习题 4.14图

【解】（1）绘M P 图，并求支反力F R ，如习题4.14(b)图所示。

（2）在B 点加一水平单位力，绘图，并求支反力R ，如习题4.14(c)图所示。 （3）由公式Δ=

P R F R

d s +∑⎰EI ∑k ，得

∆B H

1122l 4ql 42

=⨯ql ⨯l ⨯l +⨯l ⨯ql =(→) EI 23EI 3EI