函数大小比较问题
对数值大小的比较方法
一、 底数相同，真数不同
例1. 比较log a 3与log a 4的大小，其中a >1。
解析 由于a >1，y =log a x 在(0,+∞) 上单调递增，3
例2. 设00且a ≠1，试比较log a (1-x )与log a (1+x )的大小 解析 当0
log a (1-x )-log a (1+x )=log a (1-x )+log a (1+x )=log a (1-x 2) >0。
当a >1时，
log a (1-x )-log a (1+x )=-log a (1-x )-log a (1+x )=-log a (1-x 2) >0。
综上所述，log a (1-x )>log a (1+x )。
点评 单调性明确的，利用对数函数的单调性直接比较，不明确单调性的分类讨论，最后再总结。
二、真数相同，底数不同
例3. 比较下列各组数中两个值的大小。
（1）log 27与log 37 （2）log 0.2(0.8)与log 0.3(0.8)
解析 （1）log 27=
11
, log 37=，又因为0
log 73log 72
所以log 27>log 37。
（2）log 0.2(0.8)=
1log 0.80.2，log 0.3(0.8)=
1log 0.80.3，
又因为0
点评 解决此类问题的办法是先套用换底公式，使其转变为底数相同的对数，再应用函数单调性进行比较。
三、 底数与真数都不同
例4. 比较下列各组数中两个值的大小。
（1）log 67与log 76 （2）log 3π与log 0.82 （3）log 78和log 89
解析（1）log 67>1>
1
=log 76，所以log 67>log 76。
log 67
（2）log 3π>1>0>log 0.82，所以log 3π>log 0.82。
（3）log 78=1+log 7
⎛8⎫⎛9⎫
log 9=1+log , 88 ⎪， ⎪
87⎝⎭⎝⎭
而log 7
⎛8⎫⎛9⎫⎛9⎫
>log >log 7 ⎪8 ⎪，所以log 78>log 89。 ⎪⎝7⎭⎝8⎭⎝8⎭
log 30.3
⎛1⎫log 3.4log 3.6
例5. 已知a =52，b =54，c = ⎪
⎝5⎭
解析 因为c =5
log 3
103
，比较a ，b ，c 的大小。
，所以本题等价于比较log 23.4、log 43.6、log 3
10
的大小。因为3
1010>1, log 43.6
1010
log 23.4>log 33.4>log 3，所以log 23.4>log 3>log 43.6。所以a>c>b。
33log 23.4>1, log 3
点评 底数与真数都不相同时，需要寻找中间值作为桥梁比较，常见中间值为0，1. 对于其
他更一般的情况，可以参照例4（3）和例5的方法构造中间值比较，有时候中间值比两边都小，因而本类型没有通法，只有特例。