第13章全等三角形导学案
第13章 全等三角形 导学案 1 2 第13章 全等三角形 导学案
第13章 全等三角形
【本章教学目标】
1、了解命题、公理、定理的含义,会区分命题的题设(条件)和结论,会判断真命题与假命题.
2、能根据给定的具体数据,动手画三角形,直观地感知全等三角形的判定方法,能理解用运动变换的方法证实全等三角形的判定方法,熟练掌握“若两个三角形的两边及其夹角分别对应相等,则两个三角形全等”、“若两个三角形的两角及其夹边分别对应相等,则两个三角形全等”、“若两个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等,则两个三角形全等”、“若两个三角形的三边分别对应相等,则两个三角形全等”四个全等三角形的判定方法,并会运用这些判定方法判定两个三角形全等.
3、熟练掌握直角三角形全等的特殊判定方法,并会用各种方法判定两个直角三角形全等.
4、了解尺规作图的步骤,掌握基本作图的方法,运用基本作图的方法作简单的几何图形,对一些简单的尺规作图,会写出主要作图的过程,不要求证明.
5、理解逆命题与逆定理的概念,会识别互为逆命题,回判断命题的真假性.
【重点】全等三角形的判定.
【难点】全等三角形的判定,正确地表达推理过程. 【关键】
(1)注意减缓坡度,循序渐进,开始阶段,证明的方向正确,过程简单,书写规范;
(2)随时注意教会学生怎样思考问题,随时证明命题的规律. 本章学习共需16课时,具体安排如下:
13.1 命题、定理与证明 2课时 13.2 三角形全等的判定 5课时 13.3 尺规作图 4课时 13.4 逆命题与逆定理 4课时 复习 2课时
【第1节课】
【课题】命题 【课型】新课型 【学习目标】
1、理解命题、条件、结论等概念.
2、能判断一个命题的真假,会区分一个命题的条件(题设)和结论,会用反例说明假命题.
【重点】会区一个命题的条件(题设)和结论. 【难点】用反例说明假命题. 【学习方法】探究性学习
【学习导航】
一、课前预习导学:(阅读教材P5455) 1、命题及组成.
判断一件事情正确或是错误的语句叫做 , 的命题称为真命题,错误 的称为假命题,命题是由 和 两部分组成的.条件是 事项;结论是由已知事项推出的 .命
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题常可以写成“ ”的形式,用“ ”开始的部分是条件,而用“ ”开始的部分是结论.
2、假命题的说明
要判断一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.
所谓反例就是举出一个符合该命题的 ,而不符合该命题的 的例子.如要说明“相等的角是对顶角”.如图所示,CDE,
AOB都是直角,则有CDEAOB,但CDE与AOB不是对顶
角.
二、探究问题: 【探究点1】命题
一般地,能明确指出概念含义或特征的句子称为定义. 如有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.这个句子反映了等腰三角形与其他三角形的不同之处:它有“两条边相等”这个特征,所以它就是等腰三角形的定义.
定义语言是非常严密的,一般不允许出现“一些”、“差不多”、“大约“等词语.
1、命题:可以判断正确与错误的句子叫做命题.命题是一个“判断句”,判断“是”与“非”.其中正确的命题叫做真命题;错误的命题叫做假命题.如“对顶角相等”是真命题,“相等的角是对顶角”是假命题.
2、命题的构成:每个命题都是由题设与结论两部分构成.题设是已知事项,结论是由已知事项推导出来的事项.命题常写成“如
果……,那么……”的形式,具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,就是命题的“已知”部分;用“那么”开始的部分是结论.
3、识别命题的真假性:识别命题的真假的关键是在题设成立的前提下看结论是否正确,可先举特例进行验证,若特例成立,还不能证明其是真命题,要由特殊转化为一般,再用推理的方法证明其结论的正确性.若举的特例不成立,原命题就是假命题,特例就是“反例”.
4、证明真命题的方法
由题设、定义、公理、定理等经过逻辑推理来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.证明一个命题是真命题,一般按以下步骤进行:
(1)审题“分清命题的题设与结论;
(2)画图:依题意画出图形,画图时应做到图形的正确且具有
一般性,切记将图形特特殊化;
(3)写出“已知”,“求证”.按照图形将题设与结论“翻译成”“已知”,“求证”;
(4)写出证明过程.根据条件结合图形,分析、探求解题思路,然后写出证明过程,证明的每一步都要叙述清楚,而且有理有据.
5、证明假命题的方法.证明一个命题是假命题,往往需举一个“反例”即可.也就是找出一个符合该命题的题设而不符合该命题的结论的例子,即不满足结论.
【例1】下列句子哪些是定义?哪些是命题? (1)对顶角相等;
(2)当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直;
(3)今天是星期几?
第13章 全等三角形 导学案 5 6 第13章 全等三角形 导学案
(4)过直线外一点作已知直线的垂线; (5)非负数的和大于0.
【温馨提示】本题要明确定义和命题两个概念,对名称和术语的含义加以描述.作出明确的规定这就是给它们下定义;而对事物进行判断的句子则是命题.
(2)是定义;(1)(2)(5)是命题;(3)(4)既不是定义也不是命题.
【及时演练】
你能找出下列句子中哪些属于命题吗?试试看. (1)垂直于同一条直线的两条直线平行. (2)响应党中央号召,开发大西南. (3)“法轮功”是邪教. (4)同角的补角相等. (5)同位角相等.
(6)两直线相交,只有一个交点. (7)若a2b2,则ab.
(8)台湾是中华人民共和国不可分割的领土. (9)若ab0,则a0.
【例2】指出下列命题的题设、结论:
(1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;
(3)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等; (4)如果12,23,那么13. 【及时演练】
对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:①a//b;②b//c;③ab;④a//c;⑤ac,以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题: .
【例3】判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,举一反例说明:
(1)一个角的补角必是钝角.
(2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线.
(3)两个正数的差仍是正数.
(4)将一个角分成两个相等的角的射线是这个角的角平分线. 【及时演练】 教材P55练习第1、2题 补充题:
1、下列命题中有 个是真命题,有 个是假命题. (1)2与6的平均值是8;
(2)能被3整除的数,一定能被6整除; (3)三角形的内角和是1800;
(4)等式两边加上同一个数,仍是等式;
(5)5是方程19x2x72
6
的根.
2、并指出它的条件和结论分别是什么?判断下列命题的真假. (1)如果ABCD,垂足是O,那么AOC900. (2)两直线平行,同位角相等.
(3)两个同旁内角的角平分线必互相垂直. 三、知识方法归纳与小结:(同学们讨论交流得出)
第13章 全等三角形 导学案 7 8 第13章 全等三角形 导学案
1、定义、命题的概念; 2、命题的构成; 3、判断命题的真假. 四、布置作业: 【课后巩固性作业】 教材P58习题第1、2题 【预复习作业】
1、复习:定义、命题的概念. 2、预习:定理与证明 【第2节课】
【课题】定理与证明 【课型】新课型 【学习目标】
1、理解基本事实、定理等概念;
2、理解证明的概念,并会对真命题进行证明. 【重点】基本事实、定理等概念. 【难点】区分定理的题设和结论 一、课前预习导学(阅读教材P5557)
1、基本事实:把公认的 视为基本事实.它是用来判断其它命题真假的 ,即 .
2、定理:有些命题可以从基本事实或其它 出发,用逻辑推理的方法判断它们是 ,并且可以作为进一步判断其它命题的 依据,这样的 叫做定理.
3、证明:根据 、 以及 、 等,经过演绎推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
4、直角三角形的两个锐角 . 二、探究问题 【探究点】公理和定理
1、公理:是指人们在长期实践中总结出来的的真命题,是判断其他命题真假的原始依据.如“经过两点有且只有一条直线”、“两点之间线段最短”等等.
2、定理:从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并可以进一步作为判断其他命题真假的依据.如“勾股定理.”
【温馨提示】不是所有的真命题都是定理.一般地,把经常使用
到的“真命题”“任命”为定理,并赋予它判断其他命题的使命.
【对比】定义、命题、公理、定理之间的联系与区别: (1)联系:这四者都是用来判断一件事情真假的句子,即定义、公理、定理也是命题.
(2)区别:定义、公理、定理都是真命题,都可以作为进一步判断其他命题真假的依据,公理是最原始的依据.而命题不一定是真命题,而且即使是真命题,因为它没有“定理”的身份,不能作为进一步判断其他命题真假的依据.
第13章 全等三角形 导学案 9 10 第13章 全等三角形 导学案
【及时演练】
1、“两条直线相交成直角,就叫做这两条直线互相垂直”,这个句子是( )
A.定理; B.基本事实; C.定义; D.命题.
2、下列说法不是基本事实的是( )
A.两点之间,线段最短; B.若ab,bc,则ac;
C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; D.内错角相等,两直线平行.
3、下列关于“证明”的说法正确的是( )
A.“证明”是一种命题; B.“证明”是一种定理; C.“证明” 是一种推理过程; D.“证明”就是举例说明.
4、下列说法不正确的是( )
A.若12,则1、2是对顶角; B.若1、2是对顶角,则12; C.若直线a//b,ac,则bc;
D.若13900,23900,则12.
【例】求证:内错角相等,两直线平行. 已知:如图,12. 求证:a//b.
【证明】∵ 12 (已知)
13 (对顶角相等)
∴ 23 (等量代换) ∴ a//b(同位角相等,两直线平行)
【温馨提示】
1、正确区分命题的题设和结论;
2、根据题意画出图形、并写出已知和求证;
3、证明一个命题的正确性,必须进行严格的推理过程. 及时演练】
1、如图所示,12,D3. 求证:DB//EC. 证明】
∵ 12 ( ),
∴ // ( ), ∴ D ( ),
∵ D3 ( ),
∴ ( ), ∴ ( ).
2、如图所示,直线AB、CD相交于点O,AOCBOE. 求证:OB平分DOE.
教材P58练习第1、2题
三、知识方法归纳与小结:(同学们讨论交流得出) 1、基本事实、定理与证明的概念; 2、逻辑推理. 四、布置作业:
【课后巩固性作业】教材P58习题第3题 【预复习作业】
【【
第13章 全等三角形 导学案 11 12 第13章 全等三角形 导学案
1、复习:命题、公理、定理及证明的概念. 2、预习:全等三角形的判定
【第3节课】
【课题】全等三角形的条件 【课型】新课型 【学习目标】
1、理解全等三角形的概念,及全等三角形经过一系列变换后,能够完全重合;
2、掌握全等三角形的性质. 【重点】全等三角形的概念及性质. 【难点】找全等三角形的对应边、对应角. 【学习方法】探究性学习
【学习导航】
一、课前预习导学:
1、全等三角形:能够 的两个三角形是全等三角形,相互重合的顶点是 ,相互重合的边是 ,相互重合的角是 .
2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边 、对应角 .
3、经平移、旋转、轴对称后得到的三角形与原三角形 . 二、探究问题:
【探究点】全等三角形的概念
1、全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2、全等三角形的定义识别法:两个三角形的边、角分别对应相
等,则这两个三角形全等.根据定义来判断两个三角形全等,需要的条件较多,所以我们需要寻找用较简单的方法来判定两个三角形是否全等.
3、全等三角形的基本图形大致有以下几种,熟悉全等三角形的基本图形对今后解题,特别是有意识地寻找全等三角形起到事半功倍的效果.
(1)平移型:如图中的几种图形属于平移型,它们可看成有对应边在一条直线上移动所构成的,故该对应边的相等关系一般由同一条直线上的线段的和或差而得到.
(2)对称型:如图中的几种图形属于对称型,它们的特征是沿着直线对折,直线两旁的部分能完全重合,重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.
(3)旋转型:如图中的几种图形属于旋转型,它们可看成是以三角形的某一个顶点为中心旋转所构成的,故一般有相等的角隐含在对顶角或某些角的和或差中.
第13章 全等三角形 导学案 13 14 第13章 全等三角形 导学案
例、如图,在两个全等三角形中,AC,则表示这两个全等三角形的数学表 ,相等的边有: , 相等的角有: .
分析:已知A与C对应,由对顶角相等,得O与O为对应点,于是D与B为对应点,所以两个全等三角形的数学表达式为:
AOD≌COB;相当的边有:OAOC,OBOD,ADCB;相
当的角有:AC,DB,AODCOB.
【及时演练】
1、对于两个三角形,给出下列结论:①两个三角形的周长相等;②两个三角形的面积相等;③两个三角形的周长和面积都相等;④两个三角形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个三角形全等的结论共有( )
A.1个;B.2个;C.3个;D.4个. 2、如图所示,已知ABC≌CDA,
A和C,B和D分别是对应点,若AB7cm,AC6cm,BC4cm,则CD的
长为( )
A.6cm; B.7cm; C.4cm; D.不确定.
3、如图,已知ABC≌BAD,ACBD,这两个三角形的对应边是 与 , 与 , 与 ,根据全等三角形的性质,可知:
AD ,C ,ABC ,BAC .
三、知识方法归纳与小结:(同学们讨论交流得出) 1、全等三角形的概念; 2、两个三角形的全等的条件; 3、全等三角形的基本图形的情况. 四、布置作业:
【课后作业】教材P61练习第1、2、3题 【预复习作业】
1、复习:全等三角形的意义及全等的条件. 2、预习:全等三角形判定方法——边角边
【第4节课】
【课题】三角形全等的判定方法——边角边公理 【课型】新课型 【学习目标】
1、理解“边角边”、定理,分清命题的题设和结论;
2、能正确应用“边角边”定理证明三角形全等,线段(角)相等. 【重点】三角形全等的判定方法——边角边公理. 【难点】培养观察、分析、逻辑推理的能力. 【学习方法】探究性学习
【学习导航】
一、课前预习导学:(阅读教材P6265) 边角边:
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应 ,那么这两个三角形 .简记为“边角边”或“S.A.S”.
符号语言:如图所示,在ABC与DEF中,
第13章 全等三角形 导学案 15 16 第13章 全等三角形 导学案
ABDE已知
B ,
BCEF所以 ABC
≌DE(F ) 【温馨提示】利用“S.A.S”证明两个三角形全等时,已知两边对应相等,必须再证明它们的夹角(即两边组成的角)相等. 二、典例互动
【例1】如图,已知:ACAD,CABDAB. 求证:ACB≌ADB.
分析:在ACB和ADB中,已知哪些元素对应相等?还差什么条件?
【证明】在△ACB和△ADB中,
ACAD
( )CABDAB
( )
ABAB ( )∴ ACB≌AD B (S.A.S)
【温馨提示】公共边是证明三角形全等的隐含条件.
【例2】如图,已知:在△ABC中,ABAC,AD平分BAC. 试证明ABD≌ACD.
引导学生分析:在ABD和ACD中,题中告诉了三角形全等的 什么条件,在图形中还知道三角形全等的什么条件,还差什么条件, 这个条件怎么得到?
【证明】∵ AD平分BAC (已知)
∴ BADCAD (角平分线定义)
在ABD和ACD中,
ABAC
( )BADCAD( )
ADAD ( )∴ ABD≌ACD(S.A.S). 【及时演练】教材P65练习第1、2、3题
三、知识方法归纳与小结:(同学们讨论交流得出) 1、三角形全等的判定方法一,即“边角边”公理; 2、证明的书写格式. 四、课后作业: 【当堂巩固性作业】 教材P76第2题 补充题:
如图,已知ABC和EDC都为等边三角形. 求证:ADBE. 【预、复习作业】
复习:全等三角形的判定方法一. 预习:三角形全等的判定方法二.
【第5节课】
第13章 全等三角形 导学案 17 18 第13章 全等三角形 导学案
【课题】三角形全等的判定方法二——角边角公理 【课型】新课型 【学习目标】
1、理解“角边角”、“角角边”定理,分清每个命题的题设和结论. 2、能正确应用“角边角”、“ 角角边”定理证明三角形全等,线段(角)相等.
【重点】三角形全等的判定方法二——角边角公理 【难点】培养观察、分析、逻辑推理的能力. 【学习方法】探究性学习
【学习导航】
一、课前预习导学:(阅读教材P6668) 1、角边角
如果两个三角形有两个角及夹边分别对应 ,那么这两三角 形 .如图,在ABC与DEF中,
A已知
AB
B ∴ ABC≌DEF ( ). 2.角角边
如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应 , 那么这两三角形 .如上图,在ABC与DEF中,
ADBE
ACDF∴ ABC≌DEF ( ).
3、利用“A.S.A”证明两个三角形全等时,已知两角对应相等, 必须再证明它们的夹边(即两角的顶点组成的边)相等.利用“A.A.S”证明两个三角形全等时,已知两角对应相等,必须再证明其中一个角的对边相等.
二、典例互动
【例1】已知:点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,ABAC,BC.求证:BDCE.
分析:引导学生分析并写出分析过程.
分析的思路是:从未知,看需知,靠拢已知. 【证明】在ADC和AEB中
AA
( )ACAB( )
CB( ) ∴ △ADC≌AEB (A.S.A) ∴ ADAE(全等三角形的对应边相等) ∵ ABAC (已知)
∴ ABADACAE (等式性质)
第13章 全等三角形 导学案 19 20 第13章 全等三角形 导学案
即 BDCE.
【例2】如图,已知CDAB于点D,BEAC于点E,BE、CD相交于点O,且AO平分BAC.
求证:OBOC.
分析:要证OBOC,需证OBD≌OCE,易知BDOCEO,DOBEOC,还需再证一条边相等.由已知可先证ADO≌AEO,从而得ODOE.
【证明】∵ CDAB,BEAC,
∴ ADOAEO900, ∵ AO平分BAC,
∴ DAOEA,
O 在ADO和AEO中
ADOAEODAOEAO
AOAO∴ ADO
≌AE,O ∴ ODOE,
∵ CDAB,BEAC, ∴ BDOCEO900, 在BDO和CEO中
BDOCEODOEO
DOBEOC∴ BDO
≌CE,O ∴ OBOC.
【及时演练】教材P6869练习第1、2、3题
三、知识方法归纳与小结:(同学们讨论交流得出)
1、全等三角形的判定方法二(角边角)及其推论(角角边); 2、证明的书写过程. 四、课后作业:
【当堂巩固性作业】:教材P76第3、4、5题 【预、复习作业】
1、记忆和理解“边角边”公理、“角边角”和“角角边”公里. 2、理解和掌握三角形全等的逻辑推理方法.
【第6节课】
【课题】两个三角形全等的判定方法三——边边边 【课型】新课型 【学习目标】
1、掌握“边边边”定理的内容,明确这个定理的题设和结论. 2、能正确应用“边边边”进行有关的计算和证明. 3、能综合应用一般三角形全等的判定方法解决问题. 【重点】理解和应用“边边边”定理.
【难点】综合应用一般三角形全等的判定方法解决问题. 【学习方法】探究性学习
【学习导航】
一、课前预习导学:
有一块三角形玻璃窗户破碎了,要去配一块新的,你最少要对窗框测量哪几个数据?如果你手头没有测量角度的仪器,只有尺子,你能保证新配的玻璃恰好不大不小吗?
第13章 全等三角形 导学案 21 22 第13章 全等三角形 导学案
“边边边”公理的学习可以采取类比前面所学过的“边角边”公理、“角边角”公理的进行学习.为此,我们先来回顾前面所学公理.
公理的多层次理解包括:明确公理的条件及结论;公理的文字语言、图形语言、符号语言的理解及掌握;公理的作用.
这里特别注意三个方面:
(1)此公理与前面公理区别与联系 (2)提炼出三角形的稳定性.
(3)归纳总结判定三角形全等的方法及理解A.A.A、S.S.A不能判定三角形全等.
阅读教材P7172 1、边边边
如果两个三角形的三边分别对应 ,那么这两三角形 . 简记为“S.S.S”或“边边边”如图,在ABC与DEF中,
ABDE
BCEF
AC ∴ ABC≌DEF ( ).
2、到现在为止,一般三角形全等的判定方法一共学习四种判定方法,分别为 、 、 、 .
【温馨提示】判断两个三角形全等时,要根据题目的条件,选择合适的方法证明两个三角形全等.
二、典例互动
【例1】如图,ABAC,DBDC,E是AD的延长线上的一点.
求证:BECE.
思路分析:由已知ABAC,DBDC,ADAD,可得ABD≌ACD,进而可得12,再证明
ABE≌ACE,于是可得BECE.
【证明】在ABD和ACD中
ABAC( )
ADAD( )
BDCD( ) ∴ ABD≌ACD (S.S.S),
∴ 12 (全等三角形的对应角相等), 在ABE和ACE中
ABAC( )12( )
AEAE( )∴ ABE≌ACE (S.A.S),
∴ BECE (全等三角形的对应边相等).
【温馨提示】要证明线段相等,一般证两线段所在的两个三角形全等.而证明全等时若缺少条件,一般是根据已知条件及学过的定义、定理设法把条件找够.
【例2】已知:如图,ABDC,ADBC. 求证:AC.
分析:观察图形,要想证明AC,
第13章 全等三角形 导学案 23 24 第13章 全等三角形 导学案
是不易证明的,因为给出的图形是四边形.但如果设法使A、C分别两个三角形的内角的话,问题就很容易被解决了.怎样才能使A、
C分别两个三角形的内角呢?连结AC行不
行?连结BD行不行?
【证明】连接BD,在ABD和CDB中
ABDCADBC
BDDB∴ ABD≌CDB(S.S.S) ∴ AC (全等三角形的对应角相等). 【温馨提示】添加辅助线的作用是:
1、揭示图中隐含的条件:已知条件与结论间的逻辑关系不明朗 时,通过适当添加辅助线,将条件中的隐含的有关图形的性质充分显示出来,从而扩大已知条件,以便取得有关过渡性推论.
2、聚拢集中:通过添加适当的辅助线,将图形中分散、远离的元素,通过变换和转化,使它们相对集中,聚拢到有关图形中来,使题设和结论建立逻辑关系,从而导出要求的结论.
3、化繁为简:对一类几何命题,其题设和结论之间在已知图形中,其逻辑关系不明朗,通过添加的辅助线,把复杂的图形分解成简单的图形,从而达到化繁为简,化难为易的目的.
【及时演练】教材P73第1、2题
补充题:如图,ABC是一个钢架,ABAC,
AD是连结点A与BC中点的支架.
求证:ADBC.
三、知识方法小结:(同学们讨论交流得出)
1、复述全等三角形的判定方法; 2、体会添加辅助线的目的和方法. 四、课后作业:
【当堂巩固性作业】教材P76第1、7题 【预、复习作业】
复习:1、全等三角形的概念;
2、全等三角形的性质; 3、三角形全等的“边边边”公理.
预习:两个直角三角形全等的判定方法——斜边直角边
【第7节课】
【课题】直角三角形全等的判定——斜边直角边 【课型】新课型 【学习目标】
1、已知斜边、直角边会画直角三角形,经历画直角三角形探究得到“H.L”定理,体会“H.L”的合理性.
2、掌握“H.L”定理的内容,能正确应用“H.L”定理证明两个三角形全等.
3、能正确应用所学的全等三角形的判定定理解决问题.
第13章 全等三角形 导学案 25 26 第13章 全等三角形 导学案
【重点】直角三角形全等的判定. 【难点】
1、能用直角三角形全等的判定方法解决有关问题.
2、培养学生分析问题和解决问题的能力,以及逻辑思维能力. 【学习方法】探究性学习
【学习导航】
一、课前预习导学:(阅读教材P7375)
1、判定三角形全等的方法有四种,如果这两个三角形是直角三角形,那么判定它们全等的方法有哪些呢?同学们可以展开讨论,初步形成意见.
2、明确公理的条件及结论;公理的文字语言、图形语言、符号语言的理解及掌握;公理的作用.这里特别强调三个方面:
(1)特殊三角形的特殊性;
(2)归纳总结判定直角三角形全等的方法. 3、“H.L”定理
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应 ,那么这两个直角三角形 .简记为 或 .
符号语言:如图,在ABC和ABC中,
CC900,AB ,AC ,
∴ RtABC≌
RtAB(C ).
【温馨提示】判定两个直角三角形全等,除可以用“H.L”外,一般三角形全等的判定方法都可以利用.
二、问题探究. 操作指导:
画图.已知线段a、c(a<c),画一个Rt△ABC,使C900,CBa,斜边ABc.
画法:1、画MCN900; 2、在射线CM上截取CBa;
3、以B为圆心,c为半径画弧,交射线CN于点A; 4、连结AB.
则ABC就是要画的直角三角形.
【及时演练】
1、如图,BA//DC,A900,ABCE,
BCED,则CED≌ ,AC ,B .
2在ABC和ABC中,AD是BC边上的高,AD是BC边上ADAD,ABAB,ACAC,试问C和C的关系 .
三、典例互动
【例1】如图,已知AB与CD相交于点O,由点O作OEAD于
E,OFBC于F,若OEOF,AOBO.
一直角边的高,若是
第13章 全等三角形 导学案 27 28 第13章 全等三角形 导学案
求证:CODO. 分析:(小组内进行)
【证明】∵ OEAD,OFBC ∴ AEOBFO900, 在RtAOE和RtBOF中
OAOB
OEOF
∴ RtAOE≌
RtBO(F ) ∴ AB ( ) 在AOD和BOC中
AB
( )OAOB
( )
AODBOC( )∴ AOD≌BOC( )
∴ DOCO ( )
【例2】已知:如图,在ABC和ABC中,CD、CD分别是高,并且ACAC,CDCD,ACBACB.
求证:ABC≌ABC.
引导学生分析:要证明ABC≌ABC,已知的条件只有
ACAC和ACBACB两个,还差一个条件.根据已知的条件
来看,需要什么条件呢?(AA或BCBC).假设需要
AA,那么,又怎样得到AA呢?
要证明AA,可以考虑证明△ADC和△ADC全等,而这两个三角形又是直角三角形.看它们全等的条件够不够?
【证明】∵ CD、CD分别是ABC和ABC的高(已知) ∴ ADCADC900(垂直的定义) 在RtADC和RtADC中,
ACAC(已知)
CDCD(已知)
∴ RtADC≌RtADC( ), ∴ AA ( ), 在ABC和ABC中,
AA (以证)ACAC (已知)
ACBACB(已知)∴ ABC≌ABC( ) 【及时演练】教材P75练习第1、2、3题 补充题:
已知:如图,CEAB,DFAB,垂足分别是E、F,AC//DB,且ACBD.
求证:CEDF.
四、知识与方法小结:
1、直角三角形全等的判定方法(斜边、直角边定理). 2
、直角三角形全等的判定与一般三角形的全等的判定之间的联
第13章 全等三角形 导学案 29 30 第13章 全等三角形 导学案
系和区别.
3、用直角三角形全等的判定方法解决有关问题. 五、课后预复习作业: 【课后巩固性作业】:
【预复习作业】教材P76习题第6题 复习:三角形全等的判定方法; 预习:等腰三角形的性质
【第8节课】
【课题】等腰三角形的性质 【课型】新课型 【学习目标】
1、了解等腰三角形,等边三角形的概念及性质; 2、运用等腰三角形,等边三角形的性质进行证明和计算. 【重点】等腰三角形,等边三角形的概念及性质.
【难点】运用等腰三角形,等边三角形的性质进行证明和计算. 【学习方法】探究性学习
【学习导航】
一、课前预习导学:(阅读教材P7881)
1、等腰三角形的概念:有两条边 的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫 ,另一边叫 ,两腰的夹角叫 ,腰和底的夹角叫 .
2、等腰三角形的性质:
①等腰三角形的两底角 ,(简称“ ”); ②等腰三角形
互相重合(简称“ )”.
3、等边三角形的概念:三条边都 的三角形叫做等边三角形, 4、等边三角形的概念:①等边三角形的三条边都 ;②等边 三角形的三个角都 ,并且每一个角都等于 .
等腰三角形是轴对称图形,底边的垂直平分线是它的对称轴;等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形的性质等边三角形都具有.
二、典例互动
题型1、等腰三角形中有关角的计算
【例1】(1)在ABC中,ABAC,若A400,则B的度数是多少?
(2)在ABC中,ABAC,若B500,则A的度数是多少? (3)在等腰三角形中若有一个角是700,则顶角是多少度? (4)在等腰三角形中若有一个角是1100,则顶角是多少度? 【思路分析】要分清题意,明确所给的角是底角还是顶角才能计算;若不确定,则要分情况讨论.
解:(1)∵ ABAC ( )
∴ BC ( )
∴ 2BA1800( )
∴ B1
2
(1800A )
∵ A400 ( ) ∴ B700.
(2)∵ ABAC ( )
∴ BC ( )
第13章 全等三角形 导学案 31 32 第13章 全等三角形 导学案
∴ 2BA1800( )
∴ A18002B
∵ B500 ( ) ∴ A800.
(3)当底角为700时,设顶角是x,则
x27001800
解之得 x400; 当顶角为700时,设底角是x,则
2x7001800
解之得 x550; 所以顶角为400
或550
. (4)若顶角为1100,设底角是x,则
2x11001800
解之得 x350;
若底角为1100,则两底角的和为2200,不符合题意. 所以顶角为1100.
【温馨提示】当已知角大于00,小于900,要分两种情况讨论;当已知角大于或等于900,小于1800时,则只能为顶角,若是底角,显然与三角形内角和定理不相符.
【及时演练】教材P81练习第1题 1、等腰三角形的对称轴是( )
A.顶角的平分线; B.底边上的高;
C.底边上的中线; D.底边上的高所在的直线.
2、等腰三角形的两条边长分别为4cm和9cm,则该三角形的周长为( )
A.17cm; B.22cm; C.17cm或22cm; D.18cm.
3、等腰三角形的顶角为800,则一腰上的高于底边的夹角为( )
A.400; B.500; C.600; D.300.
题型2、作辅助线构造等腰三角形解决问题 【例2】如图,在ABC中,ABAC,在AB上取一点E,在AC的延长线上取一点F,使BECF,EF交BC于G.
求证:EGFG.
【思路分析】要证EGFG,可先把EG和FG放到两个三角形中,再证明这两个三角形全等,因此必须作一辅助线构造全等三角形.
【证明】过E作EM//AC,交BC于M,
∴ EMBAC,
BMEGF, ∵ ABAC,
∴ BACB, ∴ BEMB.
∴ EBEM, 又∵ BECF, ∴ EMCF, 在MEG和CFG中,
MEGFEGMFGC
EMCF∴ MEG≌CFG ∴ EGFG.
第13章 全等三角形 导学案 33 34 第13章 全等三角形 导学案
【及时演练】教材P81练习第2、3、4题 三、知识与方法小结:
1、等腰三角形、等边三角形的概念; 2、等腰三角形的性质;
3、利用等腰三角形的概念与性质解决有关问题的方法. 四、课后作业:
【巩固性作业】教材P84习题第1、2、3、4题
【预复习作业】1、等腰三角形、等边三角形的概念与性质;
2、等腰三角形的判定.
【第9节课】
【课题】等腰三角形的判定 【课型】新课型 【学习目标】
1、能用所学知识证明等腰三角形、等边三角形的判定定理; 2、能用等腰三角形的性质与判定,等边三角形的性质与判定解决有关问题.
【重难点】正确运用等腰三角形的性质与判定,等边三角形的性质与判定.
【学习方法】探究性学习
【学习导航】
一、课前预习导学:(阅读教材P8183)
1、等腰三角形的性质:①等腰三角形的两底角 ,如图在ABC中,ABAC,则A ,( )
2、等腰三角形的判定:在一个三角形中,如果有两个
角 ,则这两角所对边 ,简称“ .”
如图,在ABC中,若BC,则AB ,( )
3、等边三角形的性质:等边三角形的三条边都 ,三个角 都 ,并且每一个角都等于 .
4、等边三角形的判定:①三个角都相等的三角形是 三角形; ②有一个角等于600的等腰三角形是 三角形.
【温馨提示】等腰三角形的性质与判定互为逆定理,在应用这些定理时,要分清每个定理的条件与结论,不要弄混.
二、典例互动:
【例1】如图,在ABC中,A360,C720,ABC的平分线交AC于D,则图中共有等腰三角形( )
A.0个; B.1个; C.2个; D.3个.
(请在小组内讨论)
【例2】如图,在ABC中,ABBCAC,ABC,ACB的平分线交于点O,过O作OD//AB,OE//AC,交BC于点D、E.
求证:(1)ODE是等边三角形;
(2)BDDECE.
【思路分析】要证ODE是等边三角形,只要证出三个角为600或相对即可.
【证明】
(1)∵ ABBCAC,
第13章 全等三角形 导学案 35 36 第13章 全等三角形 导学案
∴ ABCACB600,
∵ BO、CO分别平分ABC,ACB, ∴ 12300,89300, ∵ OD//AB,OE//AC,
∴ 31300,79300,
∵ 423,578,
∴ 4600,5600,
∵ 6180045600, ∴ 456, ∴ ODE是等边三角形. (2)由(1)知23, 45,
∴ BDOD,OECE, ∵ ODE是等边三角形,
∴ ODDE
O,E
∴ BDDEC.E
【及时演练】
教材P84练习第1、2、3题 补充练习题: 1、选择题:
(1)下列说法中正确的是( )
A.等腰三角形的角平分线、中线、高线重合;
B.若三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等; C.等腰三角形一定是锐角三角形; D.有一个角是450的是等腰直角三角形.
2、若一个三角形的三个外角度数之比为2:3:3,则这个三角形是
( )
A.等腰三角形; B.等边三角形; C.直角三角形; D.等腰直角三角形.
3、如图,已知等腰三角形ABC,BC是底边,
BDAC于D,则DBC等于( )
A.12A; B.1
2B; C.1
2
900A
; D.以上都不对. 4、已知等腰三角形的一边等于4,另一边等于9,
则它的周长是( )
A.17; B.22; C.17或22; D.不能确定.
三、知识与方法小结:
1、等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2、等腰三角形的性质:等边对等角;等腰三角形顶角的平分线、底边上中线和底边上的高互相重合,即“三线合一”.
等腰三角形的判定: (1)可以用定义来判定;
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这个两个角所对的边相等.简称“等角对等边”.
四、课后作业:
【巩固性作业】教材P8485习题第5、6、7、8题 【预复习作业】
复习:等腰三角形的定义、性质和判定. 预习:三个基本作图.
第13章 全等三角形 导学案 37 38 第13章 全等三角形 导学案
【第10节课】
【课题】三个基本作图 【课型】新课型 【学习目标】
1、了解尺规作图的定义,会用尺规;(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)作已知角的平分线.
2、能正确应用三种基本作图作已知线段的和(差)、角的和(差)及倍分.
3、了解尺规作图的根据.
【重点】熟练掌握用直尺和圆规作一条线段等于已知线段以及作一条角等于已知线角,作图时要做到规范使用尺规,规范使用作图语言,规范地按照步骤作出图形.
【难点】作图语言的准确应用,作图的规范与准确. 【学习方法】探究性学习
【学习导航】
一、课前预习导学:(阅读教材P8587)
1、尺规作图的定义:只用 和 作图叫做尺规作图. 2、作一条线段等于已知线段:
已知线段a(如图),求作:线段AB,使ABa.
作法:①作射线 . ②在射线AC上截取AB .
(即以A为圆心,以 为半径画弧,交射线AC于点B) 则线段AB就是所求作的线段.
3、作一个角等于已知角: 已知:AOB(如图).
求作:AOB,使AOBAOB.
作法:①作射线OA;
②以O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA于C,交OB于D;③以O为圆心,以 为半径作弧,交OA于C; ④以C为圆心,以 为半径作弧,交前弧于D; ⑤过点 作射线 . 则AOB就是所求作的角. 4、作已知角的平分线:
已知:AOB(如图).求作:射线OC平分AOB. 作法:
①以点O为圆心,以适当长为半径作弧,交OA于点D,交OB于点E.
②分别以点 和 为圆心,以大于 的长为半径作弧,在
AOB内,两弧交于点C.
③作射线 .
则射线 就是AOB的平分线.
第13章 全等三角形 导学案 39 40 第13章 全等三角形 导学案
【温馨提示】尺规作图是指只用无刻度的直尺和圆规两种工具作
图的方法.其中作一个角等于已知角和作已知角的平分线都是根据
S.S.S通过证明两个三角形全等得到的.
二、问题再探究:
1、尺规作图的定义:几何里把限于用直尺和圆规来画图的方法称为尺规作图
2、几何作图与一般画图不同,它规定只能用直尺和圆规为工具,而且都是以基本作图为基础的,每一步作图都必须有根有据,比较复杂的作图,还要经过严格的分析,才能找出作图的根据和方法.
解作图题有以下步骤: (1)已知:将条件具体化;
(2)求作:具体叙述所作图形应满足的条件; (3)分析:寻找作图方法的途径;
(4)作法:根据分析所得的作图方法,作出正式图形,并依次叙述作图过程.
三、典例互动:
例3、已知线段a、b、和c. 求作:一条线段,使它等于abc.
分析:可以先作一条射线AN,然后在AN上依次截取ABa,
BCb,并以点C为端点,在CA方向上截取CDc.
作法:①作条射线AN;
②在射线AN上依次截取ABa,BCb; ③以点C为端点,在CA方向上截取CDc. 则 线段AD就是所求作的线段.
【及时演练】教材P86练习第1、2题
教材P88练习第1、2题
补充题: 1、选择题:
(1)下列作图语句正确的是( )
A.过A、B、C三点作一条直线;B.延长线段ABa; C.以点C圆心作弧; D.以线段AB为直径作半圆.(2)下列作图叙述中错误的是( )
A.在直线l上取线段ABa; B.作等边三角形一边上的高;
C.作等腰三角形顶角平分线,使它平分底边; D.作已知线段的垂直平分线.
(3)到ABC三个顶点的距离相等的点是ABC的( )
A.三条中线的交点; B.三条角平分线的交点; C.三条高的交点; D.三条边的垂直平分线的交点.
(4)到ABC三边的距离相等的点是ABC的( )
第13章 全等三角形 导学案 41 42 第13章 全等三角形 导学案
A.三条中线的交点; B.三条角平分线的交点; C.三条高的交点; D.三条边的垂直平分线的交点.
2、作图题:
(1)已知线段a和b,如下图,求作一条线段,使它的长度等于
a2b.
(2)如图,画一个角,使其等于A2B.
(3)如图,已知A和B.求作一个角,使其等于AB.
四、积累、活用①②③④⑤⑥.
通过这一节的学习,要掌握几何作图语言:
1、过×点作直线××等;或作直线××等;或作射线××等; 2、连结两点×、×;或连结×、×; 3、在××上截取××=××;
4、以点×为圆心,以××为半径作圆(或弧); 5、以点×为圆心,以××为半径作弧,交××于点×;
6、分别以点×、点×为圆心,以××为半径作弧,两弧交点×; 7、延长××到点×,使××=××.
五、课后作业:
【巩固性作业】教材P91习题第1、2、3题 【预复习作业】
复习:作一条线段(角)等于已知线段(角)、作已知角的平分线的方法.
预习:经过一已知点作已知直线的垂线及线段已知垂直平分线.
【第11节课】
【课题】过一已知点作已知直线的垂线及已知线段的垂直平分线 【课型】新课型 【学习目标】
1、会用尺规作图已知直线的垂线及已知线段的垂直平分线,会画图并会叙述作法.
2、能用五种基本作图,根据已知条件作三角形.
【重点】熟练掌握用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线,作图时要做到规范使用尺规,规范使用作图语言,规范地按照步骤作出图形.
【难点】作图语言的准确应用,作图的规范与准确. 【学习方法】探究性学习
【学习导航】
一、课前预习导学:(阅读教材P8890)
第13章 全等三角形 导学案 43 44 第13章 全等三角形 导学案
1、已知直线上的一点,过已知点作已知直线的垂线 已知:直线AB和AB上一点C(如图1). 求作:AB的垂线,使它经过点C. 作法:
①以C点为圆心,以适当长为半径作弧,与直线AB交于E和D. ②分别以点E、D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧交于点F.
③过点 作 .
则 直线CF就是所求作的直线(如图2).
2、已知直线外一点,过这一点作已知直线的垂线 已知:直线AB和AB外一点C(如图). 求作:AB的垂线,使它经过点C.
作法:①任意取一点K,使K和C在直线AB的两旁. ②以C点为圆心,以 长为半径作弧,交AB交于D和E. ③分别以点D、E为圆心,以 长为半径作弧,两弧交于点F.
④过 作直线 . 则直线CFCF就是所求作的直线.
3、作已知线段的垂直平分线 已知:如图,线段AB.
求作:直线CD,使CD垂直平分.
作法:①分别以点A、B为圆心,以 长为半径作弧,两弧交于C、D两点.
②过C、D两点作 . 则直线CD就是线段AB垂直平分线.
【温馨提示】作已知线段的垂直平分线及过一点作已知直线的垂线,都是利用S.S.S通过证明两个三角形全等得到的.
二、方法小归纳:
1、经过已知直线上的一点作这条直线的垂线,关键在于确定点
F.
2、经过已知直线外的一点作这条直线的垂线,取点K,使K和C在AB的两旁.
3、作线段的垂直平分线的关键是找C、D两点,就是分别以线段的两个端点为圆心,以大于线段长的一半为半径画弧,两弧的交点就是所要找的点.
4、作角平分线、垂线、中垂线从本质上讲是一致的,都是可利用S.S.S通过证明两个三角形全等得到.
【及时演练】教材P89练习第1、2题,P90练习第1、2题 补充题: (一)选择题:
1、下列作图规范的是( )
第13章 全等三角形 导学案 45 46 第13章 全等三角形 导学案
A.延长线段a; B.以O点为圆心作弧; C.以OB为半径作弧; D.在射线OF上截取OA5cm.
2、经过已知直线外一点,画这条直线的垂线的画法,第一个步骤是任取一点K,使( )
A. K和已知点在已知直线同旁; B. K和已知点在已知直线两旁; C. K在已知直线上; D. 以上说法都不对.
3、下列说法错误的是( )
A.经过一点作已知直线的垂线可作一条; B.可以利用画垂线的方法,作三角形的高;
C.垂直于一条线段的直线叫做线段的垂直平分线; D.利用作线段垂直平分线的方法可以平分线段.
4、以下作图不是基本作图的是( )
A.作线段和角; B.作角平分线;
C.作垂线和作线段的垂直平分线; D.已知两边和夹角作三角形.
(二)作图题:
1、如图,已知点P在AOB的边OA上,按下列画法作图(保留痕迹).
(1)作AOB的平分线OM;
(2)以点P为顶点,作APQAOB,PQ交OM于点C;
(3)过点C作CDOB垂足为D.
2、已知ABC,用尺规画出它的三条高(不写画法)
3、已知:ABC.用尺规作图(保留痕迹,不写作法)
(1)作BAC的平分线; (2)作AC边的垂直平分线; (3)作AB边上的高; (4)作BC边的中线. 4、已知:ABC.
求作:点P,使得PBPC,并且到AB、AC的距离相等.
四、课后作业:
【巩固性作业】教材P91习题第4、5题 【预复习作业】
复习:作已知线段的垂直平分线及过一点作已知直线的垂线. 预习:逆命题与逆定理.
【第12节课】
第13章 全等三角形 导学案 47 48 第13章 全等三角形 导学案
【课题】互逆命题和互逆定理 【课型】新课型 【学习目标】
1、理解互逆命题和互逆定理的概念,能写出一个命题的逆命题,并能判定二者的真假.
2、能用学过的知识证明一个定理的逆命题是真命题还是假命题. 【重点】会识别两个命题是不是互逆命题,会在简单情况下写出一个命题的逆命题,了解原命题成立,其逆命题不一定成立.
【难点】能判断一些命题的真假性,并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题,同时了解假命题的证明方法是举反例说明.
【学习方法】讲练习结合
【学习导航】
一、课前预习导学:(阅读教材P9293) 1、知识回顾:
(1)命题:判定一件事情的语句,叫做 .
(2)命题的组成:任何一个命题都是由 和 两部分组成.
2、互为逆命题的概念:在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的 ,而第一个命题的结论是第二个命题的 ,那么这两个命题叫做 命题.如果把第一个命题叫做原命题,那么第二个命题就叫做它的 .
3、互为逆定理的概念:如果一个定理的逆命题能被证明是 ,那么这两个定理叫做 .
【温馨提示】互逆的两个命题,一个命题是真命题,它的逆命题可能是真命题,也可能是假命题.
二、问题再探究:
【探究点1】互逆命题
一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这两个命题叫做互逆命题.若把其中的一个命题称为原命题,则另一个命题就称为逆命题(相对而言).
【透析】命题是一个“判断句”,判断“是”与“非”,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.一个命题是正确的命题,它的逆命题不一定正确.如“对顶角相等”是原命题,是正确的命题;而它的逆命题“相等的角是对顶角”就是错误的命题.
【探究点2】互逆定理
一个定理的题设和结论分别是另一个定理的结论和题设,这两个定理叫做互逆定理.其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
【透析】命题与定理之间的联系与区别: (1)联系:都是用来判断一件事情真假的句子.
(2)区别:定理和逆定理都是真命题,可以作为进一步判断其他命题真假的依据.而命题和逆命题不一定是真命题,由于它没有“定理”的身份,所以不能作为进一步判断其他命题真假的依据.
三、典例互动:
【例1】写出下列命题的逆命题,并指出它们的真假性. (1)面积相等;
(2)同角或等角的补角相等; (3)如果ab,那么ab.
【思路分析】先分清原命题的条件与结论,再把条件与结论互换位置,就得到原命题的逆命题.
第13章 全等三角形 导学案 49 50 第13章 全等三角形 导学案
解:(1)面积相等的两个三角形全等;它是假命题.
(2)如果相等两个角,那么这两个角是同一个角或相等的两个角的补角;它是假命题.
(3)如果ab,那么ab.它是真命题.
【温馨提示】写一个命题的逆命题的关键是分清原命题的条件与结论,再交换条件与结论的位置,必要时加一些适当的语句,切记生搬硬套.
【及时演练】(教材P93练习第1、2、3题) 1、选择题:
(1)下列命题写出逆命题后,两者是互逆的定理是( )
A.全等三角形的对应角相等; B.若两个角都是直角,则它们相等;
C.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; D.若ab,则ab.
(2)下列真命题中,逆命题也是真命题的是( )
A.全等三角形的对应角相等; B.等边三角形是锐角三角形; C.全等三角形的对应边相等; D.对顶角相等.
(3)下列命题中的真命题的是( )
A.连结两点的线中,直线最短;
B.经过两点有一条直线,而且只有一条直线; C.若内错角互补,则两直线平行;
D.如果一条直线与两条直线中的一条垂直,那么这条直线也和另
一条直线垂直.
2、写出下列定理的逆定理:
(1)如果三角形的三条边都相等,那么这个三角形的三个内角
都等于600;
(2)如果两条平行线被第三条直线所截,那么同位角相等; 四、知识与方法归:(小组内讨论后完成)
1、互逆命题的关系是什么?两个互逆命题具有同真同假吗?互逆定理呢?
2、命题与定理的联系与区别是什么? 3、写出一个定理的逆定理的方法是怎样的? 五、课后作业:
【巩固性作业】教材P98习题第1题 补充题:
1、请把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并写出它们的逆命题:
(1)等角的余角相等;
(2)角平分线上到角两边的距离相等; (2)垂直于同一直线的两直线平行.
2、举例说明两个原命题是真命题,而逆命题是假命题的例子. 【预复习作业】
复习:互逆命题及互逆定理的概念,互逆命题的关系. 预习:线段的垂直平分线的性质及判定.
【第13节课】
【课题】线段垂直平分线 【课型】新课型 【学习目标】
1、理解和掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理,并会利
第13章 全等三角形 导学案 51 52 第13章 全等三角形 导学案
用证两个三角形全等证明这两个定理.
2、能正确应用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题. 【重点】线段垂直平分线的性质定理和逆定理的应用 【难点】性质定理和判定定理的区别和灵活运用 【学习方法】讲练习结合
【学习导航】
一、课前预习导学:(阅读教材P9495) 1、知识回顾
线段垂直平分线的概念:垂直于一条线段,并且 这条线段的直线,叫做这条线段的 .
2、线段垂直平分线的性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端点的 . 符号语言:如图,直线EF垂直平分AB,C、
D是EF上的两点,则DA ,CA .
3、线段垂直平分线的判定定理:
到线段两端点距离 的点在线段的 .
符号语言:如图,若DADB,则点D在AB的 .
【温馨提示】上述两个定理互为逆定理,要分清每个定理的题设与结论.在应用时,要根据已知条件正确地选择该用哪个定理.
二、典例如互动:
例、如图,在ABC中,C900,边AC、
BC的垂直平分线交于点O.
求证:(1)OAOBOC;
(2)点O在AB的垂直平分线上. 证明:
(1)∵ 点O在AC的垂直平分线上,
∴ OAOC,
又∵ 点O在BC的垂直平分线上, ∴ OBOC, ∴ OAOBOC. (2)∵ OAOB,
∴ 点O在AB的垂直平分线上.
【温馨提示】由此例可以看到直角三角形三边的垂直平分线相交于一点,这一点是斜边的中点,且到三个顶点的距离线相等.
【及时演练】(教材P96练习第1、2、3题) 补充题: 1、选择题:
(1)如图,在ABC中,C900,AD为BAC的平分线,DE是AB的垂直平分线,则B的度数为( )
A.600; B.450; C.300; D.150.
(2)已知在RtABC中,C900,A300,ABC的平分线交AC于D下面
判断错误
的是( )
A.D在AB的垂直平分线上;
第13章 全等三角形 导学案 53 54 第13章 全等三角形 导学案
B.过D点作DPAB,则DP是AB的垂直平分线; C.D点AC的中点;
D.D点AB和BC边的距离相等.
(3)如图,在ABE中,A1050,AE的垂直平分线MC交BE于点C,且ABBCBE,则B的度数为( )
A.450; B.600; C.500; D.550.
2、填空题:
(1)如图,在ABC中,ABAC3cm,AB的垂直平分线交AC于点N,BCN的周长为5cm,则BC的长等于 .
(2)如图,AB的垂直平分线交BC、AB于点D、E,AC的垂直平分线交BC、AC于点F、G,若ADF的周长为20cm,则BC的长等于 .
三、知识与方法归纳:(小组内讨论后完成)
1、线段垂直平分线的概念. 2、线段垂直平分线的性质及其应用. 3、线段垂直平分线的判定及其应用. 四、课后作业:
【巩固性作业】教材P99习题第2、3题 【预复习作业】
复习:线段垂直平分线的概念、性质及判定. 预习:角平分线的概念、性质及判定.
【第14节课】
【课题】角平分线 【课型】新课型 【学习目标】
1、掌握角平分线的性质定理及逆定理,并会证明这两个定理. 2、能应用角平分线的性质定理及逆定理解决相关问题. 【重点】角平分线的性质定理和逆定理的应用 【难点】性质定理和判定定理的区别和灵活运用 【学习方法】讲练习结合
【学习导航】
一、课前预习导学:(阅读教材P9698) 1、知识回顾:
角平分线定义:把一个角平成两个 的角的射线叫做这个角的 .
2、角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角两边的距离 .
第13章 全等三角形 导学案 55 56 第13章 全等三角形 导学案
符号语言:如图,OC平分AOB,PDOA于D,PEOB于
E,则PD .
( )
3、角平分线的判定定理:到角两边的 点在这个角的平分线上. 符号语言:如图,P是AOB内的一点,PDOA于D,PEOB于E,且PD ,则点P在AOB的 .
【温馨提示】角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理,应用时,要分清每个定理的题设与结论,再正确选择所需定理.
二、理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合. (1)角平分线上任意一点到角的两边的距离都相等(纯粹性). (2)在角的内部,到角的两边距离相等的点都在这个角的平分线上(完备性).
由此得出结论:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
【联想与发散】一个角的平分线所在的直线是它的对称轴,从角平分线上找一点向角的两边作垂线,可以得到两个全等的直角三角形.同样,如果存在有两个关于公共边成轴对称的直角三角形,则需考虑这个公共边可能是线段的垂直平分线或角平分线.
三、典例互动
【例1】如图,在ABC中,ABC的平分线BE与ACB的平分线CD相交于I,
求证:(1)I到三边的距离相等;
(2)I在BAC的平分线上. 【思路分析】根据点到直线的距离定义,要证I到三边的距离相等,必须过I分别作
IFBC于F,IGAC于G,IHAB于H,再证明IFIGIH.
【证明】
(1)过I作IFBC于F,IGAC于G,IHAB于H, ∵ I在ABC的平分线上, ∴ IFIH,
又∵ I在ACB的平分线上, ∴ IFIG, ∴ IFIGIH, ∴ I到三边的距离相等. (2)由(1)知IGIH, ∵ IHAB,IGAC, ∴ I在BAC的平分线上.
【感悟】由此例可知:三角形三内角平分线相交于一点,这一点到三边的距离相等.
【例2】已知,如图,在ABC中,B900,CD是ACB的平分线,交AB于点D,DEAC,垂足为E,AD2DE,试问AD与
DB有何关系
【分析】AD2DE,因为CD是ACB的平分线,B900,DEAC,所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等,可得
DEDB,所以AD2DE.
解:∵ B900 (已知)
∴ DBCB (垂直的定义) ∵ CD平分ACB (已知)
∴ DEDB (角平分线上的点到角两边的距离相等)
第13章 全等三角形 导学案 57 58 第13章 全等三角形 导学案
∵ AD2DE (已知) ∴ AD2DB (等量代换). 【及时演练】教材P98练习第1、2题 补充题: 1、选择题:
(1)下列命题中错误的是( )
A.三角形任意两个角的平分线的交点在三角形的内部; B.三角形任意两个角的平分线的交点到三个顶点的距离相等; C.三角形任意两个角的平分线的交点到三边的距离相等; D.三角形任意两个角的平分线的交点在第三个角的平分线上.
(2)如图,OP平分AOB,PCOA,PDOB,垂足分别是
C、D.下列结论中错误的是( )
A.PCPD;B.OCOD; C.CPODPO;D.OCPC.
(3)如图,在ABC中,C900,ACBC,AD是BAC的角平分线,DEAB于E,若AB18cm,则CD的长为( )
A.6cm;B.
;C.
62cm;D.
92cm.
2、已知:在直角ABC中,C900,BD平分ABC且交AC于
D.
(1)若BAC300,求证:ADBD;
(2)若AP平分BAC且交BD于P,求BPA的度数.
四、知识与方法归纳:(小组内讨论后完成)
1、角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么? 2、三角形的角平分线有什么性质?怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点?
四、课后作业:
【巩固性作业】教材P99习题第4、5题 【复习作业】本章知识结构与要点
【第15节课】
【课题】全等三角形(1) 【课型】复习课 【学习目标】
1、进一步理解定义、命题、公理、定理的意义,以及互逆命题、互逆定理的意义,能熟练地写出一个命题的逆命题.
第13章 全等三角形 导学案 59 60 第13章 全等三角形 导学案
2、能正确判断命题的真假性;掌握证明一个命题是假命题的方法.
3、理解和掌握已学过的存在互逆关系的所有定理. 4、进一步熟练掌握尺规作图. 【重点】会写一个命题的逆命题. 【难点】假命题的证明. 【学习方法】讲练习结合
【学习导航】
一、课前复习导学:
1、命题: 某一件事情的语句,叫做 . 2、基本事实: 为是正确的 ,叫做 . 3、定理:可以从 或其他 出发,用逻辑推理的方法判断是正确的,并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据,这样的命题叫做 .
3、互逆命题:如果第一个命题的 和 分别是第二个命题的 和 ,那么这两个命题叫做 .
4、互逆定理:如果一个定理逆命题也是 ,那么这两个定理叫做 .
5、写出下列定理的逆定理: (1)两直线平行,同位角相等; 逆定理: . (2)两直线平行,内错角相等; 逆定理: . (3)两直线平行,同旁内角互补;
逆定理: .
(4)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等; 逆定理: . (5)角平分线上的点到角的两边的距离相等;
逆定理: . 二、能力训练: (一)选择题:
1、下列命题中属于定义的是( )
A.两点确定一条直线; B.同角的余角相等; C.两直线平行,内错角相等;
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度.
2、给出下列说法:①公理和定理都是真命题;②公理是人们经过长期实践证明是正确的命题;③公理和定理都是证明过程中推理的依据;④公理和定理都要经过证明才能判断其正确性.其中正确的是( )
A.①②③④; B.①②③; C.①②; D.①④.
3、下列命题是假命题的是( )
A.全等三角形的对应边相等; B.全等三角形的对应角相等;
C.两边及第三边上的中线对应角相等的两个三角形全等; D.两边及其中一边上的高对应角相等的两个三角形全等.
4、只用没有刻度的直尺就能作出的是( )
A.延长线段AB至C,使BCAB; B.过直线l上一点A作l的垂线; C.作已知角的平分线;
第13章 全等三角形 导学案 61 62 第13章 全等三角形 导学案
D.从点O再经过点P作射线OP. (二)填空题:
1、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是 ,这个命题是 命题.
2、等腰三角形的两边的长分别是4和9,则第三边的长为 . 3、“全等三角形的面积相等”是 命题,题设是 ,结论是 .它的逆命题是 .
4、把命题“同角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式是 .
(三)作图题: 1、如图,已知ABC. (1)过点C作EF//AB;
(2)作BC边上的高.(保留作图痕迹,不写作法)
2、如图,已知ABC.
求作:点P,使得PBPC,并且到AB、AC的距离相等. 引导学生分析:因为PBPC,所以点P一定在边BC的垂直平分线上.又因为到AB、AC的距离相等,所以点P又在BAC的平分线上.根据以上分析可知:点P就是BC的垂直平分线与BAC的平分线的交点.
3、一位同学画了一个等腰三角形,不小心弄上了一片墨水,如图所示(AB为腰).你能根据图中未被墨水盖住的部分,画出与原来完全相同的等腰三角形吗?请叙述你的做法.
三、知识与方法感悟:(小组内讨论)
四、课后作业:
【巩固性作业】教材P103复习题1、2、3、4题 【复习作业】全等三角形的定义、性质及判定.
【第16节课】
【课题】全等三角形(2) 【课型】复习课 【学习目标】
1、进一步理解和掌握等腰三角形、角平分线、线段垂直平分线的性质和判定定理;
2、进一步理解和掌握全等三角形的判定方法; 3、进一步培养和提高逻辑推理能力. 【重难点】培养和提高逻辑推理能力. 【学习方法】讲练习结合
【复习导航】
第13章 全等三角形 导学案 63 64 第13章 全等三角形 导学案
一、课前复习导学: 1、等腰三角形的性质和判定
性质1:等腰三角形顶角的 与底边上的 、底边上 互相重合(即三线合一).也就是说,只要具备其中的任何一个,必有另外两个.
性质2:等要三角形的两个 相等(即 对 ) 判定:如果一个三角形有 相等,那么这两个角所对的 也相等(即 对 ).
2、角平分线定理及其逆定理
角平分线定理:角平分线上的点到这个角的两边的 相等. 角平分线定理的逆定理:到一个角的两边的 的点,在这个角的平分线上.
3、线段垂直平分线的性质和判定定理
线段垂直平分线定理:线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的 相等.
线段垂直平分线的逆定理:到线段的两个端点的 的点,在这条线段的垂直平分线上.
4、全等三角形的判定方法
(1)一般的两个三角形全等的判定方法有:
“S.A.S”用语言叙述为: ; “A.S.A”用语言叙述为 ; “A.A.S”用语言叙述为 ; “S.S.S:用语言叙述为 . (2)两个直角三角形全等的判定方法除了可以用“S.A.S”、“ A.S.A”、“ A.A.S”外,还有:
“H.L”:用语言叙述为 ; 二、能力训练: (一)填空题:
1、已知,若ABC和A1B1C1中,ABA1B1,要ABC≌ABC111,还须添加一个条件,这个条件可以是 .
2、如图,ABCD,ACBD,则图中有 对全等三角形.
3、如图,OAD≌OB,C且O650,C200,则OAD .
4、如图,要得到12,只要有 // ,或 ≌ , 或 ≌ .
5、如图所示,点C、F在BE上,12,BFEC,请补充条件 或 ,使ABC≌DEF.
第13章 全等三角形 导学案 65 66 第13章 全等三角形 导学案
(二)选择题:
1、两个三角形有两个对应角相等,正确的说法是( )
A.两个三角形全等; B.两个三角形一定不全等;
C.如果第三个角对应相等,两个三角形就全等; D.如果还有一对边对应相等,两个三角形就全等.
1、 如图,AD,AB//DE,BECF,
ABC≌DEF,要用到的判定公理或定理是( )
A.S.S.S; B.H.L; C.S.A.S; D.A.A.S.
3、使ABC≌ABC全等的条件是( )
A.ABAB,BCBC,AA; B.ABAB,ACAC,BCBC; C.ABAB,ACAC,BB; D.ABAB,BCBC,CC.
4、如图,在ABC中,C900,AD平分BAC,DEAB于E,有下列结论:①
CDDE;②DE平分ADB;③B
EACAB;
④AD平分CDE.其中正确的有( )
A.0个; B.4个; C.3个; D.2个.
(三)解答题:
1、如图,已知ABAC,D、E两点分别在AB、AC上,且
ADAE.
求证:PBOC.
2、如图,已知ABAE,BAECAD,ACAD. 求证:BCED.
3、如图,已知D是AC上一点,ABAE,DBDE. 求证:CBCE.
4、如图,ABC中,ACBC,ACB900,直线MN过点C,且ADMN于D,BEMN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时, ①求证:ADC≌CEB;②DEADBE. (2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时, 求证:DEADBE.
(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,
试问:DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.
(四)探究题:
如图所示,过线段AB的两端作直线l1//l2,作同旁内角的平分线交于点E,过点E直线DC分别和直线l1、l2交于点D、C,且点D、
C在AB的同旁,与A、B不重合.
第13章 全等三角形 导学案 67 68 第13章 全等三角形 导学案
(1)用圆规、直尺测量比较ADBC和AB是不是相等,写出你的结论;
(2)用已学过的原理对结论加以分析,揭示其中的规律.
思路分析:
(1)ADBCAB;
(2)延长AE与l2交于点F.可以得到ABE是直角三角形,另外知道四边形ABCD是梯形,点E是腰CD的中点,AE、BE是同旁内角的平分线.(要求小组内讨论后概括出规律)
三、知识与方法感悟:(要求小组内讨论进行) 四、课后作业:
【巩固性作业】教材P103104复习题第5、6、7、9题 【复习作业】全等三角形的知识结构、知识内容与方法.