四边形证明
1.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.求证:四边形AMDN是平行四边形.
【解答】 证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴ND∥AM.
∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.
∵点E是AD中点,∴DE=AE.
∴△NDE≌△MAE(AAS).
∴ND=MA.
∴四边形AMDN是平行四边形.
2.(2015·黄冈)已知,如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE.求证:四边形ABCD为平行四边形.
解答:证明:∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.∵BE∥DF,∴∠BEF=∠DFE.∴∠AEB=∠CFD.在△AEB和△CFD中,
∠BAE=∠DCF,⎧⎪∴△AEB≌△CFD.∴AB=CD.∵AB平行且等于⎨AE=CF,
⎪⎩∠AEB=∠CFD,
CD.∴四边形ABCD是平行四边形.
3.如图,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于
F.
(1)求证:AE=DF;
(2)若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由
解答(1)证明:∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.∴AE=DF.
(2)解:若AD平分∠BAC,四边形AEDF是菱形.证明:∵DF∥AB,∴∠DAE=∠FDA.∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAF. ∴∠DAF=∠FDA.∴AF=DF.∴平行四边形AEDF为菱形.
4.已知,如图,在 ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交于AD、BC于E、F两点,连接BE,DF.
(1)求证:△DOE≌△BOF;
(2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?请说明理由. 解答:
1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC.∴∠EDO=∠FBO.∵O为对角线BD的中点,∴BO=OD.又∵∠EOD=∠FOB,∴△DOE≌△BOF.
2)(2)当∠DOE等于90度时,四边形BFDE为菱形.理由:由(1)得DE平行且等于BF,∴四边形BFDE为平行四边形.∵∠DOE=90°,∴BD⊥EF.∴平行四边形BFDE为菱形.
5.如图,在 ABCD中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点
E.
(1)求证:△AOD≌△EOC;
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
(2)连接AC,DE,当∠B=∠AEB=________°时,四边形ACED是正方形,请说明理由.
解答:
(1)∴AD∥BC.∴∠D=∠DCE.∵O是CD的中点, ∴OD=OC.∵∠AOD=∠EOC, ∴△AOD≌△EOC.
(2)(2)45 理由:由△AOD≌△EOC,得OA=OE,OD=OC,∴四边形ADEC是平行四边形.∵∠B=∠AEB=45°,∴AB=AE.又∵在平行四边形ABCD中,AB平行且等于CD,∴CD=AE.∴四边形ADEC是矩形.∴∠ACE=90°.∴∠CAE=90°-∠AEC=90°-45°=45°.∴∠CAE=∠AEC. ∴AC=CE.∴矩形ADEC是正方形
6.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=
AC.
(1)求证:AD=BC;
(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.
解答:(1)证明:过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M.∵AB∥CD,∴四边形ABMC为平行四边形.∴AC=BM=BD,∴∠BDC=∠
AC=BD,⎧⎪M=∠ACD.在△ACD和△BDC中,⎨∠ACD=∠BDC,∴△ACD≌△⎪⎩CD=DC,
BDC.∴AD=BC. (2)证明:连接EH,HF,FG,GE.∵E,F,G,H
1分别是AB,CD,AC,BD的中点,∴HE∥AD,且HE=AD,FG∥2
11AD,且FG=AD,EG∥BC且EGBC,∴HE平行且等于FG.∴四22
边形HFGE为平行四边形.由(1)知,AD=BC,∴HE=EG.∴平行
四边形HFGE为菱形.∴EF与GH互相垂直平分.
7.(2015·益阳)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点
E.
(1)求证:AC⊥BD;
7(2)若AB=14,cos∠CAB=OE的长. 8
解答.(1)证明:∵∠CAB=∠ACB,∴AB=CB.∴平行四边形ABCD
AO7是菱形.∴AC⊥BD. (2)在Rt△AOB中,cos∠CAB==,ABAB8
749AB7=14,∴AO=14=在Rt△ABE中,cos∠EAB=,AB84AE8
84915=14,∴AEAB=16.∴OE=AE-AO=16-=. 744
8.(2015·金华)如图,在矩形ABCD中,点F在边BC上,且AF=AD,过点D作DE⊥AF,垂足为点E.
(1)求证:DE=AB;
(2)(2)以D为圆心,DE为半径作圆弧交AD于点G,若BF=FC=
︵1,试求EG的长.
解答:(1)证明:∵DE⊥AF,∴∠AED=90°.又∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠B=90°.∴∠DAE=∠AFB,∠AED=∠B=90°.又∵AF=DA,∴△ADE≌△FAB(AAS).∴DE=AB. (2)∵BF=FC=1,∴AD=BC=BF+FC=2.又∵△ADE≌△FAB,∴AE=BF=1.
122∴在Rt△ADE中,AE=AD.∴∠ADE=30°.又∵DE=AD-AE=2
3︵nπR30·π32-1=3,∴lEG=π. 180180622
9.如图,两个全等的△ABC
和△DEF重叠在一起,固定△ABC,将△DEF进行如下变换:
图1 图2
(1)如图1,△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动),连接AF、AD、BD,请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系;
(2)如图2,当点F平移到线段BC的中点时,若四边形AFBD为正方形,那么△ABC应满足什么条件?请给出证明.
解答:.(1)S△ABC=S四边形AFBD.
(2)△ABC为等腰直角三角形,即AB=AC,∠BAC=90°.理由如下:∵F为BC的中点,∴CF=BF.∵CF=AD,∴AD=BF.又∵AD∥BF,∴四边形AFBD为平行四边形.∵AB=AC,F为BC的中点,∴AF⊥BC.∴平行四边形AFBD为矩形.∵∠BAC=90°,F为BC
1的中点,∴AF==BF.∴四边形AFBD是正方形。 2
10.如图,E是矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,P是对角线BD上任意一点,PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分别为F、G.求证:PF+PG=AB
【答案】∵ BE=DE,
∴ ∠EBD=∠EDB.
∵ 在矩形ABCD中,AD∥BC
∴ ∠DBC=∠ADB, ∴ ∠EBD=∠CBD. 延长GP交BC于H点
∵ PG⊥AD, ∴ PH⊥BC.
∵ PF⊥BE,P是∠EBC的平分线上.
∴ PF=PH.
∵ 四边形ABHG中,
∠A=∠ABH=∠BHG=∠HGA=90°∴ 四边形ABHG为矩形, ∴ AB=GH=GP+PH=GP+PF 故 PF+PG=
AB
11..如图平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,EF⊥AC交CD于E,交AB于F,问四边形AFCE是菱形吗?请说明理由 解:四边形AFCE是菱形∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC,CE∥AF.
∴∠ECO=∠FAO,∠AFO=∠CEO. ∴△EOC≌△FOA,∴CE=AF.
而CE∥AF,∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF是垂直平分线,∴AE=CE ∴四边形AFCE是菱形
12.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,•垂足分别为E、F.求证:(1)△BDE≌CDF.(2)△ABC是直角三角形时,四边形AEDF是正方形
13.如图, 平行四边形ABCD中,E、F为对角线AC上两点,且AE=CF,问:四边形EBFD是平行四边形吗?为什么?
解:四边形EBFD是平行四边形.在
ABCD中,连结BD交AC于点O,
则OB=OD,OA=OC.又∵AE=CF,∴OE=OF.
∴四边形EBFD是平行四边形