[信号与系统]期末测验试题及答案(13P)

《信号与系统》测验

一、单项选择题 . ................................................ 1 二、简答题 . .................................................... 4 三、计算题 . .................................................... 8

一、单项选择题

1．设系统的初始状态为x (t 0)，输入为f (t )，完全响应为y (t )，以下系统为线性系统的是 D 。

(A) y (t )=x 2(t 0)∙lg [f (t )] (B) y (t )=x (t 0)+f 2(t ) (C) y (t )=x t 0+⎰f (τ)d τ (D) y (t )=e -t x (t 0)+

t 0t

df (t )t

+⎰f (τ)d τ t 0

dt

2．一个矩形脉冲信号，当脉冲幅度提高一倍，脉冲宽度扩大一倍，则其频带宽度较原来频带宽度 A 。

（A ）缩小一倍 （B ） 扩大一倍 （C ） 不变 （D ）不能确定 3. 某系统的系统函数为H (z ) =。

（A ）|z|2 （C ）0.5

z

，若该系统是因果系统，则其收敛区为

(z -0. 5)(z -2)

3t +s i n 5t f 2(t ) =c o 2s t +c o πs t f 1(t ) =s i n

⎛1⎫

f (k ) = ⎪ε(k ) f 3(k ) =s i k +s i k 4

62 ⎝2⎭

ππ

k

(A )

f 1(t ) 和f 2(t ) (c )f 1(t ), f 2(t ) 和f 3(k )

(B )f 2(t ) 和f 3(k ) (D )f 1(t ) 和f 3(k )

6. 连续周期信号的频谱具有。 (A) 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 (C) 离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性

7. 设系统的初始状态为x 1(0)和x 2(0)，输入为f (⋅)，完全响应为y (⋅)，下列系统为线性系统的是 A 。

(A) y (t )=x 1(0)+2x 2(0)+3f (t ) (B) y (t )=x 1(0)x 2(0)+⎰f (τ)d τ

0t

(C) y (t )=x 1(0)+sin [f (t )]+f (t -2) (D) y (t )=x 1(0)+2x 2(0)+f (k )f (k -2) 8．下列描述正确的是 A 。

(A ) 信号f (t )反折，则其相应的频谱F (j ω)也反折。

(B ) 信号f (t )在时间轴上扩展2倍，则其相应的频谱在ω轴上也扩展2倍。 (C ) 信号f (t )在时间轴上平移2，则其相应的频谱在ω轴上也平移2。 (D ) 信号f (t )为时限信号，则其相应的频谱也是频带有限的。

9. 一个含有3个电容、2个电感和3个电阻的系统，以下叙述正确的是 D 。 （A ）一定是3阶系统 （B ）一定是5阶系统 （C ）至多是3阶系统 （D ）至多是5阶系统

10．f(t)的频宽是200Hz, 那么f(-2t-6)的奈奎斯特频率为 C 。 （A ）400Hz （B ）200Hz （C ）800Hz （D ）100Hz

11．若f (t )的频谱为F (j ω)，则下列性质正确的是。

d n f (t )(A ) F (jt )f (-ω) (B ) n (j ω)n F (j ω) dt

(C ) ⎰-∞

t

d n F (j ω)F (j ω)n

(D ) (jt )f (t ) f (x )dx n

j ωd ω

d 2r (t ) d r (t ) de (t ) +(t +1) =+e (t ) 描述的系统是： 12．方程2

dt dt dt

（A ）线性时变系统； （B ）线性时不变系统； （C ）非线性时变系统；（D ）非线性时不变系统

13．如图所示周期为8的信号f (t ) 中，下列对其含有的谐波分量的描述中最准确的是 。

A 只有直流、正弦项 B 只有直流、余弦项 C 只有奇次余弦项 D 只有偶次正弦项

πt )的奈奎斯特速率为。 14．信号Sa (100

(A ) 1/50 Hz (B ) 1/(100π) Hz (C ) 1/100 Hz (D ) 1/200 Hz

15．若信号f (t )不满足绝对可积条件，则其傅里叶变换。 (A) 一定存在 (B) 一定不存在 (C) 可能存在，也可能不存在

二、简答题

1．设f (t ) 的波形如图所示，试画出下列各信号的波形。

11

(1)f 1(t ) =f (2t -4) ; (2) f 2(t ) =f (t -) ;

24

解：

2．求下图信号的傅里叶变换

解：F [f ' (t )]=e j ω-Sa (ω)

e j

ω-Sa (ω)

F [f (t )]=+2πδ(ω)

j ω

3、求序列f 1(k ) ={2, 1, 3}(k =-1, 0, 1) 和f 2(k ) ={1, -2, 3}(k =1, 2, 3) 的卷积和 解： f1(k)={ 1, -2, 3}, f2(k)={2, 1, 3} 1，－2，3 2，1，3 2， －4，6 1 ，－2，3 3， －6，9

2，－3， 7， －3，9

f (k ) ={2, -3,7, -3,9}

k =0

4．为了使信号无失真传输，那么对系统频率响应函数的幅频与相频特性提出什么样的要求？

答：无失真传输要求系统传输函数1）幅度与频率无关的常数K ，系统的通频带为无限宽；2）相位特性与|ω|成正比，是一条过原点的负斜率直线。

⎧H (j ω) =K 即:⎨

()ϕω=-ωt 0⎩

5．已知单边拉氏变换F (s )=

1+e -2t

s +22

，求F (s )的原函数f (t )；

解： f (t )=te -2t ε(t )+(t -2)e -2(t -2)ε(t -2) 6．已知某序列的z 变换：F (z ) =解：F (z ) =

z

(z -0. 5)(z -0. 2)

0. 2

10z z (-) （＋2分） 3z -0. 5z -0. 2

极点0.5处于收敛区间外部，对应于左边序列：f a (k ) =极点0.2处于收敛区间外部，对应于右边序列：f b (k ) =所以：

f (k ) =

10

[-0.5k ε(-k -1)] （＋2分） 3

10

[-0.2k ε(k )] （＋2分） 3

10

[-0. 5k ε(-k -1) -0. 2k ε(k )] （＋2分） 3

7．已知f 1(t ) 和f 2(t ) 的波形如下图所示，画出f (t ) =f 1(t ) *f 2(t ) 的的波形图

t

解：

t

8f(-2t+1)的图形

9．求下述象函数F (s )的原函数的初值f (0+) 和终值f (∞)

s +1答案：f (0+)=2，f (∞)=0

2

F (s )=

2s +3

10．求如图所示锯齿脉冲的傅立叶变换。

答案： j

2A ⎡ωF ⎛ωT ⎫⎤

c o -Sa ⎪⎥ ⎢ω⎣2⎝2⎭⎦

11．已知差分方程为y (k ) -y (k -1) -2y (k -2) =f (k ) ，求单位序列响应h (k ) 解：(1)求初始植

单位根据序列响应的定义，它应该满足方程

h (k ) -h (k -1) -2h (k -2) =δ(k ) ① 且初始状态h (-1) =h (-2) =0。将上式移项有

h (k ) =h (k -1) +2h (k -2) +δ(k )

令k =0, 1，并考虑到δ(0) =1, δ(1) =0，可求得单位序列响应h (k ) 的初始值

h (0) =h (-1) +2h (-2) +δ(0) =1⎫

⎬ ②

h (1) =h (0) +2h (-1) +δ(1) =1⎭

（2）求h (k )

对于k >0, 由式 ①知，h (k ) 满足齐次方程

h (k ) -h (k -1) -2h (k -2) =0

其特征方程为：λ2-λ-2=(λ+1)(λ-2) =0 特征根λ1=-1, λ2=2，得方程的齐次解

z 2

12. 已知F (z ) =，|z |>2，求F (z ) 的原函数f (k ) 。

(z -2) 2

F (z )

解：因为F (z ) 的收敛域为|z |>2，所以f (k ) 为因果序列。对进行部分分式展开，得

z

K 12K 11F (z ) z

==+

z (z -2) 2(z -2) 2z -2

求系数K 12, K 11得：

K 12=(z -2) 2

F (z ) z

=2 K 11=(z -2) 2[

z =2

F (z )

]'=1 z z =2

于是得：

F (z ) 21

=+

z (z -2) 2z -2

F (z ) =

2z z

|z|>2 +

(z -2) 2z -2

因此得 k 2k -1ε(k ) ⇔

z

|z|>2

(z -2) 2

z

|z|>2 z -2

2k ε(k ) ⇔

所以 f (k ) =k 2k ε(k ) +2k ε(k ) =(k +1) 2k ε(k )

三、计算题

1、系统的微分方程为y '(t ) +2y (t ) =f (t ) ，求输入f (t ) =e -t ε(t ) 时的系统的响应。（用傅氏变换求解） 解：y '(t ) +2y (t ) =f (t )

两边求傅氏变换，jwY (jw ) +2Y (jw ) =F (jw )

H （jw ）=

Y (jw ) 1

=

F (jw ) jw +2

f (t ) =e -t ε(t ) F (jw ) =πδ(w +1) +

1

j (w +1)

11

⋅πδ(w +1) +

jw +2j (w +1)

Y f (jw ) =F (jw ) ⋅H (jw ) =

2、已知某离散系统的差分方程为

2y (k +2) -3y (k +1) +y (k ) =e (k +1) 其初始状态为y (0) =0,

y (1) =1. 5，激励e (k ) =ε(k ) ；

(1) 画出该系统的模拟框图。 (2) 求该系统的单位函数响应h (k ) 。

(3) 求系统的全响应y (k ) ，并标出受迫响应分量、自然响应分量、瞬态响应分量和

稳态响应分量。

解：(1)y (k +2) -1.5y (k +1) +0.5y (k ) =0.5e (k +1)

（＋4分）

(2)H (z ) =

z 0. 5z H (z ) =， 22

2z -3z +1z -1. 5z +0. 5

特征根为ν1=0.5，ν2=1

H (z ) =

z z - （＋2分） z -1z -0. 5

h(k)= (1-0.5k ) ε(k) （＋2分） （3）求零状态响应：

Y zs (z)=H(z)E(z)=

z z z z z

∙=-+22

2z -3z +1z -1z -0. 5z -1(z -1)

零状态响应：y zs (k)= (0.5k +k-1) ε(k)

（＋2分）

y zs (0)=0，y zs (1)=0.5

y z i (0) =y (0-) y z s (=0)

y zi (1)=y (1)-y zs (1)=1

（＋2分）

根据特征根，可以得到零输入响应的形式解： y zi (k)=(C10.5k +C2) ε(k)； 代入初始条件得C 1= -2，C 2=2 零输入响应：y zi (k)= (2-2 0.5k ) ε(k)

（＋2分）

全响应：y (t ) =y zi (k ) +y zs (k ) =(1+k -0.5k ) ε(k ) （＋2分） 自由响应：(1 -0.5k ) ε(k)

受迫响应：k ε(k)，严格地说是混合响应。

（＋2分）

瞬态响应分量-0.5k ε(k) 稳态响应分量(1+k)ε(k)

（对于ε(k ) ，可以划归于自由响应，也可以划归于受迫响应。 k ε(k ) 可以归于稳态响应，或者明确指定为不稳定的分量但是不可以指定为暂态分量）

3、某LTI 系统的初始状态一定。已知当输入f (t ) =f 1(t ) =δ(t ) 时，系统的全响应

y 1(t ) =3e -t u (t ) ；当f (t ) =f 2(t ) =u (t ) 时，系统的全响应y 2(t ) =(1+e -t ) u (t ) ，当输入

f (t ) =tu (t ) 时，求系统的全响应。）

解：（用S 域分析方法求解）

由Y (s ) =Y x (s ) +Y f (S ) =Y x (s ) +H (s ) F (s ) 由于初始状态一定，故零输入响应象函数不变

3⎧

Y (s ) =Yx (s ) +H (s ) =⎪⎪1s +1

⎨

⎪Y (s ) =Yx (s ) +H (s ) ⋅1=1+12⎪s s s +1⎩

⎧

H (s ) =⎪⎪

求解得：⎨

⎪Yx (s ) =⎪⎩

1

s +1

2s +1

当输入f (t ) =tu (t ) 时，全响应

Y 3(s ) =Y x (s ) +H (s ) ⋅

1211=+⋅s 2s +1s +1s 2

2111311=+++=++s +1s +1s s 2s +1s s 2

∴y 3(t ) =(3e -t +1+t ) ε(t )

4、已知信号f (t ) 的频谱F (j ω) 如图（a ），周期信号p (t ) 如图（b ）,

试画出信号y (t ) =f (t ) p (t ) 的频谱图。

ω

图a

图b 解：G π(t )

3

π

⎛πω⎫Sa ⎪ 3⎝6⎭

(+3分)

p (t ) =G π(t )*δπ(t ) P (ω) =

3

2π⎛πω⎫Sa ⎪δ2(ω) 36⎝⎭

(+6分)

p (t ) f (t )

1

P (ω)*F (j ω)

2π

(+6分)

5、已知离散系统的单位序列响应h(k)=2k ε(k)，系统输入f (k )=ε(k -1) 。求系统的零状态响

应响应y f (k)。

解：系统输入f(k)的单边Z 变换为

F (z ) =Z [ε(k -1)]=z -1⋅

z 1= |z |>1

z -1z -1

系统函数为H (z ) =Z [h (k )]=Z [2k ε(k )]=

z

|z |>2 z -2

根据式(7.5-7),系统零状态响应的单边Z 变换为 Y f (z ) =Z [y f (k )]=H (z ) F (z ) = 于是得系统的零状态响应为

z z 2z

|z |>2 =-+

(z -1)(z -2) z -1z -2

y f (k ) =Z -1[Y f (z )]=(2k +1-1) ε(k )

6、已知线性连续系统的冲激响应h (t ) =e -2t ε(t ) ，输入f (t ) =ε(t ) -ε(t -1) 。求系统的零状态响应y f (t ) 。 解：系统函数H (s ) 为

H (s ) =L [h (t )]=

1

s +2

输入f (t ) 的单边拉氏变换为

1-e -s

F (s ) =L [f (t )]=

s

y f (t ) 的单边拉氏变换为

1-e -s

Y f (s ) =H (s ) F (s ) =

s (s +2)

111111

) -(-) e -s =(-

2s s +22s s +2

由线性性质和时移性质得

11

y f (t ) = L -1[Y f (s )]=(1-e -2t ) ε(t ) -[1-e -2(t -1) ]ε(t -1)

22