机械制图教程第10讲-直线的投影

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课 题：1、直线上点的投影

2、两直线的相对位置

3、直角投影定理

课堂类型：讲授

教学目的：1、讲解直线上点的投影特性

2、讲解两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特点

3、讲解用直角投影定理

教学要求：1、理解并掌握直线投影的定比性的解题方法

2、会根据两直线的投影判断它们的相对位置，并熟练掌握两直线平行、相交的作图问题

3、理解并掌握直角投影定理的特点和解题思路

教学重点：1、两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特点

2、直角投影定理

教学难点：利用直角投影定理图解空间几何问题

教 具：自制的三投影面体系模型

教学方法：例题辅助讲解

教学过程：

一、复习旧课

1、三种位置直线（包括七种类型）的投影特性。尤其注意：实长和倾角的判断。

2、用直角三角形法求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的方法和步骤。

二、引入新课题

上次课我们学习了三种位置直线的投影特性，本次课我们继续学习空间直线的其他投影特性。

三、教学内容

（一）直线上点的投影

1、直线上点的投影

点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。举例：如图2－27所示直线AB上有一点C，则C点的三面投影c、c′、c″ 必定分别在该直线AB的同面投影ab、a′ b′、a″b″ 上。

图2－27 直线上点的投影

2、直线投影的定比性

直线上的点分割线段之比等于其投影之比，这称为直线投影的定比性。

在图2－27中，点C在线段AB上，它把线段AB分成AC和CB两段。根据直线投影的定比性，AC：CB = ac：cb = a′ c′：c′ b′ = a″c″：c″b″ 。

3、讲解例题（例2－6） 如图2－28（a），已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k′，求K点的水平投影k 。

（a）题目 （b） 解法1 （c）解法2

图2—28 求直线上点的投影

（二）两直线的相对位置

两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。

1、两直线平行

（1）特性

若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。如图2－29所示，由于AB∥CD，则必定ab∥cd、 a′ b′∥c′ d′、a″b″∥c″d″ 。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。

（a） （b）

图2－29 两直线平行

（2）判定两直线是否平行

图2－30 判断两直线是否平行

1）如果两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定。

2）当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。如图2－30所示，两直线AB、CD均为侧平线，虽然ab∥cd、 a′b′∥c′d′，但不能断言两直线平行，还必需求作两直线的侧面投影进行判定，由于图中所示两直线的侧面投影a″b″ 与c″d″相交，所以可判定直线AB、CD不平行。

2、两直线相交

（1）特性

若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。如图2－31所示，两直线AB、CD相交于K点，因为K点是两直线的共有点，则此两直线的各组同面投影的交点 k、 k′、k″ 必定是空间交点K的投影。反之，若两直线的各同面投影相交，且各组同面投影的交点符合点的投影规律，则此两直线在空间也必定相交。

（a） （b）

图2－31 两直线相交

（2）判定两直线是否相交

1）如果两直线均为一般位置线时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定。

2）当两直线中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；或者根据直线投影的定比性进行判断。如图2－32所示，两直线AB、CD两组同面投影ab与cd、a′ b′ 与c′ d′ 虽然

相交，但经过分析判断，可判定两直线在空间不相交。

（a） （b）

图2－32 两直线在空间不相交

3、两直线交叉

两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。

（1）特性

若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。反之亦然。如图2－33（a）所示。

（2）判定空间交叉两直线的相对位置

空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。利用重影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。在图2－33（b）中，判断AB和CD的正面重影点k′（l′）的可见性时，由于K、L两点的水平投影k比l的y坐标值大，所以当从前往后看时，点K可见，点L不可见，由此可判定AB在CD的前方。同理，从上往下看时，点M可见，点N不可见，可判定CD在AB的上方。

（a） （b）

图2－33 两直线交叉

（三）直角投影定理

1、概念

空间垂直相交的两直线，若其中的一直线平行于某投影面时，则在该投影面的投影仍为直角。反之，若相交两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。这就是直角投影定理。

如图2－34所示。已知AB⊥BC，且AB为正平线，所以ab必垂直于bc 。

（a） （b）

图2－34 垂直相交的两直线的投影

2、讲解例题

（目的是帮助学生理解掌握利用直角投影定理图解空间几何问题的解题思路和解题方法）

（1）例2－7 求点A到直线BC的距离， 如图2－35（a）

（a）题目 （b）解法

图2－35 求点到直线的距离

（2）例2－8 如图2－36（a）所示，已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线，菱形的一边AB位于直线AM上，求该菱形的投影图。

（a）题目 （b）解法

图2－36 求菱形的投影图

四、小结

1、平行两直线的投影特性和判别方法。

2、相交两直线的投影特性和判别方法。

3、交叉两直线的投影特性。

4、直角投影定理的应用

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