关于积分论文
比较二重积分与三重积分的算法
一、 二重积分的计算方法；
① 利用直角坐标计算二重积分 。
② 利用极坐标计算二重积分。 三重积分的计算方法；
① 利用直角坐标计算三重积分。 ② 利用柱面坐标计算三重积分。 ③ 利用球面坐标计算三重积分。 二、二重积分与三重积分算法步骤分析
二重积分D分析; X型区域D的特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点；
X型区域 适用公式一
⎰⎰f(x,y)dσ=⎰[⎰
D
a
bϕ
2(x)
ϕ1(x)
f(x,y)dy]dx
Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于
x轴的直线与D的边界相交不多于两点。
d⎡ϕ2y⎢()c⎢ϕ1y
Y型区域 适用公示二
f(x,y)dσ=⎰⎰⎰⎰D
⎣
⎤
f(x,y)dx⎥dy
⎥()⎦
X型区域： 先Y后X Y型区域： 先X后Y 三重积分Ω分析：如果平行于Z轴且穿过闭区域Ω内部的直线与
闭区域Ω的边界曲线S相交不多于两点，把闭区域Ω投影到x0y平面上，得一平面区域Dxy，假如闭区域
Dxy=(x,y)y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b
{}
把这个二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式
b
y(x)z2x,y
()2dy
y(x)zx,y
1
f(x,y,z)dv=⎰dx⎰⎰⎰⎰a
Ω
⎰(
1
f(x,y,z)dz
)
同理，如果平行于x轴或y轴的话。则穿出穿入点的竖坐标为
与x2(y,z)和y1(x,z)与y2(x,z) x1(y,z)
Ω分析
{
a≤x≤b
ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x) z1(x,y)≤z≤z2(x,y)
三、举例说明
① 直角坐标求解两种积分
例1 计算⎰⎰xydσ，其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域。
D
解： 首先画出积分区域D（如图），D是X型，先进行D分析 D分析：
D {1≤x≤2
1≤y≤x
利用公式⑴得：
xydσ=⎰⎰⎰⎰D
2
2⎡x2⎡y2⎤⎤
⎢x⋅⎥dx ⎢xydy⎥dx=1⎣11⎢⎥⎦⎣⎦
⎰
3x⎡x3x2⎤29x =(-)dx=⎢-⎥= ⎰1⎥1⎢⎣⎦
例2 计算三重积分⎰⎰⎰xdxdydz，其中Ω为三个坐标面及平面
Ω
x+2y+z=1所围成的闭区域。 解：作闭区域Ω（如图）
将Ω投影到x0y面上，得投影区域Dxy为三角形闭区域OAB. 直线OA、OB及AB的方程依次为y=0、x=0及x+2y=1,所以
Ω分析
{
0≤x≤1
1-x
0≤y≤
2
0≤z≤1-x-2y
于是，由公式⑵得
xdxdydz=⎰dx⎰⎰⎰⎰0Ω
1
1
1-x1-x-2ydyxdz 00
⎰
=
⎰0xdx⎰(1-x-2y)dy
1-x0
11
=⎰(x-2x2-x3)dx
=
1 ②极坐标求二重积分，柱面坐标求三重积分
例3
计算⎰⎰e
D
-x2-y2
其中D是由中心在原点、半径为a圆周所围成的dxdy，
闭区域.
解：在极坐标系中，闭区域D分析：
{00≤≤θρ≤≤2a π
e⎰⎰D
-x2-y2
由公式得
dxdy=⎰⎰e
D
-ρ2
ρdρdθ=⎰
⎡a-ρ2⎤
eρdρ⎥dθ 0⎢0⎣⎦
2π
⎰
⎡1-ρ2⎤a
=⎢-e⎥dθ0
⎣⎦0
⎰
2π
2π1-a2
=(1-e)⎰dθ
0-a
) =π(1-e
2
例4 利用柱面坐标计算三重积分
Ω曲面z=x2+y2与平面zdxdydz，其中⎰⎰⎰
Ω
z=4所围成的区域.
解：把闭区域Ω投影到x0y面上，得半径为2的圆形区域
Ω分析
{
0≤ρ≤20≤θ≤2πx2+y2≤z≤4
2π
所以可得：
zdxdydz=⎰⎰⎰zρdρdθdz=⎰⎰⎰⎰0ΩΩ
dθ⎰ρdρ⎰2zdz
24
ρ
2⎡216⎤212π14
=⎰dθ⎰ρ(16-ρ)dρ=⋅2π⎢8ρ-ρ⎥
00⎦0⎣
=
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