排列组合综合应用2(分配问题)

宜春中学数学学科2-3册笫一章排列组合的综合应用

2导学案 编号：58

编写：丁红平 审核：高二数学理科备课组

学习目标：

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 ；

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。.

学习重点：排列组合在分配问题中的应用 学习难点：排列组合在分配问题中的应用 学习过程：

一、

（约3分钟）

引例：1.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种

解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的

7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C211

10C8C7=2520种，选C.

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）4A、C4

C4C

4

3C4C4C4种 C、C4C4A3C4412C12

8

4种 B、

12841283

种 D、8C4

A3

种 3

答案：A.

2.全员分配问题分组法:

（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

解析：把四名学生分成3组有C2

3

23

4种方法，再把三组学生分配到三所学校有A3种，故共有C4A3=36种

方法.

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案：B.

3.名额分配问题隔板法:

10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C6

9=84种.

4.限制条件的分配问题分类法:

某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案A4

8种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A33A3A38方法，所以共有8；③若乙参加而甲不参加同理也有38种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A228种，共有7A8方法.所以共有不同的

派遣方法总数为A4+3A3A32

88+38+7A8=4088种.

5、平均分堆问题---除序法:

12本不同的书，平均分为3堆，不同的分法种数为多少种。

解：先从12本书中选出4本到第一堆，再从剩下的8本中选出4本到第二堆，第三步从剩下的4本中

选4本到第三堆，但题中是不要堆序，所以不同的分法共有C44412C8C4

A3

种。 3

二、

（约10分钟）

例1、有12 人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。 ①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；

②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；

③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； ④分为甲、乙、丙三组，每组4人； ⑤分为三组，每组4人。

⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。

①C543

C4442554

12C8C4C12C10C12

C7

C

3②

C5C4C

3

1273③

C5C4C3A3④C4C412733128C

4⑤

A3⑥5

2

3A2

小结：例1与练习1说明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配问题。

例2、从1，2，3，…，2000这2000个自然数中，取出10个互不相邻的自然数，有多少种方法? 解：将问题转化成把10名女学生不相邻地插入站成一列横列的1990名男生之间(包括首尾两侧)，有多少种方法?

因为任意相邻2名男学生之间最多站1名女学生，队伍中的男学生首尾两侧最多也可各站1名女学生．于是，这就是1991个位置中任选10个位置的组合问题，故共有

种方法． 利用“插孔”法，也可以减

少元素，从而简化问题． 例3、（1）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的方法？ 解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份C3

10(挡板占位法）

（2）7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球的不同放法有多少种？

解：将7个小球用3块隔板分成4份但盒子又不能空, C3

6(挡板不占位）

例4、 有一群孩子外出旅行，回来时准备包车回家，包车费20元，他们把每个人的钱凑合起来，其中有23人，每人有0．5元硬币一枚，另外10人，每人有1元硬币一枚，问有多

不同的凑合方法？解：把所有人的硬币都凑合起来共有23×0．5+10×1=21．5元，所以多1．5元，这样问题可转化为取多余钱的方法数即取3个0．5的硬币或取1个0．5硬币和1个1元硬币的方法数，则有 C3

1

1

23+C23⋅C10 种取法。

小结：对于某些问题如果直接去考虑，就会比较复杂，若能转化为与其等价的问题，就变得简单，容易解决，这种方法叫转化法。

（约5分钟）

各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。

（约8分钟）

由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方法、知识技巧。（即学习成果）

（约5分钟） 由教师归纳总结点评

约8分钟）

1. 36名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护土，不同的分配方法共有 ( )．

A．90种 B．180种 C．270种 D．540种 分析：(一)先分组、后分配：

第一步：将3名医生分成3组，每组一人只有一种分法．第二步：将6名护士分成3组，每组2人有：()/

种分法．第三步：将医生3组及护士3组进行搭配，使每组有一名医生、2名护

士，有

种搭配方法．第四步：将所得的3组分配到3所不同的学校有

种分配法．

故共有不同的分配方法：·＝540(种)．故选(D)．

分析：(二)第一步：先将6名护士分配到3所不同学校，每所学校2名，则有(种)分法．

第二步：再将3名医生分配到3所不同的学校，每所学校1人，有

种分法．

故共有=540(种)故选(D)．

说明：处理此类问题应注意准确分步．

2.4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_________种．

简析：这是一个排列与组合的混合问题．因恰有一个空盒，所以必有一个盒子要放2个球，故可分两步进行：第一步选，从4个球中任选2个球，有种选法。从4个盒子中选出

3

个，有种选法；第二步排列，把选出的2个球视为一个元素，与其余的2个球共3个元素对选出的3个盒子作全排列，有种排法．所以满足条件的放法共有 =144种．

3.学生会的12名同学分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查，若每个年级4人，则不同的

分配方案有（ ） A、C4

C44

B、3C4C4C4种 C、C4C4A3C4C44128C4

12

8

C

4种

12841283

种 D、A3

种 3

答案：先从12人中选出4人到第一个年级，再从剩下的8人中选4人到第二个年级，第三步从剩

下的4人中选4人到第三个年级，不同的选法共有C44

12C48C4

种，选A. 4.5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案：B.

5. 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B

6.五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( ) （A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种 答案：B 7.若7个座位3个孩子去坐，要求每个孩子的旁边都有空位置，有多少种不同的排法？ 搬凳子插入：A3

3 8.分配问题

（1）6本不同的书分给5名同学每人一本，有多少种不同分法？A5

6 （2）5本相同的书分给6名同学每人至多一本，有多少种不同的分法？C5

6 （3）6本不同的书全部分给5名同学每人至少一本，有多少种不同的分法？C2

5

6A5

（4）6本不同的书分给3名同学，甲1本、乙2 本、丙3本，有多少种不同的分法？C1

2

3

6C5C3

（5）6本不同的书分给甲、乙、丙3名同学每人两本，有多少种不同分法？C222

6C4C2

33（6）8本不同的书分给3名同学，其中1名同学2本、另两人3本，有多少种不同分法？C2C6C33

8

⋅A2

⋅A3 2

（7）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社会公益活动，若每天安排3人，者有多少种不同

3的安排方法？C3C374

或CC3742

A2

⋅A2 2

（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每个班至少1名，最多2名，则不同的分配方案

有多少？C25C23A2

⋅A3

3 2

七．课后练习

1.把12支不同的钢笔分给3人，一人得6支，二人各得3，有几种分法?

63633解：先分堆：有C12C6A2种．再将这三堆分配给三人，有A3

3种。共有C12C6A32

种． 2A2

本题亦可用“选位，选项法”，即：=3.

2. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？

【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A3

3，○*○*○*○，在四个空中分别放

13一把椅子，还剩一把椅子再去插空有

A1

4

种，所以每个人左右两边都空位的排法有

A4A3=24种. 解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有

A3

4

=24种.

3. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有几种？

【解析】：先排好8辆车有A8

8种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档

1

18

中任选一个，将空车位置插入有

C9种方法，所以共有

C9A8种方法.

注：题中*表示元素，○表示空.

4.把5个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的方法数是多少？

C221311

5C3C1C5C2CA2A3

133+A2

A3 22

理论：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以 Am

m ，即m!，其中m表示组数。

5.12个相同的球分给3个人，每人至少一个，而且必须全部分完，有多少种分法？

解：将12个球排成一排，一共有11个空隙，将两个隔板插入这些空隙中，规定两 隔板分成的左中右三部分球分别分给 3个人，每一种隔法 对应一种分法，于是分法的总数为C2

11种方法。

小结：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有的插法数就是分法数，这种方法叫隔板法。

6.某出版社的１１名工人中，有５人只会排版，４人只会印刷，还有２人既会排版也会印刷，现从这11人中选出4人排版，4人印刷，有几种选法？ 以选印刷者为对象分析：（合理分类）

C44C3142245C6+5C2C5+C5C2C4

小结：在中学数学中，解答数学问题常用的数学思想方法很多如数形结合思想；分类讨论思想；转化

的思想……等等。而我们以上的：特殊元素（位置）分析法，插入法，捆绑法，排除法，转化法，机

会均等法，隔板法都是运用这些思想在解排列组合应用题时所得到的各种解法，当然，这些 解法要灵活运用，而且有时要联合运用才能把问题解决 7. 某班有27名男生13女生，要各选3人组成班委会和团支部每队3人，3人中2男1女，共有________

种不同的选法。C422127C13C4C2

8.将4个不同的小球放到编号为1、2、3、4的4个盒子中，则恰好有一个空盒子的方法有多少种？C234A4 问：恰有两个盒子不放小球的方法有多少种？(C14

+C22

4C2A2

)A2

4 2

9.10双不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任取4只，试求符合下列各种情形的方法数？ （1）4只鞋子恰成两双；C2

10

(2) 4只鞋子没有成双；C41111(C11114

10C2C2C2C2=3360或20C18C16C14)÷A4 （3）4只鞋子中有2只成双，另外2只不成双;C121110C9C2C2=1140

个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？C544

10. 将1313C8C4

A2

2

11.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人, 但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方

法 （1540）

12.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2

222名，则不同的安排方案种数为_____C4C2A6

A2

=90 2

14.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的

选法共有_______ 34

15.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法. 27 16..本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？

(C3

C2C1)⋅A3+(C4C11

C2226C4C26

3

1

3

6

⋅2C133

A2)⋅A3+(A3

)⋅A3

23

17.从5男3女中选5人担任5门不同学科的课代表，求符合下列条件的不同选法？ （1）有女生担人数必须少于男生；(C1

4

2

3

5

3C5+C3C5)A5 (2) 男生只能担任数学化学物理课代表；C2

2

3

3

3

2

5A3A3+C5A3A3