谱方法解偏微分方程
谱方法解偏微分方程
学生:石幸媛,数学与计算机科学学院
指导老师:陈慧琴 ,江汉大学数学与计算机科学学院 学号:[1**********]5
摘要
本论文分析的是偏微分方程的谱方法解。在此,我借用向新民编的《谱方法的数值分析》中第67页例2.1方程进行计算。根据例2.1的谱方法计算方式,给该方程具体的函数进行计算,求解其值,并绘图。最后研究比较一阶波动方程的Fourier 谱方法与Fourier 配点逼近有什么不同与相近之处,做出结论。
关键词:Fourier 配点逼近,截断函数,插值函数,Fourier 谱方法
Abstract
This paper analyses the partial differential equations of the spectral method. Here, I use the Xiang Xinmin series" numerical analysis of spectral method" on page sixty-seventh example 2.1equation. According to the case of 2.1spectral methods for computing method, give the specific function for calculating equation, solving its value, and drawing. The final study comparing a first-order wave equation in Fourier spectral method and Fourier collocation approximation of what is the difference and similarities, make a conclusion.
Key words: Fourier collocation approximation, truncated function,
interpolation function, Fourier spectral method
目录
绪论 .................................................................................................................................................. 4 论文主题........................................................................................................................................... 5
§1定义引用: .................................................................................................................... 5 §2论文内容: .................................................................................................................... 5 2.1:Fourier 配点法 . ............................................................................................................. 5 结论 ................................................................................................................................................ 13 致谢 ................................................................................................................................................ 14 参考文献 ....................................................................................................................................... 15
绪论
谱方法是70年代发展起来的一种数值求解偏微分方程的方法,它具有“无
穷阶”收敛性,可采用快速算法,这以后。尤其到了80年代,Quarteroni 、Canuto 、Pasciak 、Funaro 、郭本瑜、Maday 等人对谱方法从理论上作了系统研究,对各类投影算子、插值算子等导出了在各种范数意义下的误差估计,并把这些理论运用于一系列重要的线性和非线性偏微分方程上,取得了令人满意的结果,与此同时,大量的实际计算也证明了谱方法确是一种有效的数值方法。现已被广泛用于气象、物理、力学等诸多领域,成为继差分法和有限元法之后又一种重要的数值方法。
目前,国内外专门介绍谱方法思想及其理论的书籍甚少。且虽然谱方法在在理论研究方面已取得了一些重要进展,但与差分法和有限元法相比还差很远。因此,在研究偏微分方程的谱方法解时可运用资源有限。在导师的指导下,我借助所学习的书籍种的知识,对偏微分方程的某个方程即摘要中提到的《谱方法的数值解》一书中的第第67页例2.1方程进行具体化计算分析。对结果进行画图,研究其形状特征。
论文主题
§1定义引用:
当用谱方法来求解偏微分方程时,经常需要用到截断函数或者插值函数
的微分,以下就来讨论此问题。
s u =
ˆϕ(x )∑ik u
k
k
+∞
设
k =-∞
.
是u '的Fourier 级数,因而可得
'
P N u '=(P N u ),
'22S '即截断和求导是可交换的,如果u ∈L ,那么u 也在L 意义下收敛于u '。
§2论文内容:
2.1:Fourier 配点法
引用例2.1 考虑方程
d
d x
du ⎤⎡()a x -λu =f (x ), 0
的Fourier 配点逼近。
du n ⎫N -1ilx ⎛
I N a (x )⎪=∑b l e , u N (x )∈S N
dx ⎭l =-N
设⎝为方程的近似解,那么
du N d ⎛⎛
() I a x N
d x dx ⎝⎝
e
x =x p
-ilx p
N -1
⎫⎫ilx j
=ilb e , ⎪⎪∑l ⎪
⎭⎭x =x j l =N
du N 12N -1()b j =a x ∑p dx
2N p =0
其
N -1
中.
令这样
du
su N (x )=∑αξe , N
dx ξ=-N
i ξx
=
x =x p
i ξαξe ∑ξ
=-N
N -1
i ξx p
1
, 而αξ=
2N
2N -1s =0
∑u (x )e
s
-i ξx s
,
du N dx
x =x p
i ξ2N -1i ξx
=∑u (x s )e -i ξx s e p , ∑ξ=-N 2N s =0
N -12N -1
最后
1b l =
2N
i ξ2N -1-i ξx s i ξx p -ilx p
()()a x u x e e e ∑∑p ∑s
2N p =0ξ=-N S =0
N -1
,
du N d ⎛⎛
() I a x N
dx dx ⎝⎝
N -1
⎫⎫
⎪⎪⎪⎭⎭x =x j
N -1
il 2N -1i ξ2N -1-i ξx s i ξx p -i ξx p -i ξx j
()()=∑a x u x ∙e e e e , ∑∑p ∑s
2N 2N l =-N p =0ξ=-N s =0
写成矩正形式即为:
i ξ2N -1⎛N -1il ilx j -ilx p ⎫i ξx p -i ξx s
=∑∑a (x p ) ∑e e ⎪e e u (x s ), ∑2N 2N s =0ξ=-N P =0⎝l =-N ⎭
2N -1N -1
(DVD -λI ) U =F ,
其中D =C -1KC , C =(c kj ), c kj =j =0,..., 2N -1, K =diag {i k '}, ⎧k , k =-N +1,..., N -1,
k '=⎨
0, k =-N , ⎩
A =diag (a (x 0),..., a (x 2N -1)),
F =(f (x 0),..., f (x 2N -1)).
T
1-ikx j
e , k =-N ,..., N -1, 2N
我们取边界值.u(0)=u(2π)=o,改变a(x),f(x)或u(x)函数,然后在计算机中运用Matlab 程序 进行计算。Matlab 程序设置或步骤如下: lamal=0;%可以对应修改的常数 N=100;
h=2*pi/(2*N); for k=-N:N-1 for j=1:2*N x=j*h;
C(k+N+1,j)=1/(2*N)*exp(-i*k*x); end end
k1(1)=0;
for k=-N+1:N-1 k1(k+N+1)=k*i; end K=diag(k1);
for j=1:2*N x=j*h;
a(j)=1; %可以对应修改的函数 %a(j)=x;
f(j)=-sin(x);%可以对应修改的函数 %f(j)=x; end A=diag(a); F=f';
I=ones(2*N,2*N); D=inv(C)*K*C; AA=D*A*D-lamal*I;
for j=1:2*N-2 AA1(:,j)=AA(:,j+1); end
U=inv(AA1'*AA1)*AA1'*F;
for j=1:2*N x(j)=j*h; end UU(1)=0; UU(2*N)=0;
for j=1:2*N-2 UU(j+1)=U(j); end % plot(x,UU)
for j=1:2*N x(j)=j*h;
y(j)=sin(x(j)); %可以对应修改的函数 % y(j)=1/6*x(j)^3+(-1/6*(2*pi)^2)*x(j); end
plot(x,UU,'r',x,y,'b')
①设λ=0,a(x)=1,u(x)=sinx那么根据公式(2.1.1)带入得f (x ) =-sin x 运行程序
最后获得结果为下图:
01234567
如图红线为谱方法的解,蓝色为精确解。所示谱方法所求解与精确解基本吻合。
②设λ=0, a(x)=1,u (x ) =sin 2x , 则根据公式(2. 1.1)算得f (x ) =-4sin 2x , 运行程序最后得到结果图为:
0123456
7
如图所示,谱方法解与精确解基本吻合。
③设λ=0, a(x)=x,u(x)=sinx.则根据公式(2.1.1)计算f (x ) =sin x -x cos x 运行程序得到最后结果如下图:
43.5
32.521.510.50-0.5-10
1
2
3
4
5
6
7
由图片观察红线与蓝线相差很大,此时得到结果脱离了我们的要求。 当我们尝试调节λ=8时,我们就可以得到一个相对精确的值,图如下:1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
01234567
④设λ=0, a(x)=1,f(x)=x那么由给定初始值u (0) =u (2π) =0,
解得
y =
131
x -(2π) 2x 66, 再次通过Matlab 进行运行得到最后结果为下图:
1
2
3
4
5
6
7
结果分析的误差依然很大。
然后在下面操作时,无论λ改变为何值,都存在上图的误差。例当λ=1000时,得到图形为:
420-2-4-6-8-10-12-14-160
1
2
3
4
5
6
7
2.2有限差分法: 1
由上面我们可以得到③④用Fourier 配点法算得的解与精确解有较大的误
差。因此,我们尝试用差分法对③④进行继续分析. 对原方程进行变形得
a (x ) 'u (x ) '+a (x ) u (x ) ''-λu (x ) =f (x ) (2.2.1)
Matlab 程序编程如下:
clear
format long
lamal=1000; %可以修改的常量
N=100;
h=2*pi/(N);
for i=1:N-1
x(i)=i*h;
y(i)=sin(x(i));
%y(i)=1/6*x(i)^3+(-1/6*(2*pi)^2)*x(i);%精确值
a(i)=1; %可以修改的常量
a1(i)=0; %可以修改的常量
l1(i)=a1(i)/(2*h)+a(i)/(h^2);
end
for i=1:N-1
A(i,i)=-lamal;
end
for i=1:N-2
A(i,i+1)= l1(i);
end
for i=2:N-1
A(i,i-1)= -l1(i);
end
for i=1:N-1
x(i)=i*h;
% f(i)=x(i)-lamal*(1/6*x(i)^3+(-1/6*(2*pi)^2)*x(i));
f(i)=cos(x(i))-x(i)*sin(x(i))-lamal*sin(x(i));%可以修改的常量
end
UU=inv(A)*f';
plot(x,UU,'r',x,y,'b')
根据③中我们可以得到a(x)=x,u(x)=sinx,此时我们取λ=1000,由公式(2.2.1)可以得到f(x)=cosx-xsinx-1000sinx,最后获得结果为下图:
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.501234567
得到的是一个十分精确地结果。
根据④同样可以到一个相对精确地解,如下图:
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-1601234567
也可以得到一个十分精确地解。
结论
1、总体分析可得,Fourier 配点法是具有可行性的。并且可以得到比较精确地结果。如图①②分析结果所示
当u 是无穷可微且具有周期性时,则可以得到所谓的“谱精度”。但是把谱方法
2、运用于偏微分方程求解时,u 一般只具有有限正则性,这时上面得到的估计就不是最优,如③④所示。此时用差分法,精度会比谱方法高。
致谢
感谢学校,给了我舒适的学习环境和学习资源,让我学习和制作论文能顺利进行。感谢数计学院的老师们在大学四年传授给我这么多的数学知识储备,给我论文的研究奠定了一定的基础。感谢我的指导老师陈慧琴老师,数月以来,从论文方向的确定,制作步骤的进行,以及制作过程遇到的困难顺利解决,都离不开陈老师给予的耐心细致的讲解和指导,在论文制作中,不仅收获了新知识即谱方法求解偏微分方程,还学会如何制作一篇合格优秀的论文作品。论文在此顺利完成,谢谢你们。
参考文献
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