复数的四则运算
3.2 复数的四则运算
【学习要求】
1.理解复数代数形式的四则运算法则. 2.能运用运算法则进行复数的四则运算.
课前预习
1.(1)(a＋bi)＋(c＋di)＝(2)(a＋bi)－(c＋di)＝
a＋bi(3)(a＋bi)(c＋di)＝(4) c＋di
2.复数z＝a＋bi的共轭复数z＝.
3.对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有 zm·zn＝ ；(zm)n＝zmn； (z1z2)n＝znzn1·2.
活动一 复数的加减法运算
例1 计算：
(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i).
跟踪训练1(1)计算2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]；(2)计算(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)；(3)若(3－10i)x＋(－2＋i)y＝1－9i，求实数x，y的值.
活动二 复数的乘除法运算
问题 怎样进行复数的乘法？
例2 计算：(1)(2＋i)(2－i)； (2)(1＋2i)2； (3)(
1＋i62＋3i＋. 1－i3－2i
跟踪训练2 (1)i是虚数单位，复数
i2＋i3＋i4
(2)复数＝________. 1－i
－1＋3i＝__________. 1＋2i
活动三 共轭复数及应用
问题 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？
例3 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数z.
跟踪训练3 已知复数z满足：z·z＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和.
课堂检测
111.复数z1＝2i，z2＝－2i，则z1＋z2＝__________. 22
2.若z＋3－2i＝4＋i，则z＝________.
3.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z＝________.
i－24.复数z＝________. 1＋2i
课堂小结
1.复数的四则运算
(1)复数的加减法和乘法类似于多项式的运算，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
(2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.
2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想.
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
自我检测
1．如果一个复数与它的模的和为5，那么这个复数是__________．
2．(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－…－(2 008－2 009i)＋(2 009－2 010i)－(2 010－2 011)i＋(2
011－2 012i)＝______________.
5＋i3．__________． 1－i
4．8＋6i的平方根是________．
5．已知复数z1＝2＋i，z2＝1－i，则复数z1·z2的虚部是________．
z13＋2i6．复数z1＝，z＝2－3i (i为虚数单位)，z3＝|z3|＝________. z24－3i2
1＋i17．若复数＋b (b∈R)的实部与虚部相等，则实数b的值为________． 1－i2
8．若复数z满足z(1＋i)＝1－i (i是虚数单位)，则其共轭复数z＝________.
m2＋m9．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取m＋2
值范围．
2＋2i12－3＋i100
10．计算：. －1＋91＋23i100
z2＋az＋b11．已知z＝1＋i，a，b∈R，若＝1－i，求a，b的值． z－z＋1
112．已知复数z，满足z2＝5－12i，求. z