机构教师培训教材初中数学第一讲---数

《机构教师培训系列教材》 数与数的运算 初中数学部分（1）

一、初中数学中的数与数的运算：

中学阶段的数的最大范围为复数，学习的运算包括加减乘除、乘方开方取对数，还有微积分初步。初中阶段最大范围是实数，数的运算只学到开立方为止。

学习过程：第一章有理数（七上） 第十三章实数（八下）

学习要求：

（一）基本要求：

1、理解数轴的作用，能从数与形两方面理解相反数、绝对值的意义，会求一个数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。会用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。

2、会进行有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主），并能运用运算律简化运算。

3、领会平方根、 算术平方根、 立方根的概念，会求某些非负数的平方根及某些实数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。领会无理数和实数的概念，会区分有理数与无理数。领会实数与数轴上点的对应关系。会按实际要求用近似的有限小数表示无理数，会估算实数的大小（可以利用计算器），能运用实数的运算解决简单问题。

4、了解近似数与有效数字的概念。解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求对最后的计算结果取近似值（避免中间计算的误差）。

5

、领会二次根式的概念，掌握二次根式的性质：2=

a

0=

=a ≠0) 的意义，领会同类二次根式、最简二次根式的意义，会对二次根式进行加、减、乘、除（分母中只含一个二次根式）的简单四则运算（根号内是有理数，若根号内有字母，没有特殊说明则字母表示非负数）

=a

（二）较高要求

1、通过实数运算法则产生的过程学会合理的推导方法。通过算术中运算律扩充到实数范围的过程学会合理扩充运算律的验证方法。理解绝对值与非负数之间的联系。通过绝对值、有理数、相反数的意义领会分类的思想方法。

2、会化去分母中的二次根式（分母中只含有一个二次根式如：

为实数)

分类讨论，|a |（a 为实数）

x

二、知识点： （一）有理数：

1。有理数定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

⎧⎧⎧正整数⎧正整数⎪整数⎪零⎪正有理数⎨正分数⎨⎩⎪⎪⎪2。有理数的分类: ① 有理数⎨零 ② 有理数⎨⎩负整数 ⎪⎪⎧负整数⎧正分数⎪分数⎨⎪负有理数⎨⎩负分数⎩负分数⎩⎩

3。非负数：正数与零的统称。 4。相反数：如果两个数的和为0. 那么这两个数互为相反数.

求相反数的公式: a的相反数为-a. 性质：①a≠0时，a≠-a; ②a 与-a 在数轴上的位置关于原点对称; ③两个相反数的和为0, 商为-1。 注意：0的相反数是0。

5。数轴：定义（“三要素”）:具有原点、正反方向、单位长度的直线叫数轴。 作用：①直观地比较实数的大小; ②明确体现绝对值意义; ③所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如 都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。

6。绝对值

定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。 几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。 ①符号"││”是“非负数”的标志; ②数a 的绝对值只有一个;

（二）有理数的运算

加法、减法、乘法、除法、乘方等运算

1。运算律

①加法的交换律 a+b=b+a；

②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；

③乘法的交换律 a ×b=b×a

④乘法的结合律 a ×(b×c)=(a×b) ×c ；；

⑤乘法的分配律 a ×(b+c)=a×b+a×c

2。有理数的运算法则

加法

1. 同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。

2. 绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

3. 一个数同0相加，仍得这个数。

4. 相反数相加结果一定得0。

注意 一是确定结果的符号; 二是求结果的绝对值. 在进行有理数加法运算时, 首先判断两个加数的符号:是同号还是异号, 是否有0. 从而确定用那一条法则。在应用过程中，一定要牢记" 先符号, 后绝对值" ，熟练以后就不会出错了. 多个有理数的加法，可以从左向右计算, 也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好, 哪一个要用定律哪

一个要从左往右计算.

减法

1。减去一个数，等于加上这个数的相反数。

2。两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数做加数。一不变：被减数不变。 表示成： a －b=a+（－b ）。

乘法

1 . 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。例：（-5）×（-3）=15 （-6）×4=-24 。

2. 任何数同0相乘，都得0。 例：0×1=0

3. 几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为负；当负因数有偶数个数时，积为正。并把其绝对值相乘。例：（-10）×〔-5〕×（-0.1）×（-6)=积为正数，而（-4）×（-7）×(-25）=积为负数

4 .几个数相乘，有一个因数为0时，积为0。 例：3×（-2）×0=0 。 5. 乘积为1的两个有理数互为倒数。例如，—3与—1/3，—3/8与—8/3。

除法

1. 除以一个数等于乘以这个数的倒数。（注意：0没有倒数）

2. 两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。

3 .0除以任何一个不等于0的数，都等于0。

注意：0在任何条件下都不能做除数。

乘方

1。定义：求n 个相同因数的积的运算。乘方的结果叫做幂；用字母表示a ⋅ a ⋅a ⋅ ⋅a 记作

n 个a

a n ，其中a 叫做底数，n 叫做指数，a n 的结果叫做幂；读法：a n 读作a 的n 次方。

指数

底数

注意：当底数是负数或分数时一定要用括号把底数括起来。一个数可以看作这个

数本身的一次方。

2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

3 . 正数的任何次幂都是正数；

4. 0的任何正整数次幂都是0。

运算顺序

1。先算乘方;

2。再算乘除，最后算加减;

3。如果遇到括号， 则先进行括号里的运算

例如

33. 若|m﹣n|=n﹣m ，且|m|=4，|n|=3，则（m+n）2=．

4. 计算|﹣1|+（﹣2）2=．

5. 若|a﹣2|与（b+3）2互为相反数，则b a 的值为（ ） a n

②

③

分析：③小题可以直接计算，也可以把

解：①原式=－1+0+6.5=5.5 写成24+后利用分配律进行计算。

②原式=

③原式=

例7. 计算①

②

分析：在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中，加、减叫作第一级运算，乘、除叫作第二级运算，乘方叫作第三级运算。没有括号时，先做第三级运算，再作第二级运算，最后做第一级运算。在同一级运算中，按照由左到右的顺序进行。有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。在有理数的混合运算中一定要注意有理数的运算顺序。

①小题还可以逆用乘法分配律，从而简化运算。

解：①原式=

=

=

=

=

或：原式=

=

=

=

②原式=

=

=

例8. 计算 ① ②

③ ④

分析：绝对值是非负数，所以不论是偶次方还是奇次方，结果都是非负的，但是不要把绝对值或者乘方以外的负号带到运算里面去。

解：①原式=

②原式=

③原式=

④原式=

例9. 已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，试求

值。

解：由题意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或－2.

所以

当x=2时，原式=

当x=－2时，原式=

例10. 半径是10cm ，高为30cm 的圆柱形水桶中装满水，小明先将桶中的水倒满2个底面半径为3cm 高为6cm 的圆柱形杯子，再把剩下的水倒入长，宽，高分别为40cm ，30cm 和20cm 的长方体容器内，长方体容器内水的高度大约是多少? （取3，容器厚度不算）

解：水桶内水的体积为×102×30，倒满2个杯子后，剩下的水的体积为：

（×102×30－2××32×6）

∴长方体容器内水的高度为：

（×102×30－2××32×6）÷（40×30）

=（9000－324）÷1200=8676÷1200≈7cm

答：长方体容器内水的高度大约是7cm 。 =4－2－1=1； =4－（－2）－1=5。 =

（四）实数的运算

实数的运算贯穿于初中数学的始终，是学好初中代数的基础。熟练掌握实数的运算法则、运算律以及运算顺序并能正确、灵活地运用它们解决计算问题是学好数学的关键。

实数和有理数一样，也可以进行加、减、乘、除、乘方运算。 而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然成立。

⎧⎧自然数(0, 1, 2, 3 ) ⎧ 整数⎨⎪⎪⎩负整数(-1, -2, -3 ) ⎪⎪⎪12⎧ (整数、有限小数、无限循环小数) ⎪有理数⎨正分数(, ) ⎪23⎪分数(小数) ⎪ ⎪⎨实数

⎨12⎪⎪负分数(-, - ) ⎪⎪23⎩⎩ ⎪⎪ ⎧正有理数⎪无理数(无限不循环小数) ⎪⎨⎩⎩负有理数

实数的开方

定义：开方是数学运算的一种，指求一个数的方根的运算，是乘方的逆运

三、中考数学精选例题解析：

考点分析：

实数的运算贯穿于初中数学的始终，是学好初中代数的基础。熟练掌握实数的运算法则、运算律以及运算顺序并能正确、灵活地运用它们解决计算问题是学好数学的关键。中考中经常出现的考点有：混合、综含运算，非负数问题、分类讨论(绝对值、平方根问题) 、数形结合(数轴问题、寻找规律等。

精典例题：

【例1】填空：

－1－1－1－1＝ ；(-1)(-1)(-1)(-1) ＝ ；

（n 为正整数） (-1) n ⋅(-1) n +1＝ ；

15(-) ⨯(-2) ⨯(-3) ⨯＝ 23

1(-1) 3(-2) 2(-)(-3) ＝ 2

23⨯24⨯25＝；82000⨯0. 1252001＝

分析：

（1）根据同号两数、异号两数相加、减、乘、除的法则，先确定符号，再算绝对值。

（2）多个因数相乘时，由负因数个数的奇偶先定符号，再将绝对值相乘，乘方时注意负数的偶次方为正，奇次方为负，先乘方，再乘除。

（3）合理运用乘法分配律和使用a b =(ab ) 可使运算显得更加简便。

答案：－4、＋1、－1、－5、－6、4096、

【例2】计算： n n n 1 8

3333+99+999+9999 4444

251（2）(-+) ⨯54-6. 3÷-6. 7⨯8 398

1-2123（3）-3-[(-2) ⨯(-) --8]÷(-5) ⨯ 25（1）9

分析：

（1）题可将931改写成(10-) „„，然后用加法的交换律、结合律将整数和分数分别放在一起便44

得结果；

（2）题善于使用乘法分配律的顺逆两用，可使运算简便；

（3）题注意混合运算的顺序，不能先算(-5) ⨯

答案：（1）11109；（2）－110；（3）-

【例3】已知a +1。 551 51+2b +1+(c -2) 2=0，求a bc 的值。 3

2n 分析：利用a ≥0，a ≥0，a ≥0（n 为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为

零，得一个三元一次方程组，解得a 、b 、c 的值，代入后本题得以解决。

答案：－3

探索与创新：

【问题一】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n 个图形是由n 个正方形组成的，通过观察可以发现：

n =1n

=2n =3n =4

（1）第四个图形中火柴棒的根数是 ；

（2）第n 个图形中火柴棒的根数是 。

分析：观察各个图形的根数与图形个数n 之间的关系，并由此归纳出第n 个图形中火柴棒的根数。 答案：（1）13；（2）3n +1

【问题二】有一列数1、2、3、4、5、6、„，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了 个数；当按顺序从第m 个数到第n 个数（m ＜n ）时，共数了 个数。

分析：探索规律，发现规律形式的考题是近年来中考热点题型。本题中，从第2个数数到第6个数时，共数了2、3、4、5、6这5个数，而5＝6－2＋1，同样从第3个数数到第7个数时共数了3、4、5、6、7这5个数，而5＝7－3＋1，依此类推，不难探索其规律。

答案：5、(n -m +1)

第一章有理数周练