第五版高等数学下册模拟题

高等数学下学期模拟试题（一）

一、填空（每小题3分，共9分） 1. 设z=1n（1+xy），则 dz= . 2. 极限

= .

3. 设f （x ）是以4周期的周期函数，它在

定义为f （x ）

=

则傅里叶级数在x=2处收敛于 ，在x=1处收敛于 .

二、选择题（每小题3分，共9分，每小题给出四种选择，其

中有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）

1. 设L 是一光滑曲线，为了使曲线积分

(x，y)dx+xF(x，

y)dy 与积分路径无关，则可微函数F(x，y ）应满足条件（ ）.

A. ； B. ;

C. ; D.

.

2. 微分方程

的特解形式是( ).

A. ; B.

; C. ; D. .

3. 如果幂级数

在

处条件收敛，那么该级数的收敛

半径（ ）.A ．一定为2；B. 一定大于2; C.一定小于2;D. 不能确定.

三、求解下列各题（每题6分，共24分） 1．设函数z=z（x ，y ）由方程

所决定. 求

.

2．求经过两相交直线

及

的平面方

程 .

3． 将二重积分

化为二次积分，其中区域D 为

所围成的第一象限的部分.

4． 设函数

, 点（1，2，3）点A(1,2,-1),点B （2，4，1，），方向

，①求函数f 在点P 处的梯度；②求函数f 在点P

处沿的方向导数.

四、 设

z= 求

. （8分）

五、 求

其中

为平面

在第一卦限中

的部分. （8分） 六、计算

，其中曲面

为

（

）的下侧. （8分）

七、求

，其中

为x+y+z=1在第一卦限部分的三

角形边界，从y 轴正方向看去，方向顺时针. （8分）

八、求幂级数

的收敛半径，并求和函数. （8分）

九、设正项数列{an}单调减少，且

发散，证明级数

收敛. （8分）

十、现有每公升含0.3千克食盐的水溶液，以每分钟2公升的速度将其连续注入盛有10公升纯水的容量里，溶液到容器里经

过稀释后又以同样的速度自容器中流出. 用y (t)表示t 时刻容

器中的含盐量. （1）列出在[t, t+Δt]这段时间内含盐量改变

量的关系式；（2）求y (t).（或直接做第（2）问）. （5分） 十一、如左下图，已知球的半径为R ，P 是z 轴上一定点，P 与球心的距离为a (a

P 点作切平面的垂线，球垂足M 的轨迹所围成的主体的体积. （提

示：选点P 为坐标原点）（5分）

高等数学下学期模拟试题（二）

一、填空（每小题3分，共9分） 1. 过点（1，2，-1）且垂直于平面

的直线方程

是 . 2. 函数

在点P （1，1）处的梯度

grad

；矢量场

在点Q （1，1，0）处散度

= .

3. 设

为某一阶常系数齐次微分方

程的通解，则该方程为： .

二、选择题（每小题3分，共9分，每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内） 1. 函数

在点（

）处偏导数

，

存在是它在该点存在全微分的（ ）.

A. 充要条件；B. 充分但非必要条件；C. 必要但非充分条件；

D. 既非充分又非必要条件 2. 设空间区域

≤

，z ≥0；

≤

，x ≥0，y ≥0，z ≥0. 则（ ）.

A. ; B. C.

; D.

3. 设

为

的以

为周期的傅立叶正弦

级数的和函数，则

等于（ ）.

A.1+ ； B.1； C.

； D.-1.

三、求解下列各题（每题6分，共36分） 1. 求平行于平面

，且与三坐标面所成四面体体

积为1的平面方程. 2. 设函数

，其中

二阶可导，

具有

二阶连续导数，求

，

.

3. 计算二重积分

4. 计算曲面积分

，∑为锥面

，外侧

在0≤z ≤1的部分. 5. 将

展成x 幂级数，并指出收敛区间.

6. 求微分方程

满足

的特解.

四、求内接于半径为R 的半球且有最大体积的长方体. （8分）

五、设

连续，

，而

，求

及

. （8分）

六、求由球面

与锥面

所围均匀物体（体

密度为 ）对z 轴的转动惯量. （8分） 七、计算曲线积分

，式中L 是由

，

，

及

在第一象限所围区域D

的正向边界. （8分） 八、设

的全微分

其中

有二阶连续导数，

，

并且

，试求

. （8）

九、设级数

，其中

≥0，若存在正数b ，使得

（n=1,2,…）. 试证明级数

收敛. （6分）

高等数学下学期模拟试题（三）

一、填空（每小题3分，总12分）

1．已知D 是由直线x ＋y=1,x－y=1及x=0所围， 则

＝ 2．设 正方形闭路

，则

＝ 3．曲面

与平面

在点（1，-2，-3）

处的夹角为 . 4．函数项级数

的收敛域为 .

二、选择题（每小题3分，总12分。每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）。

1．

，

为

在第一象限部分的区域且

，则使

成立的条件是（ ）。

（A ）

及区域

均关于原点对称；

（B ）

关于 轴、

轴对称，

关于原点对称。

（C ）

关于原点对称，

关于 、

轴对称；

（D ）

及

均关于 、

轴对称。 2．二元函数

在点

处可导（指偏导数存在）与

可微的关系为（ ）。A 可导必可微；B 可导一定不可微；C 可

微必可导；D 可微不一定可导。. 3．设

是方程

的一个解，若

，

且

，则函数

在点

（ ）。A 取得极大值；B

取得极小值；C 某个邻域内单调增加； D某个邻域内单调减少。 4．函数

在点

处具有两个偏导数

、

是函数存在全微分的（ ）。A 充分条件；B 充要条件；

C 必要条件；D 既不充分也不必要。 三、计算下列各题（每小题6分，总30分） 1．求

, 其中D 是

2．设两非零矢量阿a 与b 不共线，确定k ，使两个矢量ka+b

与a+kb共线. 3

．

计

算

, 其中Γ是

。

4．计算

，其中∑为球面

。

5．求方程

的通解。

四、（8分）设一平面垂直于

，且通过从点

到直

线

的垂线，求该平面的方程。

五、（8分）设函数

, 其中

具有二阶连续

导数, 、

皆可微, 求

.

六、（8分）设有一均匀物体（ =1）, 它占有的空间区域是由曲面

与平面z=ln4及z=ln9围成的区域，求该物体

对z 轴的转动惯量． 七、（8分）求二元函数

在由直线x+y=6，x

轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值，最大值与最小值．

八、（8分）试计算曲面积分

，其中

是曲面

与平面

及

所围立体表面的内侧．.

九、（6分）设正项数列

单调减少，且

发散，证明

收敛。