让实验走进数学课堂

让实验走进数学课堂

摘 要：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实验、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学实验教学可以向学生提供充分从事数学活动机会，帮助他们在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，是搞好数学教学的根本保证。本文从数学实验教学的类型、功能及优化策略等方面入手，阐述了数学实验教学的开放性、动态性和时代性，并且就数学实验教学中普遍存在的问题提出了自己的想法。

关键词：数学实验教学 类型 功能 策略 思考

一、问题的提出

著名数学家和数学教育家G ．波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学”。要全面提高学生的数学素质，就要在数学教学中充分体现它的两个侧面。既重视数学内容形式化、抽象化的一面，又要重视数学发现、数学创造过程中具体化、经验化的一面，而后者对于数学基础教育显得更为重要。

大多数小学生学习数学轻而易举，而且学得都很好，主要是因为数和数加、减、乘、除等知识与生活中的实例息息相关，学生可以从生活中获得经验。而进入初中后，随着知识的加深，代数、几何的出现，学生的已有经验显得明显缺乏，加之初中数学教学过分强调形式化的逻辑推导和形式化的结果，而对数学发现过程的展示和数学直观性的背景注意较少，从而给学生的数学学习带来困难。因此，在初中数学课堂教学中恰当地引入数学实验，为学生学习数学提供一些感性材料，帮助学生从形象思维向抽象逻辑思维过度，是符合学生的年龄特点的。在课堂教学中引入数学实验是引导学生发现问题、提出猜想，验证猜想和创造性地解决问题的有效途径，也是完善学生认知结构，提高学生数学素养，并使其全面认识数学两个侧面的重要途径。

根据上海教育学院孙国良教授的调查显示：绝大部分教师认为做数学实验是必要的，但在实践中，数学实验却做得很少。主要原因有三个：一个是应试教育压力过重；二是对数学实验的认识不足，怕上数学实验课而影响了教学进度；三是缺乏数学实验的教学经验。正因为有相当一部分教师感到数学教学中很有必要让数学实验进入课堂而又缺乏数学实验的教学经验，本文旨在通过研究探索如何上好数学实验课，为数学教师上好数学实验课提供第一手的实践经验和理论知识。

二、本文实践的理论依据

１、建构主义认知理论

建构主义认知理论认为，学习不应被看成是对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动的建构活动，即学生能积极主动地构造意义。

建构主义学习理论强调以学生为中心，不仅要求学生由外部刺激的被动者和知识的

灌输对象转变为信息加工的主体、知识意义的主动建构者，而且要求教师要由知识的传授者、灌输者转变为学生主动建构意义的合作者、指导者、促进者．这就意味着教师应当在教学过程中彻底摒弃以教师为中心、强调知识传授、把学生当作知识灌输对象的传统教学模式，而采用全新的教学模式：以学生为中心，在整个教学过程中由教师起组织者、指导者、帮助者和促进者的作用，利用情境、协作、会话等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的．

数学实验课这种教学形式能够为学生提供一个主动学习，积极建构新的认知结构的学习环境，使教学中心由教师变为学生，教学形式由灌输变为主动建构，应该说是适应素质教育要求的新的教学模式。

2、数学“再创造”学习理论

荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔认为数学教学方法的核心是学生的“再创造”．“再创造”理论认为教师不必把各种概念、法则、性质、公理、定理灌输给学生，而是应该创造适合的条件，提供很多作为知识载体的具体情境，让学生在实践活动中，自己“再创造”出各种数学知识．也就是说每个人都应该在数学学习过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。

数学实验能够使学生顺利进行数学化并实现再创造，数学实验可以借助现代技术和手段设计出“再创造”的教学环境，使学生学习数学的过程似乎置身于一个“数学实验室”之中，学生可以观察并尝试错误，可以进行发现并做出猜想；也可以做实验，并进行测量、分类；或是设计算法，通过运算检验；或是提出假说，借助逻辑推理加以证明，或提出反例予以否定，等等．数学实验是一种能够使学生亲身经历数学“再创造”过程的教学形式，能够使学生通过体验牢固掌握所学的数学知识，并且能够使学生在具体的环境中养成用数学的习惯，能够克服学习数学而不用数学的弊端。

三、数学实验教学的类型

数学实验就是指为获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类问题，根据学生认知结构及数学思想发展的脉络，创造问题情境，充分利用实践手段，在教学思维活动的参与下引导学生从直观现象到发现、猜测、归纳，引导学生通过操作，主动、积极、批判地思考，然后给出验证与理论证明的一种数学探索活动。这是一种思维实验和操作实验相结合的实验。

与传统的物理、化学、生物实验相同，一方面，数学实验需要学生通过动手操作去探索，但另一方面，数学实验还更多地包括通过背景资料的观察、比较、分析、综合、抽象和推理，得出或深层次理解数学概念、规律及本质。基于以上认识和教学的实践，我们可以把数学实验教学归纳为以下三种形式：

1、操作性数学实验教学

操作性数学实验教学是通过对一些工具、材料的动手操作，创设问题情境，引导学生自主探索数学知识、检验数学结论(或假设) 的教学活动，这种实验教学常用于与几何图形相关知识、定理、公式的探求或验证．操作性实验教学的一般步骤是：教师提出问题

→学生实验→观察分析→猜想结论→交流校正→验证或证明。

如三角形全等判定条件的探索：

课前要求准备好刻度尺、量角器、纸板、剪刀等．课堂上教师先告诉学生今天要研究三角形全等的判定方法，然后请学生按以下程序操作并思考．

(1)画一个三角形，使三个内角分别为40°，60°和80°，画好后将这个三角形剪下，与同学画的进行比较，它们一定全等吗？ （不一定全等）

(2)再画一个三角形，使三条边分别为4㎝，5㎝ 和7㎝，画好后将这个三角形剪下，与同学画的进行比较，它们一定全等吗？

(3)猜想结论—有三边对应相等的两个三角形全等；

(4)学生相互讨论、交流，达成一致的意见。

由于这一判定方法是以公理形式出现的，所以只要学生认可即可．这时，教师提醒学生每个同学得到的结论都一样，这其实是实验证明了结论的正确性．

操作性实验教学不是把数学知识直接告诉学生，而是通过学生动手操作、合作探究获得的，这是一个主动建构的过程．在这一过程中，通过动手操作，把学生推到思维的前沿，把课堂交给了学生，给学生参与实验、自主探索、合作交流的机会，让学生在自主的思维活动中去构建新的认知结构，这样既加强了数学交流，又培养了合作精神．对于三角形内角和定理、SAS 、ASA 、AAS 公理，圆的轴对称性、中心对称性、旋转不变性等内容的教学，都可以采用操作性实验教学法．

2、思维性数学实验教学

思维性是按照真实实验方式展开的一种复杂的思维活动．思维性数学实验教学是指通过对数学对象的不同变化形态的展示，创设问题情境，引导学生运用思维方式探究数学知识、检验数学结论(或假设) 的教学活动。

如等比定理的探索：

(1)假设有若干杯甜度(浓度) 相同的糖水，经过下面的操作后，糖水的甜度(浓度) 是否改变? 实验设计：

将两杯糖水倒在一起后，糖水的甜度是否发生？

将三杯糖水倒在一起后，糖水的甜度是否发生？

将四杯糖水倒在一起后，糖水的甜度是否发生？

﹍﹍

(2)直觉领悟，交流讨论

上述实验结果(事实上无需动手操作只需根据日常生活经验判断即可) 说明了什么?(将任意杯糖水倒在一起后，糖水的甜度不变.) 据此能否类比得出什么结论? 若将a/b,c/d，„，m/n看作是倒前糖水的浓度，则倒后糖水的浓度为(a＋c ＋„＋m)/(b＋d ＋„＋n), 即由a/b=c/d=„=m/n可得(a＋c ＋„＋m)/(b＋d ＋„＋n)=a/b=c/d=„=m/n （b ＋d ＋„＋n ≠0）

(3)定理的证明(略) 。

无需走进实验室，我们只是对上述实验设计作以简单分析，就能使学生亲历等比定理的发生、发展过程，帮助学生更深刻地理解等比定理的含义，而且能让学生体会数学

与生活的密切关系。

3、计算机模拟实验教学

计算机模拟实验教学是指借助于计算机的快速运算功能和图形处理能力，模拟再现问题情境，引导学生自主探索数学知识、检验数学结论(或假设) 的数学活动．计算机多媒体技术能为教学活动提供并展示各种与教学内容相适应的情境，为抽象的数学思维提供了直观模型，为学生的学习和发展提供了丰富多彩的学习情境和有力的学习工具．

例如，在研究等腰三角形的性质时，可以让学 生利用《几何画板》先作一个任意的 △ABC ，并作出△ABC 的中线AD 、高线AE 、角平分线AF ，测量出AB 、AC 的长（如图1），然后拖动点C ，使得AC=AB，学生会很直观的发现AD 、AE 、AF 互相重合（如图2）．并且可以多次改变位置，实验结果都是一样的，从而启发学生从这个事实去寻找证明等腰三角形性质的方法，教师也摆脱了难以将性质描述清楚的窘境，使得等腰三角形的性质不言自明。

从上例可以看出，在一定的问题背景下，学生自己动手实验、观察、比较、归纳，亲自经历数学知识的发现过程，使得等腰三角形的性质这一数学知识很自然地纳入到已有的知识结构中，改变了以讲授“现成结果”为特征的传统数学教学模式，体现了以教师为主导，学生为主体的教学原则。

四、数学实验教学的功能

1、让自然实验器材进入课堂，有助于激发学生兴趣。

爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师”，初中生的好奇心理是由他们的年龄特点决定的。直观性教育是吸引学生注意力，然后产生联想、概括和抽象的最好方法。

例如：初一“等式性质”的导出，教材安排了天平的实验，这样的内容，教师应充分理解教材编写的意图，切不可贪图简单，只用投影片讲解，而放弃把天平带入课堂。因为初一学生对天平还感觉新奇，必然会产生浓厚的兴趣，提高了学生的有意注意力，更重要的是让学生较生动、具体地体验等式性质的“来历”。然后把它抽象成为数学知识，并不感觉陌生，还似乎是遇见了经过另一番包装后的老朋友一样，亲切依然。

又如“一元一次不等式组”

的概念教学。教师也可带上天平，先让两位学生根据老师的

要求上台操作实验一、二，提问怎样用天平来估计一颗螺母的质量？

实验1：把螺母放在天平的左侧托盘内，移动游码至刻度2g ，发现天平向左侧倾斜，怎样来表示这颗螺母的质量呢？

提问得：X>2（教师板书）这样又让学生体验到了不等式的来历。 实验2：再次移动游码至刻度3g ，发现天平向右侧倾斜，又怎样来表示这颗螺母的质量呢？同理得：X2 ⎨⎩X

这样的新课导入，既使学生得到了实验的参与，绝大部分同学引发了兴趣，提高了注意力，又使不等式和不等式组的概念变为看得见，摸得着，充分照顾学习困难的同学积极参与，积极投入。当然要真正理解一元一次不等式组的概念，老师还应及时编拟几个练习题，判断是否为一元一次不等式组，以强化概念内涵，理解概念中的具体要求，从而使学生从感性认识上升到理性认识。再如在“一元一次方程应用题”学习时，较多学生感觉理解应用题难，教师应不厌其烦地带进课堂一些学生看了以为是“玩”的玩具，以提高学生兴趣，采用仿真和模拟的方法，再现实际问题的应用过程，使学生身在其中，理解题意。例如：行程问题中可带上实验室的“平板小车”用线拉动进行演示，体积问题可以带自制的长方体盒子和量筒(或烧杯) 等用水灌装，溶液配制问题在教学中也有要求用适当的有色溶液代替，进行现场稀释或加浓或混合。这样边玩边学习，尽管是教材的难点，学生也会从直观形象中理解了各类应用题中基本的数量关系，弄清了各个量在不同过程中的变化。而且感觉到了数学应用的真实性，理解数学反过来指导我们的生活实践，体会到数学是一个现代人的必备素质。

2、制作数学模型，有助于学生自己发现内在的规律性。

教育心理学专家早已作论断，学生听，教师讲，只能记得15%。如果学生自己看书，可以记得其中的25%，如果既看又听，效果不只是两者的代数和，而是65%，这是一个很大的飞跃。如果不仅用耳听，而且动眼看，动手做，动口念，特别是多动脑筋，效果自然会更好。让学生制作数学模型，首先是培养了学生的动手操作能力，而且在做前的准备工作上，仔细地学习，仔细地观察，仔细地琢磨，甚至测量和计算，使在制作中体会到了其中内在的规律性。 例如，初一新生一开始要学习“数轴”。这是一个很抽象的概念，教师不妨在前一天布置同学回家观察温度计，并用卫生筷制作一支仿真的温度计。然后在上新课时老师准备一些实验室里的温度计发给同学，让他们仔细对照检查是否有做得不完善或不正确的地方，尽可能让学生先说。接下去老师提问：（1）温度计是否有刻度（包括零刻度线）？（2）刻度是否均匀？（3）刻度标法顺序是怎样的？（4）在相邻的两条刻度线之间能否再刻上更小的刻度线？（5）温度计上的刻度排列是否有方向性？（6）这个温度计能否做得很长很长，刻度标得更多些？学生根据自己的制作和观察一般能回答上来，然后我们把这支温度计抽象成一条向两方无限伸展的数轴，引出课题。这样的导入，不光是让学生从实例中体会到了数轴的形象，而且感觉到了创造数学的过程。对于数学目标来讲，数轴的三要素尽显其中，渗透了数形结合的思想，为接下去画

数轴，在数轴上找表示有理数的点和说出数轴上的点所表示的有理数，以及下一节数轴上有理数大小的比较，扫清了理解上的障碍。又如在学习同位角、内错角和同旁内角一课之前，先让学生做一个“三线八角”的模型。这样学生会更具体地理解上述“角”形成的前提条件：必须是“两条直线被第三条直线所截”，而且实实在在地领会每一对角的相互位置关系。这个模型还可以在学习平行线的判定和性质时使用。同时防止学生在学习性质和判定后产生只有当“两条平行直线被第三条直线所截”时才有同位角、内错角和同旁内角的负迁移现象。尽管是一个较为简单的学具，但是对于学生的学习来说却是相当重要的。

再如在学习柱、锥、台的表面积和侧面积展开图时，教师不可放弃让学生做出实物模型（无论是课前还是课后，最好是课前尝试，课后完成），一方面寓学于玩，寓学于乐，另一方面通过制作模型，学会了其中的测量，画图，计算，进一步理解了公式的来历及它们之间的内在联系。数学同样回到了实际应用中去。 制作学具也是数学实验教学的一部分，身体多器官的同时活动，开发了学生的智力，培养了学生的能力，让数学真正的看得见，摸得着，有切肤之感，才有心灵之通，促进了学生数学思维的发展。

3、数学实验教学有助于学生加深对概念的理解

通常数学概念教学是教师给出概念，学生加以记忆, 但学生往往对其本质属性理解不够，一知半解，更别提运用了。

正如列夫·托尔斯泰所说：“知识，只有当它靠积极的思维得来，而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识。”

新理念就要求教师在概念教学中注重知识的生成, 引导学生从已有的知识背景和活动经验出发，提供大量操作、思考与交流的机会，让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流与反思等过程，进而在增加感性认识的基础上，帮助学生形成数学概念。

例如华师大版教材八年级（下）《§18.1相似的图形》先通过观察图1三组图形，引导学生发现它们的关系——形状相同，再通过多媒体课件把这三组图形放大或缩小，利用图形的平移或旋转等变化，使它与另一个图形重合，让学生亲手去验证。最终使学生通过亲身体验并真正理解“相似形”的概念。

（2） （3）

图1

新教材图形与变换是数学课程标准中“空间与图形”领域的一个主要内容，努力体现运动变换的理念和思想。华师大版八年级上第十一章《平移与旋转》这章就强调学生经历探索平移、旋转的性质和图案设计等实践活动，通过大量的试一试、做一做、想一想等实验教学活动，尽可能多地让学生主动参与，亲自动手操作，拓宽学生的思考与探索空间，从而更真切地理解概念。

4、数学实验有助于学生发现数学原理

传统数学课堂教学忽略教学原理的来龙去脉, 压缩了学习知识的思维过程, 往往造成感知与概括之间的思维断层, 既无法保证教学质量, 更不可能发展学生的学习策略。

新理念提倡重视过程教学，在揭示知识生成规律上，让学生自己动手实验，自己去发现数学原理，从而理解更深刻。

例如华师大版八年级上第十二章《§12.2几种特殊的平行四边形》通过实验:同学们, 你们能否利用你手中的矩形白纸裁出一个正方形? 并请你把刚才所做的实验图形表示出来（如图2）, 然后与学习小组的同学交流矩形与正方形之间的关系。请学生演示说明，教师再用多媒体演示。得出正方形的一种识别方法——有一组邻边相等的矩形是正方形。

图2

教师通过启发引导小组讨论探究得到数学原理。并同样通过实验得出正方形的另一种识别方法，并为最终得出并理解正方形的特征奠定基础。

5、精心设计数学实验，有助于培养学生的创造性思维。

我们知道，数学家发现数学规律的过程是坎坷的，甚至经历多次失败。尽管学生在老师指导下发现真理与科学家发现真理的过程是不完全相同的，但学生发现那些在科学上早已被发现的东西的时候，他是像第一次发现者那样去推理的，这是被教育心理学家已经肯定的。如果我们教师在教学中直接了当地给出数学结论，学生会感到乏味，提不起兴趣，因为这仅仅是灌装知识，抹杀了学生的创造性思维。如果在教学中剪辑一些发现者的经历，让学生重复再现，其结果是学生好像自己发现结论那样兴奋。

例如：在“三角形三边关系”一课学习时，课前先请同学准备三根细竹条和一把剪刀，先让学生首尾顺次连接围成一个三角形，教师可在投影仪上同步指导性操作。设问：是否任意长度的三条线段都能首尾顺次连接组成一个三角形？接着请同学各自量出三角形三条边的长度，并记录下来，然后把最短的边剪去一小段，再去围三角形，观察会出现什么现象？测量三边并记录，再剪去一小段，观察又会出现什么现象？再测量记录，这样重复到不能组成三角形为止。根据实验和记录，教师可引导学生思路：三边长度（数）的变化是怎样影响三角形（形）的变化的，在教师的诱导下，大部分同学会很自然地导出“三角形任何两边之和大于第三边”的三角形三边关系。最后让学生口算验证自己的实验结果，初步巩固实验结论，然而要理性地认识这个结论，还要从“两点之间线段最短”加以引证，找到它的理论根据来稳固实验结论。这是学生动手、观察、想象、归纳和论证等各方面能力的集中训练，是学生再现了发现数学结论的全过程。通过实验，手脑并用，既体现了数形结合的教学程序，又培养了学生的创造性思维。

初中数学教材的编排中，有些内容体现了数学规律的发现过程。但有些还需要数学教师充分的挖掘，教师应牢固地树立这样的观念，教书不单纯地教知识，更重要的是教会学生怎样去发现知识，创造知识，培养一种勇于探索，独立思考，追求真理，锲而不舍的精神

6、数学实验有助于调动学生的参与热情，大面积提高教学质量

初中数学课本说明指出：初一几何从实验几何开始，培养学习兴趣、放低起点增加台阶，会使用刻度尺、量角器和圆规等进行画图，测量并计算和猜测，引导学生自然地接受几何知识，逐步引导几何论证方法，有计划地从形象思维到逻辑思维的过程。根据这样的要求，给调动全体同学的学习能动性给出了方法。

例如：在学习“三角形内角和”时，可让学生画任意的一个三角形，先测量三个内角的度数，再计算它们的和，然后猜测其结论。虽然课文未提出它的论证过程，但教师仍可启发同学用剪刀剪下这个三角形，再把其中二个角也剪下拼到第三个角上去，观察它们的和角，从而验证其和角正好等于(180度) 一平角。渗透了论证的思想方法，为将来通过作平行线，利用平行线性质证明其结论做了铺垫。

又如：在学习“三角形平分线、中线和垂线”时，可先请同学任意画一个三角形然后剪下来，并设法用一支笔的笔尖把这个三角形支撑起来，使它处于平衡状态，绝大部分同学是无法实现的，然后教师示范并一次成功，同学们必定惊讶不已，急与了解究竟，然后导出新课。在讲完中线后，也请同学一次成功把它支撑起来，若不成功则寻找原因，对于这一节课的教学我认为可适当改变教材编排次序，先讲三角形中线，以激发学生兴趣，同时与物理上的重心相联系，借助实验操作增强对知识的感受。在学生兴奋的条件下再导出三角形的三条角平分线和三条垂线，类比发现三角形的三条角平分线和三条垂线也交于一点，这样可理性地指导学生作图的正确性。

不光是初一学生采用实验几何有较强的直观性。在初二初三的几何教学中，也不失为一种很好的方法，尤其是对能翻折、旋转、剪拼的图形探索辅助线的添法开辟了一条简捷的思路。例如：“等腰三角形判定定理”的教学，可分下列活动进行：（1）让学生在白纸上画一个两角相等三角形，并剪下；（2）将三角形对折使两个相等的角重合；（3）让学生观察两等角的对边的长度，提出猜想；（4）引导学生证明猜想。显然，由（2）的操作学生很容易想到如何作辅助线，判定定理的证明便水到渠成。在实例中体现了从形象思维到逻辑思维的顺利过渡。人人参与主动参与保证了大面积提高教学质量。

7、数学实验教学有助于突破课堂中的教学难点

对于教学中的一些疑难点，如不借助于一定的实验手段，就不能调动学生思维的积极性，也很难达到预定的教学目标。例如，在初一数学“质量分数应用题”的教学时，由于学生缺乏自然科学中的有关知识，很难理解这点内容。这时，教师可借助实验的方法来解决这一问题。

先让每个学生准备一水杯和二份50ｇ盐。教师在讲清质量分数的概念的基础上开始做实验。教师用量杯给每个学生倒200ｇ水，然后让学生把50ｇ盐加入水中，这样这杯

盐水就有250ｇ。那么盐水中盐的质量分数是多少？学生就自然地回答出。让学生尝尝咸味，感受一下。然后再把剩下的50ｇ盐加入盐水杯中，这时盐水的盐的质量分数双是多少？学生也能回答出。再让学生尝尝咸味，学生发现盐水比原来咸多了（盐的质量分数增大）。

通过实验，学生获得了深刻的感性认识，然后教师通过对实验分析、概括、推理、判断，使学生的认识上升到一种理性的高度：盐的质量分数＝盐的质量/盐水的质量。这样处理，远比教师空洞的说教效果要好。

8、数学实验教学有助于学生的合作互动学习

随着我国课程改革运动的深入，体现并实施改革理念的主战场——课堂被赋与丰富的内涵，其中包括课堂教学中的学习从单一的接受型走向合作互动型。合作学习有助于互动的实现，在合作互动学习中，所有小组成员平等参与学习实践，共同承担学习的责任。在教学实践中，我们往往更加重视师生的互动而忽视了学生间的互动，事实上教师的一切课堂行为都是发生在学生--学生群体关系的环境中。在数学实验教学中，学生的互动得到了很好的体现，数学实验大多是在学生的相互合作中完成的。在实验中学生相互合作、相互依赖而又相互约束，形成了良性的合作互动的学习模式，因此更能体现合作学习的必要性。通过数学实验不但能激发学生的学习兴趣和创新思维，提高学生收集、处理和利用他人成果的能力，更能培养学生间相互合作的精神。

案例：

教学内容：七年级下《游戏公平吗？》

教学过程：

步骤一：创设情境，合理猜测

今天，爸爸、妈妈都想上网，可家里只有一台电脑，大家能否帮爸爸妈妈来想个办法，来决定谁来用电脑（大家纷纷献计献策），若采取掷硬币的办法（甲同学建议），任意掷一枚均匀的硬币，若正面朝上，那么爸爸使用电脑，若反面朝上，则妈妈使用电脑，大家想一想：掷硬币的方法公平吗？

步骤二：游戏实验，收集数据

1、同桌两人做20次掷硬币的游戏。

要求：（1）一个掷硬币（2）一个负责记录数据（3）两人合作借助计算器，计算正面朝2

3、累计全班同学的试验结果，分别计算试验累计进行到20次、40次、80次、120

次„„400次时正面朝上的频率，并完成折线统计图，观察所作折线统计图，你发现了什么规律？

4、将本班级实验的结果发送到校园网，并上网查看其他班级的实验结果是否一致？

【设计意图及反思】学生在实验数据的收集和分析过程中，实现三个不同范围的合作互动，首先，在与同桌合作过程中，达到小范围的学生间的互动，初步建立随机的概念，然后，在累计全班的试验结果的过程中，实现互动的范围扩大，体会随着试验次数的逐渐增加，正面朝上的频率变化幅度逐步变小，差不多稳定在图中的虚线处，最后，利用多媒体的教学手段将合作互动的范围扩大到全校。从中渗透概率中数据统计的基本方法，培养学生与人合作、与人交流的品质，激发学生学习数学的兴趣，同时提高学生收集和处理信息的能力。

步骤三：验证猜想，形成概念。

议一议：通过对自己实验的结果及历史上数学家的实验数据的分析，我们体会到：任意掷一枚均匀的硬币，在大量的重复实验中，正面朝上的可能性就比较稳定，趋向于0.5，我们发现这个规律：正面朝上的可能性大小用P 来表示的话：P=1/2（分子代表正面朝上的结果数，分母代表所有可能出现的结果数），也称为硬币正面朝上的概率。

【设计说明及反思】利用生活中的概率，学生通过动手实验，自主探索和合作交流的学习方式，形成概念。在数学实验中，学生由于亲自动手操作，从一个旁观者和听众变成了一个参与者，同时，实验中要求合作互动，因此，学生对实验的结果、产生结果的原因、新的知识、方法等产生强烈的愿望，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的创新思维以及合作精神。另外，在这个实验中还涉及到很多的数据和实验信息，学生通过几个不同范围的合作互动，探索出实验的结果，从中培养了学生搜集、处理数据和信息的能力。

9、数学实验有助于发现几何问题解决的方法及规律

几何证明，学生常常感到无从下手，是几何学习中最困难的地方之一。事实上，几何证明的方法常常也是通过对图形的操作，变形、变换、添加辅助图形等多种多次的尝试而被发现的。发现了证明的方法后，顺便也就证明了前面的“发现（猜想）”的真确性，于是结论也就出来了。

下面是一例发现三角形内接矩形的面积变化规律的“数学实验”的做法。①出示图形：在△ABC 中，P 是BC 边上的任意一点，以P 为顶点作△ABC 的内接矩形，使矩形的一边在BC 上。②使点P 在BC 上运动，矩形面积随之变化。③设BP 为x ，矩形面积为y ，建立x 与y 间的关系，让学生观察当x 变化时，y 的变化特点及其是否有最大值。④显示当P 点运动时，对应的动点(x，y) 的运动轨迹，让学生对第③问中的观察结果进行验证，最后完整显示抛物线。⑤改变△ABC 的形状，研究△ABC 的底边BC 或BC 边上的高变化时，对抛物线形状有什么影响。

在上述例子中，学生参与实验的过程实际上是在观察实验模拟过程中思考。当然在问题讨论环节中，部分学生仍可发挥创造性，提出自己新的“实验”设想，并上讲台进行实验操作演示或由教师择优实验。

在网络教室环境中，学生在教师实验方案的引导下或在自行设计的实验方案中，自主实验研究的天地更为广阔，机会和时间更多，兴趣更浓，参与程度更高，小组协商学习真正成为可能，因而“研究性学习”教学思想体现得更加充分，“研究性学习能力培养”的教学达成度也会更高。至于证明的书写格式、步骤等，可以在实验报告中列出，也可以实验课外完成，这完全由教师依班级实际而定。

10、数学实验有助于培养学生的唯物辩证观

数学是一门来源于实践的学科，其本身就充满了唯物论和辩证法。而数学实验为学生认识唯物论和辩证法提供了丰富的感性知识材料，学生每经过一次实验操作，其思维过程必然经历“感知——表象——抽象——反馈——再感知——丰富表象——发展思维——问题解决”这一螺旋上升的阶段。再者，学生“用数学”意识的培养，就是数学理论知识反作用于实践的有力体现。因此，在数学实验中培养学生的唯物辩证观，是完全可行的。

此外，数学实验还可培养学生良好的观察能力、数学应用意识及严谨的治学态度等。

五、优化数学实验教学之策略

1、创设良好情境，开展实验教学。

心理学研究表明：经过精心设计的好的问题情境，有利于启发推动学生的思维。问题解决之时，就是新知识获取之时，更是思维得到训练，能力得到提高之时。

创设情境是数学实验教学过程的前提和条件，其目的是为学生创设思维场景，激发学生的学习兴趣。数学实验教学作为探究性学习之一，创设最佳的问题情境是优化数学实验教学的首要任务。

①源自生活创设情境，调动学生积极性。

例如七年纪(下) 《多边形》中，为了让学生了解如何用各种不同的地砖来铺地面，笔者在课堂上进行模拟实验 “小屋装修”。让学生利用不同形状的卡片来代替不同形状的

瓷砖，进行了分组实验。在实验过程中，学生充分发挥了想象力，不单弄清了道理，还根据不同的适用人群和生活区域设计了不同的风格，如日本风格的，南美风格的，德国风格的等等。由此，让学生体会到了数学的美丽、实用，充分调动学生参与数学实验教学的积极性，让学生从已有的生活经验出发主动地学习探究。

②故布疑阵创设情境，激发学生兴趣。

创造生动愉快的情境，令学生由心生疑窦而造成悬念，产生学习的内驱力，从而形成理想的教学氛围，使学生带着浓厚的兴趣开始探索思考。这类启发在实践中涌现甚多。例如：测量一破损的圆形零件，教师启发：想一想，用什么方法可以画出原来的圆形轮廓线？学生小组实验操作，然后回答。教师再引导学生归纳出已知平面上不在同一直线上三点画圆的一般步骤。课后，再次启发学生：如果已知平面上二点可画过这两点的圆吗？有多少个？如果是过一个点呢？ “兴趣是最好的老师”， 如此使学生带着兴趣思考，从而使学生真正成为数学学习的主体，变“要我学”为“我要学”、“我爱学”。心理学家认为，兴趣、爱好是探究性学习的基础。因此，创设问题情境应坚持这一点。

③破绽偶出创设情境，吸引学生注意。

教师在讲授重点，关键处时，故意出现错误，吸引学生的注意力，启发学生求异思维，增强学生对周围事物的敏感，训练挑毛病、找缺陷的能力，从而有助于创新意识的培养。

教学过程中佯装出错，引起学生高度注意，启发他们积极思维，发现错误根源，以探究正确思维。引导学生在“百密一疏”中发现问题，提出问题，促使学生认真听讲，使他们敢于大胆发现，敢于提问，具备创新的勇气。但此法不可多用，否则容易造成学生思维混乱。

④对比鲜明创设情境，启发引导学生。

鲜明强烈的对比往往能给学生留下深刻的印象，有利于学生的理解和记忆。

例如七年纪(下) 《确定与不确定》要让学生学会判断一类事件发生的可能性，并能设计符合要求的简单概率模型。为此，我设计了" 我们最有默契！" 的小实验。分小组从生活中搜集素材，设计一些事件，再请你们的好友表示该事件发生的确定性与不确定性，比赛哪些同学最有默契！学生的思维非常活跃，设计出很多很有意思、有意义的确定和不确定事件：例如金星一定是东升西落；我校歌咏比赛抽签我班抽得第五个出场；印度洋海啸全球死亡人数有15万„等等，然后请他们的好友回答该事件的概率是多少。游戏式的实验教学方式，整堂课学生抒发了自己对集体的热情，对世界大事的关心，还有对友谊的真诚。鲜明的事件对比，让学生充分理解“确定与不确定事件”。

数学教学中，创设合适的问题情境，还应注意：合理运用文字与动画组合, 使问题情境呈现清晰、准确；具有可操作性，便于学生观察、思考，从问题情境中发现规律，提出猜想，进行探索、研究；有一定的探索性，问题的难度要适中，能产生悬念，有利于激发学生去思考；简明扼要，创设情境不宜过多，过于展开，用时也不要太长，以免冲淡主题，甚至画蛇添足。

思想的火花往往诞生于和谐的环境，良好的情境有助于创造性思维的培养。

2、小组活动与实验，充实实验教学。

这是实验教学这一模式的主体部分和核心环节。教师根据具体情况组织适当的活动和实验；数学活动形式可根据具体情况而定，最好是以2-4人为一组的小组形式进行，也可以是个人探索，或全班进行。在此教师的主导作用仍然是必要的，教师给学生提出实验要求，学生按照教师的要求，完成相应的实验，搜集、整理研究问题的相关数据，进行分析、研究，对实验的结果做出清楚的描述。这一环节对创设情境和提出猜想两大环节起承上启下的作用。

通过小组活动与实验，锻炼每一个学生的社会协作能力，养成良好的学习习惯，形成自信以及相互尊重的良好心理品质，有利于学生非智力因素的发展，有利于学生健康人格的形成。从而为创新能力的培养打下良好的心理基础。

3、自主讨论与交流，拓展实验教学。

这是开展数学实验必不可少的环节，也是培养学生合作精神以及创新能力的重要环节。让学生积极主动地参与到数学实验活动中去，对知识的掌握，思维能力的发展，学业成绩的提高以及学习兴趣、态度、意志品质都具有积极的意义。在学生积极参与小组或全班的数学交流和讨论的过程中，通过发言、提问和总结等多种机会培养学生数学思维的条理性，鼓励学生把自己的数学思维活动进行整理，明确表达出来。这是培养学生逻辑思维能力和语言表达能力的一个重要途径。数学交流是现代数学教学中的一个新课题，把实验与交流结合起来凸现了数学知识的形成过程，提倡学生使用计算机（器）可以为学生学习数学提供便捷的实验环节。通过交流合作，拓展原有实验内容，尝试新想法，新途径，以及进一步的数学规律。长此以往，学生将形成良好的创新意识。

4、合理归纳与猜想，深化实验教学。

归纳与猜想这一环节和活动与实验、讨论与交流密不可分，常常相互交融在一起，有时甚至是先提出猜想，再通过实验验证。提出猜想是数学实验过程中的重要环节，是实验的高潮阶段；根据实验观察到的现象进行数据分析，寻找规律，通过合情推理、直觉猜想，得到结论是数学实验的教学目标实现程度的体现，是实验能否成功的关键环节。 归纳与猜想是科学实验方法的重要步骤，多少创造性的点子来源于此，从小培养孩子们正确的研究方法，让孩子们意识到创新是人类的本能，是与生俱来的。

5、及时验证与数学化，完善数学实验教学。

提出猜想得出结论，并不代表实验结束，还需要验证，通常有实验法、演绎法和反例法。提出猜想是科学发现的一个重要步骤，目前开展自主性学习，培养学生的创新意识，开发学生的创新潜能，需要猜想。但数学不能仅靠猜想来行事，验证猜想是科学精神、思想以及方法不可或缺的关键程序，是对数学实验成功与否的“鉴定”。教师有必要引导学生证明猜想或举反例否定猜想，让学生明白，数学中只有经过理论证明而得出的结论才是可信的。

六、关于开展数学实验教学的几点思考

1、教育观念的更新是关键

在日常教学中，许多教师已开始运用数学实验，但在运用的内容、形式、方法上存在着一些区别，在教学效果上也有不同。笔者认为，其差别来自于教师的教育、教学观念和对现代教育技术的认识。

⑴数学需要进行实验——关于数学的观念。数学具有两重性，数学教学既要重视数学内容的形式化，更要重视数学创造过程的经验化。而数学的经验与数学的实验是分不开的，在数学实验中，往往通过观察、比较、分类、类比、归纳、处理数据、发现规律。只有具备了全面的数学观，才能在备课的过程中，自觉地抓住一些“发现”和“实验”的典型内容，设计出数学实验的教学过程，而不是把结论直接交给学生，或是仅把实验作为验证结论的工具。

⑵重视学生的主体参与——关于教育观念。学生掌握知识的过程是学生个体的认知结构的建构过程。其中活动是第一位的。对处于认识发展阶段的学生来说，这种活动开始表现为外部活动，由于主体的智力参与，使外部活动过程内化为主体的心理过程，产生个人的体验。同时，活动必须是学生主动和积极进行的，学生主体参与的程度是教学成败的重要标志。因此，教师应由知识的传授者改变成为教学的指导者和组织者，使学生充分运用数学实验深层次地参与教学过程，而不仅是让学生简单地观摩教师表演性地使用。

⑶数学创新教育的思路——关于教学观念。创新教育的基本思路是把初中数学教学过程设计成让学生再发现、再创造的过程。离开创造过程谈创新教育就是无源之水、无本之木，因此运用数学实验主要应体现在让学生发现、探究和创造，引导学生对再创造过程的深层次参与。

⑷计算机不只是“教”的辅助工具——关于技术观念。随着科学技术的迅速发展，现代高新技术越来越表现为一种数学技术。要让学生适应时代的要求，就要把计算机为核心的现代技术与数学学科内容整合在一起，让学生在教师的指导下，相对独立地去进行再发现与再创造。因此，不能把计算机等作为一般教具，而要发挥其优势，将它由“教”具向“学”具的功能转化，由教学的辅助手段向掌握数学技术转化，由学习知识向全面提高学生的素质转化，由单一的教法改革向课程、教材、教法、评价的整体改革转化。

2、教育过程的改进是重点

当前教学中，许多教师仍使用单一讲授的教学模式，“教师讲，学生听”，缺少学生自主探究、合作讨论等环节，妨碍了能力的培养。在数学实验教学中要特别注意不能“穿新鞋、走老路”，应把教学模式的改革作为研究的重点。众所周知，数学教育不存在一种固定的教学模式，它本身是一个开放和创新的过程，但在教学过程中依据教学思想和教学规律常会形成一些比较固定的教学程序及其方法的策略体系，我们也可称之为模式。在数学实验教学中，主要思考了以下几种模式：

⑴发现模式。它要求学生在教师的引导下，利用材料，主动探究、发现。程序为：创设情景→分析探究→猜想假设→论证评价。这种教学模式在教学中主要适用于概念、法则、公式、定理、例题等知识形成过程的教学，体现学生参与发现过程的主体地位，注重了发现策略和方法的培养。

⑵应用模式。数学知识的应用是培养数学能力的途径与目标，应用模式的一般程序为：实际问题→数学建模→模型求解→实际问题解决。TI 与CBL （OR CBR）的配合可方便、迅速地收集现实世界的有关数据，便于学生进行形象直观的分析处理，从而得出实验结论。

⑶结构模式。数学具有系统性的特征，数学的定义、公理、定理、法则、公式等具有系统的逻辑结构，结构模式就是利用这个特征，进行整体结构教学。经常的，在一个问题初步解决以后，引导学生发散思维，在数学实验的开放环境中，变化条件、变化结论、寻求一题多解，一题多变，发现新的结论或共同规律。结构模式的教学程序为：整体结构→部分研究→形成系统→整体结构。

在实施以上基本教学模式时，可以引导学生之间、师生之间开展讨论，把课堂实验与课外实验结合起来，在教学形式上做出新的探索。教学模式反应了教学的基本规律，但不应当成为教学的框框，我们要注意多种教学模式的灵活和综合应用，从整体上优化教学过程。

3、现代教育技术是基础

要开展数学实验教学首先要求教师掌握电脑技术、图形计算机技术。对教师的技术培训就成为了一个重要的基础性工作。

教师要能顺利地开展数学实验教学，应该能熟练地掌握“几何画板”，能运用张景中院士开发的“Z ＋Z 智能教育平台”，熟练运用TI-CBL （CBR ）系统。最好能掌握一门计算机语言。

在教师培训上，应该采用两个措施，一是教师培训教师，二是把内容讲授与相互研讨结合起来。教师培训教师，有共同语言，结合教学实践，易见实效。在培训过程中开展研讨活动，加强相互交流，让广大教师在一个开放的环境中学习，有利于观念的更新和技术的进步。

4、与课程整合是方向

我们生活在高科技时代，高科技改变了人们的思维方式和观念，也改变了数学知识的结构。过去人们认为重要的知识，今天可能已经不太重要，而原来人们认为不重要的知识，现在则可以变得十分重要。除了内容的变化，知识呈现的顺序也会变化。随着技术的发展，数学课程的变革是不可避免的。数学实验恰处在以计算机技术为核心的现代教育技术与数学教材的交集部位，数学实验教学与课程的整合是数学教育的发展方向。

5、学校支持是成功的保障

数学实验教学要得以顺利展开，各级领导的重视与支持是必不可少的。要开展实验，教师必须要有电脑等实验器材，必须购买相关软件，必须有适当的实验场地，必须有一定数量的实验班级与相应的课时安排。此外，由于数学实验教学对教师有很高的要求，相关教师应该拥有相应的学习机会与时间保障。由于一线骨干教师现有的教学任务已十分繁重，要对他们进行培训，让他们进行研究，就必须建立起合理的激励机制。只有这样，教科研才不会流于形式，才可以扎扎实实地为教育服务，为学校教育插上腾飞的翅膀。

七、结束语

让实验走进数学课堂，充分发挥其作用。我们不在乎这种所谓的“实验”是否完全符合一般科学实验的形式的标准，重要的是两者间内在本质的相通，创新思维来自于创新意识，创新意识来源于创新的实践，实践的创新需要实践空间的拓广；数学实验正是数学实践空间拓广的一种重要形式。

我们坚信：每当我们从数学的本质特点和学生的认知特点出发，运用自然器材、数学模型、CAI 等多种工具和载体，通过数学实验这种教与学的方式，去致力于影响学生数学认知结构的意义建构，去帮助学生本质地理解数学，培养数学精神和发现、创造的能力时，我们就把握住了数学教育的时代性、科学性，我们就深入到了数学素质教育的核心。伴随着CAI 技术的日新月异，数学实验的教学内容将逐渐增加，实验素材库将不断壮大，实验技术将更为先进与精巧，因而数学实验的教学思想和模式将具有更为广阔的天地、更为重大的作为。

我们的数学实验教学，尚在起步阶段，无论从理论和实践上都还在探索过程之中。希望得到同行指导和帮助。

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