高中数学必修五第一章解三角形

§1.1.1 正弦定理

【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；

2. 掌握正弦定理的证明方法；

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

【重点难点】

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用； 教学难点：正弦定理的探索及证明；

【学习过程】（分3个环节1、知识预习梳理2、学生探究部分、老师精讲部分3、课堂巩固练习部分-这部分以更切合知识点的练习为主，尽量少放综合性的。并且分出层次，咱们统一分2个层次，标记A 的为好点学生做的不标记的为全部都做得） 1、知识预习梳理

试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．

思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 2、学生探究，教师指导提高 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有a c =sin A ，b c =sin B ，又sin C =1=c

c

， 从而在直角三角形ABC 中，a b c

sin A =sin B =

sin C

．

(

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =a sin B =b sin A ，则a b c b a b c sin A =sin B ， 同理可得sin C =sin B ， 从而sin A =sin B =sin C ． 类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即

a b c

sin A =sin B =

sin C

．

试试：

（1）在∆ABC 中，一定成立的等式是（ ）．

A ．a sin A =b sin B B . a cos A =b cos B C . a sin B =b sin A D . a cos B =b cos A （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．

3、课堂巩固练习（5个左右的小题为宜）

1. 在∆ABC 中，若cos A cos B =b

a

，则∆ABC 是（ ）.

A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.

A ．1∶1∶4 B ．1∶1∶2 C ．1∶1

D ．2∶2

3. 在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为（ ）. A. A >B B. A

，a =a +b +c

sin A +sin B +sin C ．

【A 】已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1) ∶2k (k ≠0) ，求实数k 的取值范围为． 【高考链接】如果有与本节课相关的高考试题可以加上1-2个不要多，没有可以不加

1、在∆ABC 中，已知B =45 ，C =60 ，a =12cm ，解三角形．

2、

在∆ABC 中，c =A =45 , a =2, 求b 和B , C ．

【收获、反思】空出位置让学生来做 【课后作业】空出位置，供老师使用时自己留作业，学生来记

1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．

2. 在∆ABC 中，已知A =45 ，B =60 ，a =42cm ，解三角形

§1.1.1 余弦定理

【学习目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

【重点难点】

教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.

教学难点：1. 向量知识在证明余弦定理时的应用, 与向量知识的联系过程; 2. 余弦定理在解三角形时的应用思路;

3. 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用． 【学习过程】 1、知识预习梳理

复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．

复习2：在△ABC 中，已知c =10，A =45︒，C =30︒，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

2、学生探究，教师指导提高

问题：在∆ABC 中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .

∵ AC

=∴ AC ∙AC ， =

B

同理可得： a 2=b 2+c 2-

2b c c o s ，A c 2=a 2+b 2-2a c b o s ．C

新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：

cos A =

b 2+c 2-a 2

2bc

，， 试试：

（1）△ABC

中，a =c =2，B =150 ，求b ．

（2）△ABC 中，a =

2，b =

，c =1，求A ．

3、课堂巩固练习

1. 已知a

c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）.

A.

B.

C.

2

D.

2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A ．60 B ．75 C ．120 D ．150

3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）. A

x B

x ＜5 C ． 2＜x

D

x ＜5

4. 在△ABC 中，| AB |＝3，| AC |＝2， AB 与 AC 的夹角为60°，则| AB － AC |＝________．【A 】

5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足b 2+a 2-c 2=ab ，则∠C 等于【A 】

【高考链接】如果有与本节课相关的高考试题可以加上1-2个不要多，没有可以不加

1. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝13

14

，求最大角的余弦值．

2. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求 AB ⋅ BC

的值.

【收获、反思】空出位置让学生来做

【课后作业】空出位置，供老师使用时自己留作业，学生来记

1、在△ABC

中，已知a =

b =，B =45 ，求A , C 和c ．

2、在△ABC 中，已知三边长a =3，b =

4，c =，求三角形的最大内角

整体格式基本这样有什么自己的想法可以加在以上的项目中不要在增加项目

正弦定理、余弦定理的应用

【学习目标】1、使学生掌握正、余弦定理及其变形；能够灵活运用正、余弦定理解题 2、能初步应用正弦定理、余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题； 3、在运用正弦定理、余弦定理的过程，逐步培养实事求是、扎实严谨的科学态度。教学重点难点：正弦定理和余弦定理的应用。

突破难点的方法：转化法、鼓励和引导法。

【学习过程】 1、知识预习梳理

① a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ②sin A =a 2R ，sin B =b c

2R ，sin C =2R

③

a b c sin A =sin B =sin C =a +b +c sin A +sin B +sin C

=2R ④a :b :c =sin A :sin B :sin C

⑤sin 2

A =sin 2

B +sin 2

C -2sin B sin C cos A sin 2

B =sin 2

C +sin 2

A -2sin C sin A cos B sin 2

C =sin 2

A +sin 2

B -2sin A sin B cos C

(sin(B +C C ) =sin A ,cos(B +C ) =-cos A ,

4)三角形中的基本关系式：sin B +=cos A 2,cos B +C 2=sin A

22

S 1∆ABC =

2ab sin C =12bc sin A =1

（5）面积公式

2

ac sin B

2、学生探究，教师指导提高

探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.

1）A ＝

π6，a ＝25，b ＝

2) A ＝π6，a

b ＝

3) A ＝π

6

，a ＝50，b ＝

3、课堂巩固练习

1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin A 2a +b

sin B =3，则

b

的值=（ ）. A.

13 B. 23 C. 453 D. 3

2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°

3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.

A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定 4. 在△ABC 中，sin A :sinB :sinC ＝4:5:6，则cos B ＝．

5. 已知△ABC 中，b cos C =c cos B ，试判断△ABC 的形状 【高考链接】【A 】1、△ABC 中，A =

π

3

，BC =3，则△ABC 的周长为

A .

B +

ππππ

3) +3 B

. B +6) +3C . 6sin(B +3) +3 D . 6sin(B +6) +3 2、

△ABC 中，a , b , c 分别是三个内角A , B , C 的对边，. 如果a , b , c 成等差数列，∠B =30︒，△ABC 的面积为3

2，那么b =

A . 1+2 B . 1+ C . 2+32

D . 2+

【收获、反思】 【课后作业】

1. 在△

ABC 中，已知sin 2B -sin 2C -sin 2A =A sin C ，则∠B 的大小为

A . 150︒ B . 30︒ C . 120︒ D . 60︒ 2. 已知锐角△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且tan B =

ac

a 2+c 2-b

2

； (1)求∠B ； (2)求函数f (x ) =sin x +2sin B cos x ⎛ ⎝

x ∈⎡⎢⎣0, π⎤2⎥⎫

⎦⎪的最大值 ⎭3、已知△ABC 的面积S =a 2

-(b -c )2

，且b +c =8，求△ABC 面积的最大值

第一章 解三角形（复习）

【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．

【学习过程】

1、知识预习梳理

复习1： 正弦定理和余弦定理 （1）用正弦定理：

①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）． （2）用余弦定理：

①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．

复习2：应用举例

① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．

练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．

2、学生探究，教师指导提高

例1. 在∆ABC 中tan(A +B ) =1，且最长边为1，tan A >tan B ，tan B =1

2

，求角C 的大小及△ABC

最短边的长．

例2. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1 ）？ 北 20 B

例3. 在∆ABC 中，设

tan A tan B =2c -b

b

, 求A 的值．

练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．

C

练2. 在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？

3、课堂巩固练习

1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）.

A ．9 B ．18 C ．9 D ．

2. 在△ABC 中，若c 2=a 2+b 2+ab ，则∠C =（ ）. A ． 60° B ． 90° C ．150° D ．120°

3. 在∆ABC 中，a =80，b =100，A =30°，则B 的解的个数是（ ）. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不确定的

4. 在△ABC

中，a =

b =cos C =1

3

，则S △ABC =_______

5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若a 2=b 2+c 2-2bc sin A ，则A 【课后作业】

1. 已知A 、B 、C 为∆ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若c o s B c o s C s -i n s i B n C =1

2

．

（1）求A ；（2

）若a =b +c =4，求∆ABC 的面积．

2. 在△ABC 中，a , b , c 分别为角A 、B 、C 的对边，a 2-c 2=b 2-8bc

5

，a =3， △ABC 的面积为6， （1）求角A 的正弦值； （2）求边b 、c .