借助方程求解数轴上动点问题

借助方程求解数轴上动点问题

湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬

数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：

1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。

2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a ，向左运动b 个单位后表示的数为a —b ；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b。

3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

例1．已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位？

⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？

⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。

分析：如图1，易求得AB=14，BC=20，

AC=34

⑴设x 秒后，甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位。此时甲表示的数为—24+4x。 ①甲在AB 之间时，甲到A 、B 的距离和为AB=14

甲到C 的距离为10—（—24+4x）=34—4x

依题意，14+（34—4x ）=40，解得x=2

②甲在BC 之间时，甲到B 、C 的距离和为BC=20，甲到A 的距离为4x

依题意，20+4x）=40，解得x=5

即2秒或5秒，甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位。

⑵是一个相向而行的相遇问题。设运动t 秒相遇。

依题意有，4t+6t=34，解得t=3.4

相遇点表示的数为—24+4×3.4=—10.4 （或：10—6×3.4=—10.4）

⑶甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回。而甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，即的位置有两种情况，需分类讨论。

①甲从A 向右运动2秒时返回。设y 秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同。甲表示的数为：—24+4×2—4y ；乙表示的数为：10—6×2—6y

依题意有，—24+4×2—4y=10—6×2—6y ，解得y=7

相遇点表示的数为：—24+4×2—4y=—44 （或：10—6×2—6y=—44）

②甲从A 向右运动5秒时返回。设y 秒后与乙相遇。甲表示的数为：—24+4×5—4y ；乙表示的数为：10—6×5—6y

依题意有，—24+4×5—4y=10—6×5—6y ，解得y=—8（不合题意，舍去）

即甲从A 点向右运动2秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为—44。

点评：分析数轴上点的运动，要结合数轴上的线段关系进行分析。点运动后所表示的数，以起点所表示的数为基准，向右运动加上运动的距离，即终点所表示的数；向左运动减去运动的距离，即终点所表示的数。

例2．如图，已知A 、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为—20，B 点对应的数为100。

⑴求AB 中点M 对应的数；

⑵现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数；

⑶若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数。

分析：⑴设AB 中点M 对应的数为x ，由BM=MA

所以x —（—20）=100—x ，解得 x=40 即AB 中点M 对应的数为40

⑵易知数轴上两点AB 距离，AB=140，设PQ 相向而行t 秒在C 点相遇，

依题意有，4t+6t=120，解得t=12

（或由P 、Q 运动到C 所表示的数相同，得—20+4t=100—6t ，t=12）

相遇C 点表示的数为：—20+4t=28（或100—6t=28）

⑶设运动y 秒，P 、Q 在D 点相遇，则此时P 表示的数为100—6y ，Q 表示的数为—20—4y 。P 、Q 为同向而行的追及问题。

依题意有，6y —4y=120，解得y=60

（或由P 、Q 运动到C 所表示的数相同，得—20—4y=100—6y ，y=60）

D 点表示的数为：—20—4y=—260 （或100—6y=—260）

点评：熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。⑵是一个相向而行的相遇问题；⑶是一个同向而行的追及问题。在⑵、⑶中求出相遇或追及的时间是基础。

例3．已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为—1，3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x 。

⑴若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数；

⑵数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值。若不存在，请说明理由？

⑶当点P 以每分钟一个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点B 一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点

A 、点B 的距离相等？

分析：⑴如图，若点P 到点A 、点B 的距离相等，P 为AB 的中点，BP=PA。

依题意，3—x=x—（—1），解得x=1

⑵由AB=4，若存在点P 到点A 、点B 的距离之和为5，P 不可能在线段AB 上，只能在A 点左侧，或B 点右侧。

①P 在点A 左侧，PA=—1—x ，PB=3—x

依题意，（—1—x ）+（3—x ）=5，解得 x=—1.5

②P 在点B 右侧，PA=x—（—1）=x+1，PB=x—3

依题意，（x+1）+（x —3）=5，解得 x=3.5

⑶点P 、点A 、点B 同时向左运动，点B 的运动速度最快，点P 的运动速度最慢。故P 点总位于A 点右侧，B 可能追上并超过A 。P 到A 、B 的距离相等，应分两种情况讨论。

设运动t 分钟，此时P 对应的数为—t ，B 对应的数为3—20t ，A 对应的数为—1—5t 。 ①B 未追上A 时，PA=PA，则P 为AB 中点。B 在P 的右侧，A 在P 的左侧。

PA=—t —（—1—5t ）=1+4t，PB=3—20t —（—t ）=3—19t

依题意有，1+4t=3—19t ，解得 t=

②B 追上A 时，A 、B 重合，此时PA=PB。A 、B 表示同一个数。

依题意有，—1—5t=3—20t ，解得 t= 即运动 或分钟时，P 到A 、B 的距离相等。

点评：⑶中先找出运动过程中P 、A 、B 在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。

例4．点A 1、A 2、A 3、……A n （n 为正整数）都在数轴上，点A 1在原点O 的左边，且A 1O=1，点A 2在点A 1的右边，且A 2A 1=2，点A 3在点A 2的左边，且A 3A 2=3，点A 4在点A 3的右边，且A 4A 3=4，……，依照上述规律点A 2008、A 2009所表示的数分别为（ ）。

A ．2008，—2009 B ．—2008，2009 C．1004，—1005 D．1004，—1004

分析：如图，

点A 1表示的数为—1；

点A 2表示的数为—1+2=1；

点A 3表示的数为—1+2—3=—2；

点A 4表示的数为—1+2—3+4=2 ……

点A 2008表示的数为—1+2—3+4—……—2007+2008=1004

点A 2009表示的数为—1+2—3+4—……—2007+2008—2009=1005

点评：数轴上一个点表示的数为a ，向左运动b 个单位后表示的数为a —b ；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b。运用这一特征探究变化规律时，要注意在循环往返运动过程中的方向变化。

练习题：

1．已知数轴上A 、B 两点对应数分别为—2，4，P 为数轴上一动点，对应数为x 。 ⑴若P 为线段AB 的三等分点，求P 点对应的数。

⑵数轴上是否存在P 点，使P 点到A 、B 距离和为10？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由。

⑶若点A 、点B 和P 点（P 点在原点）同时向左运动。它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时P 为AB 的中点？

（参考答案：⑴0或2；⑵—4或6；⑶2）

2．电子跳蚤落在数轴上的某点K 0，第一步从K0向左跳一个单位到K 1，第二步由K 1向右跳2个单位到K 2，第三步由K 2向左跳3个单位到K 3，第四步由K 3向右跳4个单位到K 4……按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的K 100所表示的数恰是19.94。试求电子跳蚤的初始位置K 0点表示的数。

（提示：设K 0点表示的数为x ，用含x 的式子表示出K 100所表示的数，建立方程，求得x=—30.06）