考研数学高数习题-偏导数的计算

一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-偏导数的计算知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。

模块十三 偏导数的计算

1、 计算下列各函数的一阶偏导数与全微分 （1）z =arctan

⎛

⎝y ⎫xy

⎪ （2）z =ln (sin e +cos(x +y ) ) x ⎭

（3）z =tan (ln(x -y ) )arcsin(x +y )

2

2

¶2z

2、已知z (x , y ) =ln (x +y ) sin x y , 求2

¶x

3、 假设z =f (x , y )由方程

(0,1)

=

∂z ∂z , . ∂x ∂y

⎰

z +xy

e dt =tan(xz ) ，求

-t 2

4、 假设z =f (x , y )由方程z 3-sin x cos y +e z =x 2y 2，求dz .

∂z ∂z y

5、 设z =xyf (), f (u ) 可导，求x +y 。

x ∂x ∂y

6、 计算下列偏导数 （1）设z =e

arctan

y x

∂2z ，求；

∂x ∂y

∂2z ∂2z

（2）设z =e lnsin (x +y )，求2与2；

∂x ∂y

xy

（3）设z =(x +y )

2

∂2z

+cos (x +y +arcsin y )，求.

∂x ∂y

22抖z z

7. 设函数z (x , y ) =ln

证明：2+=0. 2

抖x y

8. 设函数u (x , y , z ) =

22

抖u u ? 2u

证明：2+2+2=0.

抖x y ? z 9、 设u =f (x , y , z ) ，y , z 都是x 的函数，满足y =tan x ，ϕ(x 2,ln y , z ) =0，且求

∂ϕ

≠0，∂z

du . dx

2

2

x , y ) 是由方程x +y -z =ϕ(x +y +z )所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数10、设z =z (

且ϕ'≠-1时，求dz .

11、设函数z =f (u )，方程u =ϕ(u )+

'

⎰p (t )dt ，其中u 是x , y 的函数，f (u ), ϕ(u )可

y

x

微，p (t ), ϕ(t )连续，且ϕ(u )≠1. 求p (y )

'

∂z ∂z

+p (x ). ∂x ∂y

12、设f (u , v ) 是二元可微函数，z =f

⎛y x ⎫∂z ∂z , ⎪，则x -y = ___

∂x ∂y ⎝x y ⎭

∂2z

13、设z =f (2x -y , y sin x )，其中f (u , v ) 具有连续的二阶偏导数，求.

∂x ∂y

∂2z ∂2z

14、设z =f (x +y , 2xy )，其中f (u , v ) 具有连续的二阶偏导数，求2, .

∂x ∂x ∂y

2

2

参考答案

1、（1）

抖z y z x

=-2, = ? x x y 2? y x 2y 2

-ydx +xdy

. 22

x +y

dz =

xy xy xy xy

抖z ye cos e -sin (x +y ) z xe cos e -sin (x +y ) =, =（2） xy xy ? x sin e cos (x +y ) ? y sin e cos (x +y )

cos e xy ⋅e xy y -sin(x +y ) cos e xy ⋅e xy x -sin(x +y ) dz =

dx +dy xy xy

sin e +cos(x +y ) sin e +cos(x +y ) .

2

¶z sec (ln (x -y ) ) arcsin (x +y ) tan ln (x -

y )

=+

? x x y （3）

sec (ln (x -y ) ) arcsin (x +y ) tan ln (x -y ) ¶z

=-+

? y x y 2

sec 2(ln(x -y ) )arcsin(x +y ) tan ln(x -y ) dz =dx +dy ) (dx -dy )+x -y 2、0 3、

.

∂z z sec (xz ) -ye ∂z -xe ==；. 22

∂x e -(z +xy )-x sec 2(xz ) ∂y e -(z +xy )-x sec 2(xz )

2

-(z +xy )

2

-(z +xy )

2

2xy 2+cos x cos y 2x 2y -sin x sin y 4、dz =dx +dy . 2z 2z

3z +e 3z +e

5、2z 6、（1）e

arctan

y x

y 2-x 2-xy

(x

2

+y

22

)

∂2z

（2）2=y 2e xy ln sin (x +y )+2ye xy cot(x +y ) -e xy csc 2(x +y )

∂x

∂2z

=x 2e xy ln sin (x +y )+2xe xy cot(x +y ) -e xy csc 2(x +y ) 2∂y

⎛∂2z （3）=2-cos (x +y +arcsin y )⋅ 1+

∂x ∂y ⎝

7. 略 8. 略

⎫. 2x j 1ⅱ+j 2

du 2

=f 1ⅱ+f 2sec x -f 39、dx j 3¢

sec 2x

2x -ϕ' (x +y +z )2y -ϕ' (x +y +z )

dx +' dy . 10、dz ='

ϕx +y +z +1ϕx +y +z +1

11、0 12、x

⎛y ∂z ∂z x ⎫-y =-2 f 1'-f 2'⎪. ∂x ∂y y ⎭⎝x

''+(2sin x -y cos x )f 12''+y cos x sin xf 22''+cos xf 2' 13、-2f 11

∂2z ∂2z 22

''+8xyf 12''+4y f 22''，''+4(x 2+y 2)f 12''+4xyf 22'' 14、2=2f 1'+4x f 11=2f 2'+4xyf 11

∂x ∂x ∂y

在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。