带有不同余项泰勒公式的应用

毕业论文

题 目 带有不同余项泰勒公式的应用

_

学生姓名 学号

所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学专业2010级数教1班 指导教师

完成地点 陕西理工学院

2014年 5月 9日

带有不同余项泰勒公式的应用

柴书雅

（陕西理工学院数计学院数教101，陕西 汉中 723000）

指导老师：李金龙

【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用. 在现

代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用. 在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及进一步的运用。

【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 应用

1 引言

泰勒公式是数学分析的一个重要内容，在了解泰勒公式后我们主要是能将其应用。首先给出几种不同余项的泰勒公式，然后重点是根据这几种不同泰勒公式求极限、高阶导数、判断敛散性、证明中值定理、证明不等式、求近似值和误差估计、研究函数极值.

2 常见几种Taylor 公式

2.1佩皮亚诺型余项的Taylor 公式【2】

若函数f 在点x 0存在直至n 阶导数，则有f (x ) =T n (x ) +ο((x -x 0) n ) ，即

f " (x 0)

f (x ) =f (x 0) +f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) 2+⋯

2!

'

f (n ) (x 0) +(x -x 0) n +ο((x -x 0) n ) . (2)

n !

其中T n (x ) 是由这些导数构造的一个n 次多项式，

f " (x 0) f (n ) (x 0) 2

T n (x ) =f (x 0) +f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) +⋯+(x -x 0) n （3）

2! n !

'

f (k ) (x 0)

(k =1,2, ⋯, n ) 称为Taylor 系称为函数f 在点x 0处的Taylor 多项式，T n (x ) 的各项系数

k !

数. 从上易知f (x ) 与其Taylor 多项式T n (x ) 在点x 0有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即

f (k ) (x 0) =T n (k ) (x 0) ，k =1,2, ⋯, n . （4）

2.2 其次是带有拉格朗日型余项的Taylor 公式【2】

若函数f 在[a , b ]上存在直至n 阶的连续导函数，在(a , b ) 内存在(n +1) 阶导函数，则对任意给定的x ，x 0∈[a , b ]，至少存在一点ξ∈(a , b ) ，使得

f " (x 0)

f (x ) =f (x 0) +f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) 2+⋯

2!

'

f (n ) (x 0) f (n +1) (x 0) n +(x -x 0) +(x -x 0) n +1 （1）

n ! (n +1)!

2.3 柯西型Taylor 公式【2】

若函数f 在[a , b ]上存在直至n 阶的连续导函数，在(a , b ) 内存在(n +1) 阶导函数，则对任意给定的x ，x 0∈[a , b ]，使得

f " (x 0) f (n ) (x 0) 2

f (x ) =f (x 0) +f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) +⋯+(x -x 0) n +R n (x ) （5）

2! n !

'

其中 R n (x ) =

1(n +1)

f (x 0+θ(x -x 0))(1-θ) n (x -x 0) (n +1) n !

2.4积分型Taylor 公式【2】

如果函数f (x ) 在含有x 0的某个开区间(a , b ) 内具有直到(n +1) 的导数, 则当x 在(a , b ) 内时,

f (x ) 可表示为(x -x 0) 的一个n 次多项式与一个余项R n (x ) 之和:

f " (x 0) f (n ) (x 0) 2

f (x ) =f (x 0) +f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) +⋯+(x -x 0) n +R n (x )

2! n !

'

其中 R n (x ) =

⎰⎰

x o

x

x 1

x o

⋯⎰f (n +1) (x n +1) dx n +1⋯dx 2dx 1

x 0

x n

3 Taylor 公式的应用：

3.1 求极限[1]

例1 求极限lim(

x →0

11

-) sin 2x x 2

11x 2-sin 2x

解：lim(2-2) =lim 2

x →0sin x x →0x sin 2x x

又sin x =

2

1-cos 2x

，将cos 2x 用Taylor 公式展开 2

4x 216x 4

++ο(x 4) Cos 2x =1-2! 4!

x 4

+ο(x 4) 22

x -sin x 1则lim(2 ) =lim =x →0x →0x sin 2x x 43

小结：本题用洛必达法则求解比较复杂，在这里我选用的是带有佩亚诺型的泰勒公式进行求解。

3.2 求高阶导数[3]

例2 设y =arc cot x ，求y (n ) (0).

分析：这道题若直接求高阶导数比较困难，因此我们考虑在x =0处的麦克劳林展开式.

解：y ' =(arc cot x ) ' =-

1

2

1+x

=-(1-x 2+x 4-x +6 +-(n x 1n ) +2 x

1111

y =-[x -x 3+x 5-x 7+ +(-1) n n x 2n +1+ ]

3572+11111

x 2n +1 x

3572+1

又f (x ) 在x =0处的麦克劳林展开式为

y =f (x ) =∑

n =0

∞

f (n ) (0)n

x （11） n !

n

比较（10）（11）中x 的系数可得，

f

(2k )

(0)=0，f

(2k +1)

(-1) k +1

(0)=(2k +1)! =(-1) k +1(2k )!

2k +1

f (k ) (x 0)

(k =1,2, ) 则可得 由Taylor 展开的唯一性，并有Taylor 公式的各项系数a k =

k !

到高阶导数f (k ) (x 0) ，即f (k ) (x 0) =k ! a k (k =1,2, ) .

小结：在高阶倒数的求解中能更加直接的借助Taylor 公式的特殊形式更快更直接的对其进行展开，再对展开的各项进行最基本的导数求解使计算更加的简洁方便.

3.3 判断敛散性

例3

[4]

1n p

[e -ln[1+]]，p >0的敛散性. 讨论级数∑n n =1

1n

n

∞

解：e -ln[1+]=e -exp[n ln[1+]]

1n

111

+ο()]]

n 2n 2n 211

=e [1-exp[-+ο()]]

2n 11e

=e [1-[1-+ο()]] ，n →∞

2n 2n

=e -exp[n [-于是当p >1时，级数

1

x

1n p

[e -ln[1+]]收敛，当0

∞

例5 讨论无穷积分

1

x

⎰

+∞

a

1

(e --1) dx 的敛散性.

x

解：f (x ) =e -

111111-1=1++⋅2+ο(2) --1 x x 2x x x

=

111⋅2+ο(2) 2x x

111

⋅2+ο(2)

f (x ) 11=1=lim 选取p =2，因为lim ，而p =2>1， p x →∞x →∞x 2x x

2x

由无穷积分的敛散性判别定理知

⎰

+∞

a

1

(e --1) dx 收敛.

x

1x

对于Taylor 公式在判断数学积分问题中收敛性起到的作用通过以上例子有了具体的说明. 数学中的敛散性根据不同的积分形式有不同的方法判断，而Taylor 公式在很多的积分都有其运用其主要原因就是其能使得式子在经过展开后变成简单的式子更加直观方便的计算.

3.4 证明中值定理[5]

例6 设函数f (x ) 在[a , b ]上三阶可导. 证明存在一点c ∈(a , b ) ，使得

a +b 1'''

f (b ) =f (a ) +(b -a ) f () -f (c ) （1）

212

'

证明：设存在一个常数k ，使得f (b ) -f (a ) -(b -a ) f (

'

a +b 1

) +k (b -a ) 3=0（2） 212

这时，我们的问题归为证明：∃c ∈(a , b ) ，使得k 令g (x ) =f (x ) -f (a ) -(x -a ) f (

'

=f ''' (c ) （3）

a +x 1

) -k (x -a ) 3 （4） 212

则 g (a ) =g (b ) =0.

根据Rolle 定理可知，至少存在一点ξ∈(a , b ) ，使得g (ξ) =0. 即

'

a +ξ1a +ξ1

) -(ξ-a ) f " () -k (x -a ) 2=0 （5） 2224

a +ξ

这是关于k 的方程，注意到f ' (ξ) 在点处的泰勒公式：

2

a +ξξ-a " a +ξ1ξ-a 2

f ' (ξ) =f ' () +f () +f ''' (c )() （6）

22222f ' (ξ) -f ' (

其中c ∈(a , b ) . 比较（5）（6）可得到（3）式. 即得证

小结：本题是对带有拉格朗日型余项的泰勒公式的应用，其中还应用到了中值定理。

3.5 利用Taylor 证明不等式

3.5.1证明积分不等式[6]

例8、设f (x ) 是[0,a ]上的连续正值函数，且f " (x ) ≥0，a >0，证：证明：将f (x ) 在x =

⎰

a

a

f (x ) dx ≥af () .

2

a

点展开为一阶Taylor 展式 2

a a f " (ξ) ' a f (x ) =f () +f ()(x -) +(x -a ) 2 2222!

≥f () +f ()(x -) (ξ∈(x , ))

⎰

a

a a

22

a a a a

f (x ) dx ≥⎰[f () +f ' ()(x -)]dx

0222

'

a 2a 2

=af () +[

a 2

a 1' a a a

f ()(x -)]=af () .

22220

小结：本题是利用了积分型泰勒公式, 重点是将其放缩.

3.5.2 证明导数不等式[7]

例9、设函数f (x ) 在[0,1]上二次可微，且f (0)=f (1)=0，min f (x ) =-1，试证存在一点

0≤x ≤1

ξ∈(0,1)使f " (ξ) ≥8.

分析：函数f (x ) 在[0,1]上二次可微，且最小值-1≠0，所以在(0,1)内一定存在极值点，该点的导数为0，题中可知f (x ) 二次可微，我们可以想到Taylor 展式，并且是在最小值点x 0处展开.

解：不妨设在x 0∈(0,1)为f (x ) 在[0,1]上的最小值点，则f (x 0) =-1，f ' (x 0) =0，

f (x ) 在x 0处的Taylor 展开得：

f " (ξ)

f (x ) =f (x 0) +f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) 2

2!

'

f " (ξ)

(x -x 0) 2，ξ是介于x 与x 0之间的某个数， =-1+0+2! f " (ξ) 22

x 0=0，即f " (ξ1) =2 当x =0时，f (0)=-1+2! x 0

f " (ξ) 2(1-x 0) 2=0，即f " (ξ2) =当x =1时，f (1)=-1+. 2! (1-x 0) 2

"

所以，当x 0∈(0,) 时，f (ξ1) =

12

2

≥8 x 02

2

≥8. 2

(1-x 0)

"

"

当x 0∈(,1) 时，f (ξ2) =

12

终上所述，存在一点ξ∈(0,1)使f (ξ) ≥8. 小结：利用Taylor 公式证明函数不等式步骤：

(1)、构造一个函数f (x ) ，选一个展开点x 0，然后写出f (x ) 在x 0处的带有拉格朗日余项的

Taylor 公式；那么我们该选择哪个点处展开呢？函数在一个区间性质常常可由区间中的一些

特殊点来反映，如端点、分点、零点、极值点、最值点、拐点等. 此外，区间中的任意点也是分析函数性质不可或缺的点，运用Taylor 时，就是将这些点中导数信息相对较充分的点选作展开中心.

（2）根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或三角形不等式对ξ∈(a , b ) 进行放缩.

3.6 求近似值误差估计[8]

例10、计算e 的值，使其误差不超过10-6. 解：由公式得

111e 0

(0

2! 3! n ! (n +1)!

e 03

故R n (1)=，当n =9时，便有

(n +1)! (n +1)!

R 9(1)

33=

略去R 9(1)求得e 的近似解为

e ≈1+1+

111

++ +≈2.718285 2! 3! 9!

3.7 研究函数的极值[9]

例11、 求函数f(x,y)=x4+y4-x2-2xy-y2的极值． 解 fx(x,y)=4x3-2x-2y=0，fy(x,y)=4y3-2x-2y=0， 得驻点（1，1），（-1，-1），（0，0）. 判断：求二阶偏导

fxx(x,y)=12x2-2, fxy(x,y)=-2, fyy(x,y)=12y2-2，

在点（1，1）处，

A=fxx(1,1)=10, B=fxy(1,1)=-2，C=fyy(1,1)=10． 因B2—AC0， 故f(1,1)= -2为极小值． 类似可得f(-1,-1)= -2为极小值． 在点（0，0）处，A=B=C= -2，B2-AC=0， 此时应用极值定义判断f(0,0)=0是否为极值． 对足够小的正数ε，有

f(ε，0)=ε2（ε2-1）0

这说明在点（0，0）的任一邻域内，既有函数值大于 f(0,0)的点，又有函数值小于f(0，0) 的点，故 f(0，0) 非极值.

【参考文献】

[1] 刘玉琏傅沛仁编. 《数学分析讲义》（第四版）P233-P234. 高等教育出版社，2003年6月. [2] 华东师范数学系编著. 《数学分析（下册）》（第四版）P137. 高等教育出版社，2010年7月. [3] 周运明 尚德生主编. 《数学分析（上册）》（第一版）. 科学出版社，2008年9月. [4] 常庚哲，史济怀编. 《数学分析教程（上册）》（第一版）. 高等教育出版社，2003年5月.

[5] B.A.卓里奇著, 王昆扬，周美珂等译. 《数学分析（第一卷）》(第四版). 高等教育出版社，2006年6月. [6] 胡格吉乐吐. 对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用[J].内蒙古科技与经济，2009，12(24). [7] 齐成辉. 泰勒公式的应用[J].陕西师范大学学报，2003，31(z1).

[8] 严振祥，沈家骅. 泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用[J].重庆交通大学学报，2007，26(4). [9] 刘瑜，陈美燕，于超，冯涛. 泰勒公式在n 阶行列式计算中的应用[J].内江师范学院学报，2008，23(z1).

More than with different applications of

Taylor's Formula

Shuya Chai

（Grade10,Class1,Major In mathematics and applied mathematics,Institute of mathematics and computer

science ，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi ）”

Tutor: JinlongLi

Abstract: Well known in mathematical formula is the classical mathematical problems, their application is very

extensive in math, chemical and physical. Taylor formula has an important position in modern mathematics. It has a big role in to calculate the limit, divergence sexual judgement, an inequation, median problem and approximation calculation. In this article, I will talk about several types of the formula and its further application.

Key : words: Taylor's Formula ;peano type ; lagrange type ;application