极限与连续题

一、内容要点第二节、函数、极限与连续一、内容要点 二、典型例题 典型例题 三、作业1 求极限的一般方法 1) 利用极限定义; 2) 利用极限的四则运算及复合运算法则; 3) 利用无穷小的运算法则; 4) 利用无穷大与无穷小的关系; li f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + 无穷小; 5) 利用 lim 7) 利用夹逼准则; 6) 利用两个重要极限; 8) 利用单调有界定理及解方程; 10) 利用柯西准则; 9) 利用等价无穷小替换; 12) 利用递推公式; 11) 利用函数的连续性;第二节、函数、极限与连续213) 利用合并或分项, 因式分解, 约分, 变量代换, 取 对数等技巧; x + x + " + xn 14) 利用 lim xn = A ⇒ lim 1 2 = A. n→∞ n→∞ n 15) 利用函数极限与数列极限的关系, 即若 lim f ( x) = A, lim x = x0( xn ≠ x0 ) ⇒ lim f ( xn ) = A; x→ x n→∞ n n→∞02. 常用的不等式 1) 设 x1, x2 , " , xn 是n个正数, 则有 x + x2 + " + xn n x x "x ≤ 1 1 2 n n几何平均值x = lim x = A ⇔ lim x = A. 16) 利用 lim n→∞ 2n n→∞ 2n −1 n→∞ n 17) 19) 20) 21) 18) 利用导数定义; 利用罗必达法则; 利用微分中值定理与Taylor公式; 利用定积分定义、定积分性质； 利用收敛级数的性质.3lim f ( x) = A, lim x = ∞ ⇒ lim f ( xn ) = A. x →∞ n→∞ n n→∞2) 柯西-施瓦茨不等式设 ai , bi (i = 1, 2, " , n) 均为实数, 则⎛ n ⎞ ⎛ n 2⎞ ⎛ n 2⎞ ⎜ ∑ ai bi ⎟ ≤ ⎜ ∑ ai ⎟ ⋅ ⎜ ∑ bi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠2算术平均值第二节、函数、极限与连续第二节、函数、极限与连续43. 关于等价无穷小当 x → 0 时,1) 常用等价无穷小4. 重要结论～ ～～ ～～ ～～n lim a = 1 (a > 0); n→∞ n lim n =1 . n→∞二、典型例题上述等价无穷小中的x 可用非零的无穷小代替.2) 在自变量的某趋向下, 若 α ~ α ′ , β ~ β ′, 则 α α′ α f , lim αf = lim α′f . 当 lim ≠ 1 时, lim f = lim β β′ β lim(α − β) f = lim(α′ − β′) f .第二节、函数、极限与连续5第二节、函数、极限与连续61

1 1 例1 设 x1 = 2, x2 = 2 + x ," , xn+1 = 2 + x ," , 1 n 求证: lim xn 存在, 并求其值. n→∞ 解法1例1 设 x1 = 2, x2 = 2 + 1 ,", xn+1 = 2 + 1 ," , x1 xn 求证: lim xn 存在, 并求其值.n→∞解法2第二节、函数、极限与连续7第二节、函数、极限与连续8例1 设x1 = 2, x2 = 2 + 1 ," , xn+1 = 2 + 1 ," , x1 xn 求证: lim xn 存在, 并求其值.n→∞解法3例1 设 x1 = 2, x2 = 2 + 1 ," , xn+1 = 2 + 1 ," , x1 xn 求证: lim xn 存在, 并求其值.n→∞第二节、函数、极限与连续9第二节、函数、极限与连续10a = a, 证明: lim 例2 设 lim n→∞ n n→∞又问: 它的逆命题是否成立?a1 + a2 + " + an = a. n例1. 设 x1 = 2, x2 = 2 + 1 ,", xn+1 = 2 + 1 ," , x1 xn 求证: lim xn 存在, 并求其值.n→∞第二节、函数、极限与连续11第二节、函数、极限与连续122

a = a, 证明: lim 例2 设 lim n→∞ n n→∞又问: 它的逆命题是否成立?a1 + a2 + " + an = a. n第二节、函数、极限与连续13第二节、函数、极限与连续14n a a " a = a. a = a, 证明: lim 例3 设 an > 0, lim 1 2 n n→∞ n n→∞n a a " a = a. a = a, 证明: lim 例3 设 an > 0, lim 1 2 n n→∞ n n→∞第二节、函数、极限与连续第二节、函数、极限与连续16例4 设 an > 0, lim n→∞an+1 = a, 证明: lim n an = a. n→∞ anx x ⎧ a x + a2x + " + an ⎫ 例5 求 lim ⎨ 1 ⎬ (ai > 0, i = 1,2," , n). x →0 n ⎩ ⎭1第二节、函数、极限与连续17第二节、函数、极限与连续3

x x ⎧ a x + a2x + " + an ⎫ 例5 求lim ⎨ 1 ⎬ ( ai > 0, i = 1,2," , n). x →0 n ⎩ ⎭1解法2x x ⎧ a x + a2x + " + an ⎫ 例5 求 lim ⎨ 1 ⎬ (ai > 0, i = 1,2," , n). x →0 n ⎩ ⎭ 解法31第二节、函数、极限与连续19第二节、函数、极限与连续例6 设函数f (x)在 ( −∞, +∞ ) 内连续, 且 f ( f ( x )) = x , 证明: 在 ( −∞, +∞ ) 内至少存在一点 x0 , 满足 f ( x0 ) = x0 . 证法1例6 设函数f (x)在 ( −∞, +∞ ) 内连续, 且 f ( f ( x )) = x , 证明: 在 ( −∞, +∞ ) 内至少存在一个 x0 , 满足 f ( x0 ) = x0 . 证法2第二节、函数、极限与连续21第二节、函数、极限与连续22例7 设函数f (x)定义在(0, 1)上, 且函数 e x f ( x ) 与函数e− f ( x ) 在(0, 1)上都是单调递增的, 证明: f (x)在(0, 1)上 连续.例7 设函数f (x)在(0, 1)上定义, 且函数 e x f ( x ) 与函数e− f ( x ) 在(0, 1)上都是单调递增的, 证明: f (x)在(0, 1)上 连续.证明第二节、函数、极限与连续23第二节、函数、极限与连续244

例8 设f (x), g(x)为有界闭区间[a, b]上的连续函数, 且 有数列{ xn } ⊂ [a , b], 使得 g ( xn ) = f ( xn+1 ), n = 1, 2," , 证明: 至少存在一点 x0 ∈ [a , b], 使 f ( x0 ) = g ( x0 ).例8 设f (x), g(x)为有界闭区间[a, b]上的连续函数, 且 有数列{ xn } ⊂ [a , b], 使得 g ( xn ) = f ( xn+1 ), n = 1,2," , 证明: 至少存在一点 x0 ∈ [a , b], 使 f ( x0 ) = g ( x0 ). 证法1第二节、函数、极限与连续25第二节、函数、极限与连续26例8 设f (x), g(x)为有界闭区间[a, b]上的连续函数, 且 有数列{ xn } ⊂ [a , b], 使得 g ( xn ) = f ( xn+1 ), n = 1,2," , 证明: 至少存在一点 x0 ∈ [a , b], 使 f ( x0 ) = g ( x0 ).例9 设a1 = 1, a2 = 2, 当 n ≥ 3 时, an = an−1 + an−2 , 证明: (1) 3 an−1 ≤ an ≤ 2an−1 ; (2) lim 1 = 0. n→∞ a 2 n 证明{ f ( xn )}单增. { g( xn )}单增.第二节、函数、极限与连续27第二节、函数、极限与连续28例10 设f (x)在[0, 1]上连续, 且f (0) = f (1), 证明: 存在 x0 ∈ [0,1], 使得 f ( x0 ) = f x0 + 1 . 4()例10 设f (x)在[0, 1]上连续, 且f (0) = f (1), 证明: 存在 x0 ∈ [0,1], 使得 f ( x0 ) = f x0 + 1 . 4()证明第二节、函数、极限与连续29第二节、函数、极限与连续5

例11 设f ( x )在闭区间[0,1]上连续, 且f (0) = f (1), 证明:必有一点ξ ∈ [0,1]使得f (ξ + 1 ) = f (ξ ). 2 证法1 (反证法)例11 设f ( x )在闭区间[0,1]上连续, 且f (0) = f (1),证明:必有一点ξ ∈[0,1]使得f (ξ + 1 ) = f (ξ ). 2证法2(零点定理)第二节、函数、极限与连续31第二节、函数、极限与连续32证明:必有一点ξ ∈[0,1]使得f (ξ + 1 ) = f (ξ ). 2例11 设f ( x )在闭区间[0,1]上连续, 且f (0) = f (1),第二节、函数、极限与连续336