2 函数的值域与最值
精品题库试题
理数
1.(2014浙江,6,5分) 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且09 [答案] 1.C
[解析] 1.由得
解得
则有f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6,由0
的定义域为,若
满足下面两个条件,
单调函数;②存在则的取值范围是( )
,使在上值域为. 现已知为闭函数,
A .[答案] 2. A
B . C . D .
[解析] 2. 函数是定义在上的增函数,为常数,
函数在上的增函数,
因此函数得函数
为闭函数,则存在区间
的图象与直线
相交于点
和
,使,
在上的值域为,可
,即方程在上有两个不等的实数根、,
令,则,设函数,
即(,
在在
时,时,
为减函数,则为增函数,则
,
;
当足
时,有两个不等的值使得,
成立,相应地有两个不等的实数根、满
故当为闭函数时,实数的取值范围是.
3.(2013湖南长沙市高三三月模拟,8,5分) 使得函数值域为
的实数对
有( ) 对.
的
A .1 B .2 C .3 D .无数 [答案] 3.B [解析] 3.的值域为
,①若
,要使
不处于一个单调区间上,由于
,
所以. 令,得,解得.
故
. 所以实数对满足题意;②若处于一个单调区间上,
由于不是处于一个单调区间上,所以只有满足的
实数对才满足要求. 由得
,即
,此方程是四次方程,最多有4个实数解,
(i )显然满足(ii )
的实数解一定满足;
由于故. 故4个实数解都求出,没有其他解了. 所以处于同一个
单调区间上的实数对只有满足题意;综上,实数对有
,
共2对.
4. (2013年广东省广州市高三4月综合测试,8,5分)记实数为
,最小数为
( )
,则
,,…,中的最大数
A. B. 1 C. 3
D.
[答案] 4.D [解析] 4. 作出
的图象如下图黑色阴影部分的上边界:
由图象易知当时,. 故选D.
5. (2013重庆,3,5分)(-6≤a≤3) 的最大值为( )
A. 9
B. C. 3
D. [答案] 5.B
[解析] 5.易知函数y=(3-a) (a+6) 的两个零点是3, -6, 对称轴为a=-, y=(3-a) (a+6) 的最大
值为y=
=, 则的最大值为, 选B.
6.(2013课标Ⅱ,12,5分) 已知点A(-1,0), B(1,0), C(0,1), 直线y=ax+b(a> 0) 将△ABC分割为面积相等的两部分, 则b 的取值范围是( )
A. (0,1)
B. [答案] 6.B
C.
D.
[解析] 6.(1) 当直线y=ax+b与AB 、BC 相交时(如图1), 由得y E =, 又易知x D =-,
∴|BD|=1+, 由S △DBE
=
×
×=得b=∈
.
图1
(2) 当直线y=ax+b与AC 、BC 相交时(如图2), 由S △FCG=(xG -x F ) ·|CM|=得
b=1-∈(∵0
图2
∵对于任意的a> 0恒成立,
∴b∈∩, 即b ∈. 故选B.
7. (2014重庆,12,5分) 函数f(x)=log 2·lo (2x)的最小值为________.
[答案] 7.-
[解析] 7.显然
x>0,∴f(x)=log2·lo (2x)=log 2x·log 2(4x2)=log 2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x) 2
=-≥-. 当且仅当x=时, 有f(x)min =-.
8. (2014四川,15,5分) 以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M, 使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如, 当φ1(x)=x3, φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:
①设函数f(x)的定义域为D, 则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D, f(a)=b”; ②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;
③若函数f(x),g(x)的定义域相同, 且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;
④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值, 则f(x)∈B.
其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) [答案] 8.①③④
[解析] 8.依题意可直接判定①正确; 令f(x)=2x (x∈(-∞,1]),显然存在正数2, 使得f(x)的值域(0,2]⊆[-2,2],但f(x)无最小值,②错误; 假设f(x)+g(x)∈B,则存在正数M, 使得当x 在其公共定义域内取值时, 有f(x)+g(x)≤M,则f(x)≤M-g(x),又∵g(x)∈B,则存在正数M 1, 使
g(x)∈[-M 1,M 1],∴-g(x)≤M1, 即M-g(x)≤M+M1,∴f(x)≤M+M1, 与f(x)∈A矛盾,③正确; 当a=0时,
f(x)=∈, 即f(x)∈B,当a≠0时,∵y=aln(x+2)的值域为(-∞,+∞),
而
∈, 此时f(x)无最大值, 故a=0,④正确.
9. (2014河北唐山高三第一次模拟考试,13) 函数的值域为________________.
,
[答案] 9.
[解析
] 9.
, ,,.
10. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 16) 下列说法正确的有(只填序号)
① 函数的图象与直线的交点个数为0或1;
② 设函数, 若当时,总有, 则;
③ 时,函数的值域为;
对称的图象对应的函数为
.
④ 与函数的图象关于点[答案] 10. ①②④
[解析] 10. 函数与直线属于定义域),故①正确;
的交点个数为0个,(此时1不属于定义域)或1个(1
因为二次函数图象的对称轴为
,则
,解得
,开口向上,若当
,故②正确.
时,总有
由时,真数的判别式大于等于0
,即真数可以为任意实数,此时函数
的值域为,故③错误;
根据对称变换法则,与函数故④正确.
综上所述,正确的是①②④.
对称的函数
,
关于点
11.(2013课标Ⅰ, 16,5分) 若函数f(x) =(1-x2) (x2+ax+b) 的图象关于直线x=-2对称, 则f(x) 的最大值为 . [答案] 11.16
[解析] 11.由f(x) =(1-x2) (x2+ax+b) 的图象关于直线x=-2对称, 则有
即
解得a=8, b=15,
∴f(x) =(1-x 2) (x2+8x+15) =(1-x2) [(x+4) 2-1], 令x+2=t, 则x=t-2, t∈R.
∴y=f(t) =[1-(t-2) 2][(t-2) 2+8(t-2) +15] =(4t-t2-3) (4t+t2+3) =16t2-(t2+3) 2 =16t2-t 4-6t 2-9=16-(t2-5) 2, ∴当t 2=5时y max =16.
12. (2014江西红色六校高三第二次联考理数试题,21)已知实数
,函数
.
(1)当时,求的最小值;
(2)当时, 判断的单调性, 并说明理由;
(3)求实数的范围,使得对于区间以
[答案] 12.查看解析
为边长的三角形.
上的任意三个实数,都存在
[解析] 12.易知的定义域为,且为偶函数.
(1)时
,
时最小值为2. ----------------------------------3分
(2)时
,
时,
递增;
时,递减; --------------------5分
为偶函数. 所以只对时,说明递增.
设,所以,得
所以时,
递增; ------------8分
(3),,
从而原问题等价于求实数的范围,使得在区间上,恒有---10分
①当时,在上单调递增,
由得,从而;
②当时,在上单调递减,在上单调递增,
,
由得,从而;
③当时,在上单调递减,在上单调递增,
,
由得,从而;
④当时,在上单调递减,
由得,从而;
综上,. ---------------------------------------14分
13. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 17) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示) ,该扇环面是由以点为圆心的两个同
心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成. 按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米. 设小圆弧所在圆的半径为米,圆心角为(弧度). (Ⅰ)求关于的函数关系式;
(Ⅱ)已知在花坛的边缘(实线部分) 进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米, 弧线部分的装饰费用为9元/米. 设花坛的面积与装饰总费用的比为,求关于的 函数关系式,并求出为何值时,取得最大值?
[答案] 13.查看解析
[解析] 13. 解析 (Ⅰ)设扇环的圆心角为 ,则
,
所以,(4分)
(Ⅱ)花坛的面积为.
装饰总费用为,(9分)
所以花坛的面积与装饰总费用的比,
令答:当
,则,当且仅当t=18时取等号,此时.
时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. (14分)
(注:对也可以通过求导,研究单调性求最值,同样给分)
14. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 18) 已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数在上的最大值和最小值;
(Ⅱ)求函数的定义域,并求函数的值域. (用表示)
[答案] 14.查看解析
[解析] 14. 解析 (Ⅰ)令,显然在
上单调递减,故,
故,即当时,,(在即时取得)
(在即时取得). (6分)
(Ⅱ)由的定义域为,由题易得:,
因为,故的开口向下,且对称轴,于是:
当即时,的值域为(;
当即时,的值域为(. (12分)
15. (2013辽宁省五校协作体高三一月摸底考试,21,12分)若函数
,且
的定义域为
,其中a 、b 为任意正实数,且a
(1)当A=时,研究的单调性(不必证明);
(2)写出的单调区间(不必证明),并求函数的最小值、最大值;
(3)若整数k 不等式
其中k 是正整数,对一切正
都有解,求m 的取值范围.
[答案] 15.(1)当A=时,,
∵,∴,
∴函数在区间上是减函数,在区间是增函数.
(2)函数的单调递减区间是,单调递增区间是.
∴当时,函数取最小值
.
又,
,
∴,
∴函数的最大值是.
(3)由(2)得: 当A=Ik 时,当A= Ik+1时,
的最小值为
;
的最小值为.
∴对一切正整数k 不等式都有解,
设函数,,
∴对恒成立,
∴函数在上是减函数,
∴的最小值是,
∴15.
,即m 的取值范围是.
16. (2013年广东省广州市高三4月综合测试,19,14分)已知
在区间在区间
围.
[答案] 16.解:要使函数
在
,设命题
:函数
上与轴有两个不同的交点;命题
:上有最小值. 若
是真命题,求实数的取值范
上与轴有两个不同的交点,
必须即解得.
所以当点. 下面求
时,函数在上与轴有两个不同的交
在上有最小值时的取值范围:
方法1:因为
①当时,在和上单调递减,在上无最小值;
②当
时,在上有最小值;
③当有最小值
时,
.
在上单调递减,在上单调递增,在上
所以当时,函数在上有最小值.
方法2:因为
因为,所以.
所以函数是单调递减的.
要使数,即所以当
在
,即
上有最小值,必须使
.
在
上有最小值.
在上单调递增或为常
时,函数
若是真命题,则是真命题且是真命题,即是假命题且是真命题.
所以解得或.
故实数的取值范围为.
16.
17.(2013年辽宁省五校协作体高三第二次模拟考试,19,12分) 鑫隆房地产公司用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房. 经测算,如果将楼房建为
层,则每平方米的平均建筑费用为
(单位:元). 为了
使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
)
[答案] 17.设楼房每平方米的平均综合费为元,则
.
方法一:
,
令
得
当
时, ;当
时,,
因此 当时,取最小值.
(方法二:
,当且仅当
时成立,即时,)
.
答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层. 17.
18. (2013年辽宁省五校协作体高三第二次模拟考试,21,12分)已知函数上的偶函数,且当所示,并根据图象
时,
.现已画出函数
是定义在
在轴左侧的图象,如图
(1)写出函数的增区间;
(2)写出函数的解析式;
(3)若函数,求函数的最小值.
[答案] 18.(1)
在区间
,
上单调递增.
(2)设,则.
函数是定义在上的偶函数,且当时,
(3),对称轴方程为:,
当时,为最小;
当时,为最小;
当时,为最小.
综上有:的最小值为
18.
19. (2013年四川成都市高新区高三4月月考,17,12分)一个口袋中有个白球和个红球
且
,每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中),若摸
出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖. (Ⅰ)试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率(Ⅱ)若
,求三次摸球恰有一次中奖的概率;
,当为何值时,
取最大值.
;
(Ⅲ)记三次摸球恰有一次中奖的概率为
[答案] 19.(Ⅰ)一次摸球从种选法;一次摸球中奖的概率
个球中任选两个,有
.
种选法,其中两球颜色相同有
(Ⅱ)若,则一次摸球中奖的概率是
.
,三次摸球是独立重复实验,三次摸球中恰
有一次中奖的概率是
(Ⅲ)设一次摸球中奖的概率是,则三次摸球中恰有一次中奖的概率是
,,
在是增函数,在是减函数,
当时,取最大值
.
.
,故
19.
时,三次摸球中恰有一次中奖的概率最大.