同角三角函数公式的转化
同角三角函数公式的转化
同角三角函数的基本关系式十分重要，主要运用于三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化．在解答时，若能根据函数式的结构特点，适时灵活地选用公式，往往能获得简捷、迅速的解答．
一、“１”的代换
1-sin 6x -cos 6x 3 例１ 证明：=． 1-sin 4x -cos 4x 2
证明：∵sin 2x +cos 2x =1，
∴1=(sin2x +cos 2x ) 3，1=(sin2x +cos 2x ) 2，
1-sin 6x -cos 6x (sin2x +cos 2x ) 3-sin 6x -cos 6x = ∴ 1-sin 4x -cos 4x (sin2x +cos 2x ) 2-sin 4x -cos 4x
3sin 4x ·cos 2x +3cos 4x ·sin 2x 3(sin2x +cos 2x ) 3 ===． 2sin 2x cos 2x 22
评注：本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解．同学们要注意掌握和灵活运用“1”的代换．
二、化切为弦
·(cosθ-sin θ) +sin θ·(tanθ+cot θ) ． 例2 化简：tan θ
解：原式=sin θ⎛sin θcos θ⎫(cosθ-sin θ) +sin θ· +⎪ cos θcos θsin θ⎝⎭
sin 2θsin 2θ=sin θ-++cos θ=sin θ+cos θ cos θcos θ
1-2sin 2x cos2x 1-tan 2x 例３ 求证：． =cos 22x -sin 22x 1+tan 2x
sin 2x
1-tan 2x cos 2x =cos 2x -sin 2x 证明：右边==1+tan 2x cos 2x +sin 2x
cos 2x 1-
(cos2x -sin 2x ) 2
= (cos2x +sin 2x )(cos2x -sin 2x )
cos 22x +sin 22x -2cos x sin x =cos 22x -sin 22x
1-2sin x cos2x ==左边．故原式成立． cos 22x -sin 22x
评注：三角中的化简及三角恒等式的证明问题常常采用“化切为弦”，即利用商数关系把切函数化为弦函数，以达到统一名称之目的．
三、化弦为切
例3 已知tan α=2，求下列各式的值：
sin α-3cos α（1）； sin α+cos α
（2）2sin 2α-sin αcos α+cos 2α．
解：由已知tan α=2．
（1）sin α-3cos αtan α-32-31===-； sin α+cos αtan α+12+13
2sin 2α-sin αcos α+cos 2α2tan 2α-tan α+12⨯22-2+17 （2）原式====． 2222cos α+sin α1+tan α1+25
评注：在解决关于正、余弦的求值问题时，可逆用商数关系式将弦化为切（以减少函数名称）进行运算，从而达到简化运算的目的．
四、正、余弦（正、余切）互化
例4 已知sin θ+sin 2θ=1，求cos 2θ+cos 6θ+cos 8θ的值．
解：∵sin θ=1-sin 2θ=cos 2θ，
∴原式=sin θ+sin 3θ+sin 4θ=sin θ+sin 2θ(sinθ+sin 2θ) =1．
例6 求lg tan1°+lg tan 2°+ +lg tan88°+lg tan89°的值．
解：原式=lg(tan1°tan 2° tan88°tan89°)
=lg[(tan1°·tan89°)(tan2°·tan88°) (tan44°·tan 46°) tan 45°]
=lg[(tan1°·cot1°)(tan2°·cot 2°) (tan44°·cot 44°) tan 45°]
=lg1=0．
评注：以上充分利用倒数关系及平方关系进行正、余弦及正、余切的互化，简化了解题过程．