固体物理基础论文

浅谈固体物理学中的基本理论

——固体物理基础课程小论文

浅谈固体物理学中的基本理论

关键词：固体物理；能带理论；晶体缺陷；晶格振动；红外物理

1. 晶体参数及固体物理中的态函数

1.1晶体参数 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的各种物理性质、力学行为、相变、X 光和电子衍射特性等都和晶面、晶向有密切的关系。为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller ）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。

1.1.1晶向指数[uvw]

(1)建立以晶轴a ，b ，c 为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a ，b ，c ，坐标原点在待标晶向上

(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb ，zc)

(3)将xa ，yb ，zc 化成最小的简单整数比u ，v ，w ，且u ∶v ∶w = xa∶yb ∶zc

(4)将u ，v ，w 三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]

1.1.2晶面指数(hkl)

(1)建立一组以晶轴a ，b ，c 为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a ，b ，c

(2)求出待标晶面在a ，b ，c 轴上的截距xa ，yb ，zc （该晶面与某轴平行，则截距为∞）

(3)取截距的倒数1/xa，1/yb，1/zc

(4)将这些倒数化成最小的简单整数比h ，k ，l ，使h ∶k ∶l= 1/xa∶1/yb∶1/zc

(5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h ，k ，l 置于圆括号内，写成(hkl)，则(hkl)就是待标晶面的晶面指数

1.1.3倒格子

由于一个晶面系包含所有个点，而任意两格点间所通过的平行晶面数总是个整数。总有两个晶面分别通过基矢的两端，从而这个晶面系把基矢a 1,a 2,a 3分别截成h1,h2,h3个等长的小段。该晶面中离原点最近的晶面截距分别是a1/h1,a2/h2,a3/h3。如果已知晶体基矢和法线取向，即可得到晶面的晶体指数，因而晶面间距可以得出，晶面族就可以确定，由此得出倒格子的概念。 其中正格与倒格的对比如下图：

1.2固体物理的态函数

固体物理以及固态物理是由固态的波函数以及能带波函数构成的。 固态中的波函数是布洛赫波是布洛赫态函数。 由布洛赫波和布洛赫态函数构成固体物理以及固态物理。

1.2.1量子理论

1900 年 Plank 提出了物理学第一定律黑体辐射理论，Plank 的BlackBody 辐射可以扩大到整个微观世界，所有微观世界都符合Plank 的BlackBody 辐射。Plank 的BlackBody 辐 射的能级分布覆盖整个微观世界，根据Plank 的能级分布的规律，可能产生两个矛盾体，其一是 BlackBody 辐射的光，可以是光波也可以是光粒子。其二，根据Plank 的BlackBody 的辐射理论，它在测量时动量和位置的误差不等于零，即测量时不可能测量准确，也就是最著名的测不准原理。海森堡建立了一个模型在一维自由度的情况下， 两个不对易的观察量△P △q=h,其中 p为确定的量，而△p 为观察量的误差。这个测量误差不等于零的关系，为Plank 黑体辐射的测不准原理。 它可以应用到多个自由度的系统。 固体物理也符合 Plank 的黑体辐射能级分布，也是 Plank 的 Blackbody 的辐射能级分布。固态物理中的态函数是几率波，是光也是光粒子，固体物理中的态函数代表着固体物理中微观状态， 是固态物理中的状态的函数。 固体物理中的微观状态是布洛赫波，是布洛赫函数，它的表达式为ψ (r) =μΚ (r) exp(iκ.r) 。

1.2.2固态的能带理论

固体物理是物质存在形式的一种，根据物理学第一定律，它应当符合Plank 的 BlackBody 和RigidBody 的能级分布，布洛赫早在百年以前就提出了布洛赫的Plank 的 blackbody 和 Rigidbody 的 能级分布的态函数，它是固体物理中各种各样的运动的可能性。自然界的开始是以各种各样的运动的可能性开始的，固体物理也不例外。物质的存在形式分为固体、液体和气体，全部符合物理学第一定律。它们的状态的函数就是产生各种各样运动的可能性。所以物质即粒子又是波，是几率波。几率波和几率粒子构成物质状态的函数， 即物质的态函数。固态由固态的能带函数构成固态物质， 能带函数符合薛定谔方程 Hψ=E符合能量守恒原理， 哈密顿算符与波函数的乘积等于固体中能带函数 E 与物质的态函数的乘积。

2. 能带理论

能带理论(Energy band theory) 是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体) 中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动, 即是单电子近似的理论; 对于晶体中的价电子而言, 等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用, 是一种晶体周期性的势场。能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子, 并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。

2.1能带及其一般性质 在晶体中，原来的简并能级即自由原子中的能级分裂为许多和原来能级很接近的能级，形成能带。 电子在单一方势阱中运动，能级是分立的；电子在周期性势阱中运动，每一能级变为一能带，如下图所示：

其性质有如下几条：①分裂的新能级在一定能量范围内， 形成一个连续分布的能量带，称能带，也称容许带。②在相邻的容许带之间可能出现不容许能级存在的能隙，称为禁带。

2.2金属，半导体，绝缘体的能带特征

在晶体周期场中运动的 N 个电子， 他们的基态可以用类似的办法讨论，这时但电子能级用 En(kω) 表示 ，分成一系列能带，En(kω) 一般不具有简单的自由电子的形式。 N 个电子填充这些能级中最低的 N 个，有两类填充情况：

(1)电子恰好填满最低的一系列能带， 再高的各带全部都是空的，最高的满带称为价带，最低的空带称为导带，价带最高能级（价带顶）与导带最低能级（导带底）之间的能量范围 称为带隙。 这种情况对应绝缘体和半导体。 带隙宽度大的（例如约 10eν）为绝缘体，带隙宽度小的（例如约 leν）为半导体。

(2)除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者常被称为导带。 这时最高占据能级为费米能级，它位于一个或几个能带的能量范围之内。 在每一个部分占据的能带中，k ω空间都有一个占有电子与不占电子区域的分界面，所有这些表面的集合就是费米面, 这种情况对应金属导体。

2.3能带的三种表示图式

2.3.1扩展能区图式

对于能量最低的能带，k ω在第一布里渊区内变动。 对于能量次低的能带，k ω在第二布里渊区内。 依次类推，ε 是 kω的单值函数，不同的能带画出在不同的布里渊区内。如图 （a ）所示。

2.3.2 周期能区图式

由于εn(kω)=εn(kω+2nπa) ，所以图（a ）中的任意一条能谱曲线可以通过平移倒格矢从一个布里渊区移到其它布里渊区。在每个布里渊区内表示出所有能带，构成空间内的完整图象，如图（c ）所示。

2.3.3简约能区图式

把图 1（a ）中所示的所有能谱曲线通过平移倒格矢移入第一布里渊区。时 ε 是 k 的多值函数，对于一个给定的 k，每个能带都有相应的能量 ε1(kω), ε2(kω)k 与其对应。 k 限制在第一布里渊区之内。 如图 （b ）所示。

3. 晶体缺陷

对于晶体的尺寸，或其影响范围的大小，把它们分为点、线、面、体等四类结构缺陷。

3.1点缺陷

点缺陷是指：缺陷尺寸处于原子大小的数量级上，即三维方向上缺陷的尺寸都很小。点缺陷可分为以下几类：

晶格位置缺陷一般指空位和间隙原子所造成的点缺陷，主要是内部质点运动偏离其平衡位置所产生的缺陷，由于原子的热运动与温度有关，所以这类缺陷的形成主要受温度影响，也称为热缺陷，属于本征缺陷。原子离开平衡位置后，或者进入间隙，或者迁移至晶体表面正常格点位置，在原位置留下空位，前者称为弗兰克尔缺陷，其特点是空位和间隙原子同时产生，晶体密度保持不变；后者称为肖特基缺陷，特点是保持离子晶体的电中性，正离子空位和负离子空位同时产生，晶体体积增大。如下表：

3.2线缺陷

实际晶体在结晶时受到杂质、温度变化或振动产生的应力作用，或由于晶体受到打击、切削、研磨等机械应力的作用，使晶体内部晶面间发生相对滑移，质点排列变形，原子行列不再符合理想晶格的有秩序的排列，形成线状的缺陷。 晶体内部晶面间的滑移并不是整个晶面上所有的原子相对另一个晶面一起滑移，而是一部分原子可以在其它原子未运动之前先移动，这样在晶体中就有已滑移部分和未滑移部分，已滑移部分和未滑移部分之间的错位原子线。位错的基本类型分为刃型位错和螺旋位错。

3.2.1刃型位错

刃型位错特点是滑移方向与位错线方向垂直。 已滑移部分和未滑移部分之间实际上多了半片原子面。原子行列偏离了理想晶格的有序排列；在滑移面以上原子间距密，下部疏，上部晶格受压缩，下部受伸张，即在位错线周围存在一个弹性应力场。刃型位错又分为①正刃型位错(┴) ：在上半部滑移，多余的半片原子面在上面；②负刃型位错(┬) ：在下半部滑移，多余的半片原子面在下面。如图为刃型位错（左），MgO 晶体刃位错图（右）：

3.2.2螺旋位错

行。螺旋位错是在剪应力作用使晶体的晶面相互滑移所致。如图为螺旋位错示意图：

3.3面缺陷

处于晶体界面上的原子，会同时受到晶体内部的自身原子和外部介质原子或分子的作用力。而这两个作用力不会平衡，内部原子对界面原子的作用力显著大于外部原子或分子的作用力。这样，表面原子就会偏离其正常平衡位置，并因而牵连到邻近的几层原子，造成表面

层的晶格畸变。形成面缺陷。面缺陷可以分为堆垛层错，方向畴界和结晶切变面，其特点如下图所示：

3.4体缺陷

体缺陷是由热运动造成的一种半微观缺陷，它对晶体的宏观物理性能往往带来有害的影响。在三维尺寸较大，如镶嵌块，沉淀相，空洞，气泡等。

4. 晶格振动

晶体内的原子并不是处在自己的平衡位置上固定不动的, 而是围绕其平衡位置作振动。由于晶体内原子间存在着互相作用力, 各个原子的振动也并非是孤立的, 而是相互联系着的, 因此在晶体中形成了各种模式的波。由于晶格的周期性条件, 模式所取的能量值不是连续的而是分立的。对于这些分立的振动模式, 可用一系列孤立的简谐振子来描述。和光子的情形相似, 这些谐振子的能量量子

一维单原子和双原子链：

称为声子, 其中是振动模式的角频率。如图1,2分别为

图 1一维单原子链

图 2一维双原子链

晶格振动是晶体中诸原子集体在作振动, 其结果表现为晶格中的格波。一般而言, 格波不一定是简谐的, 但可以展成为简谐平面波的线性迭加。当振动微弱时, 即简谐近似的情形, 格波直接就是简谐波。这时, 格波之间的相互作用可以忽略, 从而可以认为他们的存在是相互独立的, 每一独立的模式对应一个振动态。晶格的周期性又赋予格波一定的边界条件, 使得振动态是分立的。因此, 我们可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立模式, 这就是声子概念的由来。

5. 红外物理与固体物理

黑体是最理想的发射体，能吸收各种频率的电磁波，也能辐射各种频率的电磁波。在温度一定时，黑体的单色辐出度与波长有关，并存在一极大值，所对应的极值点λm 与温度有关系。由图1可得以下两个实验定律：

①斯特藩–玻耳兹曼定律：该定律描述了红外辐射功率随温度的变化规律，其数学表达式为：M=σT 。其中：σ为斯蒂芬—玻耳兹曼常数为5.668×10（W/cm，℃）；T 为绝对黑体表面的绝对温度。该定律表明，从“绝对黑体”表面发射的总功率即各种波长下辐射功率之和与波长无关，只与黑体表面的绝对温度T 的四次方呈正比

②维恩位移定律：该定律描述了红外辐射峰值的位移规律，其数学表达式为：λm ·T=K。其中：λm 为在某一温度下的辐射能量最大值所对应的波长，T 为绝对黑体表面的绝对温度。维恩定律表明，当“绝对黑体”的温度升高时，峰值辐射波长移向波长短的一方，即λm 和T 成反比。 黑体单位表面积发射的总辐射功率与绝对温度的四次方成正比，温度只要有较小的变化，就会引起物体的辐射功率发生较大变化。任何物质的温度只要高于绝对温度，都会不断地辐射能量，同时也不断地吸收其它物质辐射出来的能量，

并把吸收的能量转化成热辐射再44-1224

辐射出去。

随着人类科学技术的不断发展和进步，进过长期探索, 在固体物理发展的基础之上人们掌握了红外辐射的基本规律, 不断研制出各种红外探测器件, 发展了红外光谱和红外成像等关键技术, 并使之在当代许多领域, 尤其在航天、军事及其它高科技领域占据突出地位。目前红外探测器已经发展到第三代，其具体特点是高性能、高分辨力具有多波段探测的制冷焦平面，中等性能或高性能的非制冷焦平面，成本非常低的非制冷焦平面。第三代红外探测器主要有碲镉汞红外探测器，量子阱红外探测器，Ⅱ类超晶格红外探测器。

随着固体物理和红外技术的快速发展，红外辐射材料的应用范围越来越广泛。工农业生产上，通过使用红外辐射涂层改造工业窑炉；由于其升温快，温度分布均匀的特点，在烘烤与干燥中应用也比较广泛；红外光谱分析检测环境污染状况，灵敏度高，反应速度快，精度高；在农业和畜牧业中，用于孵卵、种子保鲜、植物培养中，有生体保温、细胞活化，促进发育的作用；日常生活中，红外辐射在医疗保健、杀菌、取暖中有很大的优势。在航天和军事中，红外辐射材料主要用于隐身技术，反红外探测是继雷达隐身之后的又一重要隐身技术，并且已经被发达国家和军事强国广泛应用。红外诱饵器作为对付红外制导导弹的一种对抗手段，正在受到重视。

结语：固体物理的发展随着其他学科的发展不断推进，作为物理、化学、材料等领域的理论支柱学科，固体物理的发展也在不断推进着现代科技的发展。现代固体物理理论已经较为完备，但是依旧存在很大的发展空间，特别是像进一步的微观领域的探索，突破人类目前探索的极限对于固体物理的理论发展较为重要。同时，作为理论基础学科，固体物理的发展也在为更多实际生活所服务，希望固体物理带来的效用会越来越大。

参考文献：

[1]范艳伟. 含杂质一维原子链中的晶格振动[D].新疆：新疆大学,2005.6.

[2]张风芳. 能带理论(Energy band theory)的概念. 中国科教创新导刊，2010，NO.24:144.

[3]吴琎, 叶云志. 固体能带性质. 科技向导，2010,29:64—79.

[4]余志平，王燕，刘晓彦. 固体物理进展——半世纪回顾. 中国科学：信息科学，2012，42

（12）：1644-1600.

[5]李路. 固体物理中的态函数. 农业网络信息，2012,2:120-121.

[6]陈难先. 倒易点阵与晶面指数的关系. 大学物理，2011,30(2):50-52.

[7]俞文海. 固体物理学中关于晶体结构的若干概念和定义. 合肥：中国科技大学，2013.

[8]刘普霖. 红外物理与技术发展. 世界科技研究与发展，Vol.25 No.:27-37.

[9]李全禄. 远红外辐射材料的研究及应用. 压电与声光，1995,17（1）：47-52.

[10]史衍丽. 锑基Ⅱ类超晶格红外探测器——第三代红外探测器的最佳选择. 红 外 技 术,Vol.33 No.11:621-638.

[11]顾宜，赵长生. 材料科学与工程基础. 北京：化学工业出版社.2010.

[12]陆佩文. 无机材料科学基础（硅酸盐物理化学）. 武汉：武汉工业大学出版社，1996.