黄金分割的应用
黄金分割的应用之一
——作正五角星
我国国旗上的五角星,是我国生活中常见的一种特殊图形。记得我上初中的时候,教材上有一道题是介绍我国古代人们利用他们的聪明才智找到了近似作五角星的方法:口诀是“九五顶五九,八五两边分。”这是画五角星中最简便的方法了。
作法:1、画相互垂直的两条线段AB与CD,交点作O。
2、在标有刻度直尺的帮助之下,自O点开始,让OC=OD=0.8,OA=0.59,OB=0.95;
3、再过B点作EF垂直AB,并且让BE=BF=0.5; 4、再连接AB,AD,CE,DF;
5、那么ACEFD,便是一个近似正五角形。
在这个正五角形的内部再连接各个点后,便得到一个五角星了。如下图1:
(注:以3厘米为单位“1”)
记得当时老师在给我们介绍这道题时,还给我们讲了一种用尺规作正五角星的方法。
作法:1、以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和 AP;
2、平分半径ON,得OK=KN;
3、以 K为圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H, AH
即为正五边形的边长;
4、以AH为弦长,在圆周上依次截得A、B、C、D、
E各点;
5、顺次连接这些点即得正五边形;
6、在正五边形的内部再连接各个点后,便得到一个五
角星了。如下图2:
今天,我作为一名教师,在教授北师大版八年级数学教材下册时,在第四章第二节《黄金分割》这一课内容中,开篇课文就给出了一个正五角星,让我想起了这一切。那么,黄金分割与正五角星有什么关系呢? 首先,我们来了解什么是黄金分割。如图:
把线段AB分成两线段AC和BC,
如果点C,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,
化成乘积式是
项。
怎样利用黄金分割作正五角星呢?
作法:1、任作线段AB; 2、过点B作BC⊥AB,并取BC=AB; =
≈0.618,如果把
,AC叫做AB和BC的比例中
3、连接AC,以点C为圆心,以BC为半径画弧交CA
于点D;
4、以点A为圆心,以AD为半径画弧交AB于点E;
5、以点A为圆心,以BE为半径画弧交AB于点F;
(点E、F就为线段AB的黄金分割点)
6、分别以点E、F为圆心,以BE为半径画弧,两弧交
于点G;
7、以点G为端点,分别过点F、E作射线GF、GE; 8、在射线GF、GE点分别取GH=GJ=AB;
9、连接AJ、BH,就得到了正五角星了。如下图3:
通过作图知,正五角星任意两角连线中的两个交点,恰好是该线段的两个黄金分割点,所以,我国国旗上的五角星总是给人以庄重、和谐、优美的感觉。