化归思想在初中数学解题中的应用
化归思想
化归思想,又称转换思想或转化思想,是一种把待解决或未解决的问题,通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去,最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现,是数学中普遍适用的重要方法。 数学中的化归有其特定的方向,一般为:化复杂为简单;化抽象为具体;化生疏为熟悉;化难为易;化一般为特殊;化特殊为一般;化“综合”为“单一”;化“高维”为“低维”等。
⒈ 悉化原则;⒉简单化原则;⒊具体化原则;⒋极端化原则;⒌和谐化原则。
1)化未知问题为已知问题
该法采取的措施是不对问题直接攻击,而是对问题进行变形、转化。直至把它化归为某个(些)已经解决的问题或容易解决的问题。 例. 如图,梯形ABCD 中,A D ∥BC ,AB=CD,对角线AC 、BD 相交于O 点,且AC ⊥BD ,AD=3,BC=5,求AC 的长。
分析:此题是根据梯形对角线互相垂直的特
点,通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角
形和平行四边形,使问题得以解决。
解:过D 作D E ∥AC 交BC 的延长线于点E ,则得AD=CE, AC=DE,所以BE=BC+CE=8。
∵AC ⊥BD ∴BD ⊥
DE
又∵AB=CD ∴AC=BD
∴BD=DE
在Rt △BDE 中,BD 2+DE 2=BE 2
∴BD=2BE =42 即AC=42 2
2)化新问题为旧问题
将陌生的问题转化为熟悉的问题,运用自己熟悉的知识、经验和问题来解决。
例:教材中解二元一次方程是通过降次化归成一元一次方程;解二元一次方程组或三元一次方程组是通过消元化归成一元一次方程或二元一次方程组;解分式方程是化归成整式方程;异分母分数的加减法,通过通分转化成同分母分数的加减法;多边形的内角和问题转化为三角形的内角和来解决;梯形的中位线问题转化为三角形的中位线来解决。这些问题都是通过化新问题为旧问题,从而使问题得以解决。
3)化复杂问题为简单问题
有些数学问题结构复杂,若用常规手法过程繁琐,对这个问题,可以从其结构入手,将结构进行转化,另辟解题途径。
例:已知x 2+x -1=0, 求x 3+2x 2+2009的值。
分析:此题通过“化零散为整体”或利用降次来转化,可使问题得以解决。
解法一:∵x 2+x -1=0
∴x 2=1-x
∴x 3+2x 2+2009=x(1-x )+2(1-x )+2009
=-x 2-x +2011=-(x 2+x -1) +2010=2010
解法二:原式=x (x 2+x -1) +(x 2+x -1) +1+2009=2010
4)特殊问题与一般问题的转化
特殊问题与一般问题的转化是数学化归的常用方法之一,其采取的措施主要是联系已学过的各种知识利用数学的整体统一思想,将碰到的难解决的特殊问题转化为一般的知识点或将一般的问题转化为特殊问题,以便套用公式或定理等解决。
例3:如图,已知两个半圆,大半圆的弦AB 与小半圆相切,且AB ∥ CD 。AB=6cm,求图中阴影部分面积。
分析:要求阴影面积,即大半圆面积
减去小半圆面积。但在这里两个半圆的半径
都未知,在图(1)中较难发现两个半径与
AB 的关系,若把图(1)中小半圆移动,使两个半圆的圆心重合,如 图(2),阴影部分的面积不变。此时我们容易发现两个半圆的半径的平方差等于AB 的平方,这样便可求得图中阴影部分面积。
解:设大半圆和小半圆的半径分别为R 和r ,则
S =πR2-πr2=π(R2-r 2) =π(
5)化代数问题为几何问题(即数形转化思想)
1212121212AB 29) =π 22
数形结合是把函数、方程、不等式等代数形式中的量与量的关系,同几何图形的位置关系相结合,以形论数或以数论形。因数能入微,形可直观,二者结合起来能使隐含的条件明显化;使抽象的概念形象化;使繁杂的运算简捷化;可以灵活、直观地解决问题。
例:已知直线y 1=2x +4 x 轴、y 轴的交点分别是B 、A ,直线y 2=1x -3与x 轴、y 轴的交点分别是D 、C 。求四边形ABCD 的面积. 2
分析:欲求四边形ABCD 的面积,先在同一坐标系中把它的图象画出,如下图,由于直接求不易得出,可把四边形ABCD 分成△ABD 和△BCD 来求。
解:在直线y 1=2x +4中,
当x =0时,y 1=4,
所以A 点坐标为(0,4),
当y 1=0时,x =-2,
所以B 点的坐标为(-2,0);
在直线y 2=x -3中, 当x =0时,y 2=-3,
所以C 点坐标为(0,-3).
当y 2=0时,x =6,所以D 点的坐标为(6,0).
函数图象如右图:
∴S 四边形ABCD =S ∆ABD +S ∆BCD =BD ∙AO +BD ∙CO =⨯8⨯4+⨯8⨯3=28
1212121212
例8、如图10,在△ ABC中,AB=7,AC=11,点M 是BC 的中点, AD是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则FC 的长为
_________.
解:如图,设点N 是AC 的中点,连接MN ,则MN ∥AB. 又MF ∥AD ,所以
所以
例9、如图6,在
. 因此
, 中,E 为斜边AB 上一点,AE=2,EB=1,四边形DEFC 为正方形,则阴影部分的面积为
________.
解:将直角三角形EFB 绕E 点,按逆时针方向旋转 ,因为CDEF 是正方形,所以EF 和ED 重合,B 点落在CD 上,阴影部分的面积转化为直角三角形ABE 的面积,因为AE=2,EB=1,所以阴影部分的面积为1/2*2*1=1.
练习
1a 4+a 2+1a +=5=2a a 1. 已知,则( )
2、在△ABC 中,∠C=90,∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a , b , c ,关于x
22c (x +1) --a (x -1) =0的两根的平方和是10,那么的方
程
b
a =____________________.
3. 在△ABC 中, ∠A =60︒, BP和CQ 是角平分线,
PB=PC+BQ, 则∠ABC 的度数为________________..
P I
A B
交于点I. 若