不完全信息下贝叶斯纳什均衡的转化
2006年第4期(总第46期
)7月15日出版
学报
不完全信息下贝叶斯纳什均衡的转化
夏少刚,张大乐
(东北财经大学数量经济系,辽宁 大连 116025)
〔摘 要〕本文从古诺特模型的一般分析出发,在完全信息和不完全信息两种条件下分别得出厂商各自的均衡利润,然后通过比较两种均衡下的利润大小去分析不完全信息条件下的均衡转化问题。之后把此结果推向一般情况,进一步分析了不完全信息贝叶斯纳什均衡向完全信息纳什均衡转化的条件以及其结论的意义。
〔关键词〕博弈论;完全信息;不完全信息;纳什均衡;贝叶斯纳什均衡;均衡转化中图分类号:F224132 文献标识码:A 文章编号:100824096(2006)0420003206
一、问题的提出
1951年,约翰・纳什(JohnNash)在其博士论
,影响有多大,,其均衡结果较不,在现实情况下息,由此考虑是否会发生不完全信息下的博弈向完全信息下的博弈转化问题。当所有参与人都通过一定的方式获得信息时,信息就变成了完全信息,博弈方式就有所改变。而在以往的博弈论中却并没有分析这种转化的情况。本文先通过对古
[5]
诺特(Cournot)模型的一般分析,直观地去说明
[1]
文的基础上发表的《非合作博弈》一文及1950
[2]
年发表的两篇论文《讨价还价问题》与《n[3]
弈的均衡点》即“纳什均衡”,种完全信息博弈,基于现实存在的大量不完全信息问题,后来由约翰・海萨尼(JohnHarsanyi)通过发表《贝叶斯参与人完成的不完全信息博
[4]
弈》这一经典性论文对不完全信息博弈进行了研究,提出一种转换方式即著名的“海萨尼转换”,将不完全信息博弈转换成一个完全信息博弈从而可对原来的不完全信息博弈进行研究。而在经济分析中,信息确实日渐成为其不可缺少的因素之一,它对经济的影响是不可忽视的。与此同时,博弈也日益成为决策者的思考方式,博弈中参与者拥有信息的非完全性又使博弈变得更加精彩,不同信息的条件会使博弈有着不同的均衡结果,根据经济人的最优化理性的假设,他们总是去寻找最好的结果。不完全信息下的博弈与完全信息下的博弈只是由于信息条件的不同而使参与者的战略及均衡结果有着很大的不同。由于厂商追求的是所有情况下的利润最大化,而在现实情况下厂商之间的博弈几乎都是不完全信息博弈,此
这种转化的存在及过程,随后从总体上分析这种转化的性质及发生的条件。
二、古诺特(Cournot)模型均衡转化分析(一)不完全信息条件下的古诺特模型
分析
[6]
假设市场上有两个参与人即厂商一与厂商二,在不完全信息古诺特模型中,参与人的类型体现在成本函数上,具体情况如下:
厂商一:不能完全确定厂商二的成本函数,只知其为低成本的概率为且为μ低成本时的单位成本为c2,为高成本的概率是1-μ且为高成本时的单位成本为c2,而自己的单位成本为c1是共
H
L
收稿日期:2006206215
作者简介:夏少刚(1945-),男,黑龙江肇东人,教授,博士生导师,研究方向:经济优化。
3
学报
同知识。
厂商二:知道自己具体的成本情况,也知厂商一的成本状况。
假设市场的逆需求函数为P=a-q1-q2,其中qi为厂商i的产量(i=1,2),每个企业的单位成本都不变。
11厂商一的最优化行为分析:对于厂商一由于其不能完全确定厂商二的成本情况,因此只能选择使期望利润最大的q1,期望利润函数为:
H
π1=μq1(a-q1-qLE2-c1)+(1-μ)q1(a-q1-q2-c1)
Number4(GeneralSerialNo146)
July,2006
-c1),由最优化条件:
=a-2q1-q2-c1=0可得出其反应函数9q1
为:q1
33
=
(a-q2-c1)2
联立两反应函数求解q1,q2得出纳什均衡为:
q1q2
33
==
a-2c1+c2
3a-2c2+c1
3
L
33
由最大化条件:
L
=μ(a-2q1-q2-c1)9q1
3
因此若厂商二是低成本,均衡产量为:q
331L
H
+(1-μ)(a-2q1-q2-c1)=0
]厂商一的反应函数为:q1=
LH[μq2+(1-μ)q2]
(a-c1-2
a-2c1+c2=
3
L
q2L
33
a-2c+c
=
3a-2c1+c2=
3
H
;
21厂商二的最优化行为分析:我们知道厂商
若是高成本,均衡产量为:qq
331H
二的利润函数为:
π2=q2(a-q1-q2-c2)
2由最大化条件=a-q1-2q2-c2=0]厂
9q2
3
商二的反应函数为:q2=(q2
L3
:q2=H3
(a-q1-cL2);若是高成本其最优产量为:q22H(a-q1-c2)2
因此解两个反应函数得贝叶斯纳什均衡为:
q
H32
LH
a+cμc+(4-μ)c-36
33
-2+1L
现在假设厂商二的成本是低成本c2,比较两种情况下的均衡产量与利润大小:
q1
3
a-2c=
3
H
μcL+(1-μ)c+
3
>
a-2c3
+(1)
LL
μcLa-2c+c+(1-μ)c33
=q1L
33
因此不完全信息下厂商一的产量大于完全信息下自己的产量。由于在不完全信息下,厂商一只能生产预期的最优产量,其必高于完全信息下
q2q1
L3
=
a+c(3+μ)c+(1-μ)c
-36
L
H面对低成本时的产量。
q
[5]
L32
3
LH
a-2cμc+(1-μ)c
=+
33
a+c=-3
H
(3+μ)cLa+c+(1-μ)c
63
(二)完全信息条件下的古诺特模型分析
H
假设厂商二的单位成本为c2(要么是c2,要
LL
(3+μ)cLa+c-2c+(1-μ)c33
==q2L
63
(2)
对于厂商二,完全信息下的产量却大于不完全信息下的产量,厂商二对一的决策作出反应而得此结果。
q1+q
3
L32
H
(3-μ)cL2a-c-(1-μ)c=->
363
么是c),完全信息下每个厂商都知道对方的情
况,其他条件不变:
厂商二:其利润函数为:π2=q2(a-q1-q2-c2),由最优化条件:
2=a-q1-2q2-c2=0可得出其反应函数9q2
33
为:q2(a-q1-c2)
2
厂商一:其利润函数为:π1=q1(a-q1-q24
L2
LL
(3-μ)cL2a-c-c+(1-μ)c3333-=q1L+q2L
63
(3)
由此可知,完全信息下总产量小于不完全信息下的总产量。
设不完全信息下厂商一与厂商二的均衡利润
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33π1π′、2
π′分别为π′1、2,有:
33L3L33L3
π′(a-q1-c1),π′-q21=q1(a-q1-q22=q2
高的利润,而厂商一在完全信息下的利润却低于不完全信息下的利润,此时就会发生有趣的情况:厂商二自愿向厂商一传递自己的真实信息且想方设法让对方按此信息决策,他真正想与其进行完全信息下的博弈;而厂商一当然不会愿意这样,他会仍然在不完全信息下与其进行博弈即仍根据自己的期望利润最大化进行决策;厂商二知道厂商一不与他直接合作,因此,在一定的条件下他就会根据自己的情况去寻找更好的政策让厂商一答应,具体情况如下:
33
π1=π′π2=π2假设,Δ-π′1-π1,Δ2,有
(i)若Δπ2>Δπ1,厂商二会向厂商一支付一
-c)
3
1
32
3
33
33
33
3
33
33
L1
(4)
π,有:而完全信息下均衡利润分别为π、
π1=q1L(a-q1L-q2L-c1),π2=q2L(a-q1L-q2L-c)
33
L
1
(4′)
假设厂商的利润都是正的。
3
(Ⅰ)比较π′1与π1的大小由(1)式知q>qa-q1-q2
3
L3
3
1331L33
>0,从(3)式可推出0
33
-c1
3
μ)=π′接判断出π′1与π1的大小,此时令f(1-3
π1=0,利用根的情况就可判断μ在0与1之间3
)可计算变动时π′1与π1的大小,根据(4)与(4′3
出方程f(μ)=π′1-π1=0有一根μ=1,再令f′
q1L(μ)=0,得极大值点μ0=1-L
33
定的资金让厂商一与其合作,支付的资金至少可
π1,以弥补厂商一与其合作而造成的利润损失Δ因此两者通过合作进行完全信息下的博弈都提高了自己的利润,(ii)21o改进,[7],,博弈不发生转化。
L
(Ⅱ)当cH>a-2c1+2c2且0
HL
c2-(a-2c1-2c2)
次函数f(μ)及其图象性质可知:
q1LH
若μ1-μ0=即当c2≤a-2c1HL2c2-c22
33
π1。+2c2时,则对任意0
q若μ1-μ0=2>-1HL
3
>π1。
L
3
33
L
c-(a-2c-2c)
c-cc-c
H2
L2H2
L2
HL3
时,必有π′1
c-cL2
H
2
33
π′时,有π′1
在不完全信息(厂商一不知厂商二的成本状况)下,两个厂商的利润均小于完全信息下的利润,根据厂商追求利润最大化的假设,因此两个企业会
在一定程度上进行合谋(假设交易成本不计)。具体地说,厂商二会向厂商一传递自己的成本状况,展示自己的成本是低成本,厂商一知道只有完全信息下才能提高各自的利润,相信厂商二所传递的信息是真的并与其进行合作,这样两者的利润都上升导致帕累托改进,其结果则是从不完全信息贝叶斯纳什均衡到完全信息纳什均衡的转化。
若厂商二的成本为高成本,单位成本为c2,同理按照上面的步骤进行分析比较,可得:
q1
3
LHh
a-2c1μc2+(1-μ)c2a-2c1+c233=
333
HL
c-(a-2c-2c)
但在实际上,条件c2>a-2c1+2c2=3q1L+c要求高成本比低成本在数值上高出三倍厂商
L
2
HL
33
一的均衡产量,这几乎是不可能的,故相应情况的讨论仅有理论意义。
3
(Ⅱ)比较π′2与π2的大小
由(2)式知0
3
L3
L
L3
2
332L
,从(3)式可知0
L
-c2
3
3333
π2。因此必有π′2
(四)均衡转化分析
假设厂商的目标是追求利润最大化,比较上述两种信息条件博弈均衡下的利润大小得出如下结果:
LH
(Ⅰ)当cH2≤a-2c1+2c2或c2>a-2c1+2c且
L2
HLc2-(a-2c1-2c2)
H
(5)
q
H32
=
a+c3
H
μcL+(4-μ)c-6
>
a+c3
-(6)
c2-c2
HL
H
μcH+(4-μ)c33
=q2H
6
5
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q1+q
HNumber4(GeneralSerialNo146)
July,2006
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H32
LH
2a-c1μc2-(2+μ)c22a-c1=+
363H
H而博弈均衡也理所当然进行了转化,即贝叶斯纳什均衡向纳什均衡转化。我们知道,不完全信息贝叶斯纳什均衡是指每个参与人在给定自己的类型和其他参与人类型依存战略的情况下最大化自即对于n个参与人不完全
θ信息博弈表示为:G={A1,A2…An;θ1,θ2…n;
μ1,μ2…μn},其纯战略贝叶斯纳什均衡是一个类
3n型依存战略组合{ai(θi)}i=1,其中每个参与人i在给定自己的类型和其他参与人类型θi依存战3
略为a-i(θ-i)的情况下最大化自己的期望效用
μc+(4-μ)c2a-c-c3333
=q1H+q2H
63
(7)
因此可看出,当厂商一不知道c2的具体情况时,只能生产预期的最优产量低于完全信息下面对高成本竞争对手时的产量,厂商二对此做出反应,产量大于完全信息下的产量。
对于厂商一,此时两种条件下的利润分别为:
33
π′1=q1(a-q1-qH3
2
己的期望效用函数,
[6]
33333
-c1),π1=q1H(a-q1H-
q2H-c1)
3333
由(5)式知0
33
函数vi(vi=
q2-c1>a-q1H-q2H-c1>0,因而也无法直接
3333
θ-i
∑p(θ
i
-i
θθ|θi)μi(ai(i);a-i(-i);
确定两者之间的大小,根据低成本情况下所分析
3
的步骤,经证明得出此时必有π′1
对于厂商二,此时两种条件下的利润分别为:
H33H3H33333
π′(a-q1-q2-c2),π2=q2H(a-q1H-2=q2
3
θθi,θ-i)),则参与人i的战略就会取ai(i)且有3
ai(θmaxi)∈arg
∑p
i
3
(θ-i|θθ-i);i)μi(ai,a-i(
θ对于博弈中的参与人,他考虑的不单是i,θ-i)。
在一种特定情况下的利润(或效用)最优化,而是考虑在所有可考虑的情况下的最优化,。若他发现完全信息,其他参与人的情况也是如此,此时就会发生不完全信息向完全信息博弈转化,下面就从以下几个方面去考虑转化问题。
从上面的分析可知,存在着不完全信息博弈向完全信息博弈转化的情况,具体地说就是从一种状态下的均衡向另一种状态下的均衡的转化。在不完全信息下,至少有一人有多个类型,一般
地,用θi表示参与人i的一个特定信息,Θi表示
n
Θi,假定{θ参与人所有可能类型的集合θi∈i}i=1
θ取自某个客观的分布函数p(θ1,θ2…n),根据海
33H
q2H-c2)
H3333
由(6)式知q2>q2>0,(7)知a-q1-
q2
H3
H3333H
-c2>a-q1H-q2H-c2>0,则必有π′2>
333
π2π′,因此此时只有一种情况π′1π,
的结果,3
π2=π′定的价值,假定为Δ2-π2,也就是说若厂商一知其成本状况而与其进行完全信息博弈的π2,而对于厂商一,其从中话,厂商二就会失去Δ
3π1=π1得到的利润设为Δ-π′1。因此厂商一为
增加自己的利润就会去搜取相关厂商二的成本信
息,假设为搜取信息而需成本为C1(假设这一过程厂商二都知道),厂商二为避免厂商一搜取信息所花成本为C2,分析这一过程得出:
(i)若c0Δπ2,c0Δπ1,厂商一搜取信息所2
θ萨尼公理假定分布函数p(θ1,θ2…n)是所有参与人的共同知识,因此,参与人只是根据已知信息
θp(θ1,θ2…n)来做出决策以使自己的期望支付最大化。假定对于参与人i的类型集Θi,其真实信息假设为θi
(3)
花成本高于所得决定他就不会去搜集,则最终结果不变,仍为贝叶斯纳什均衡结果。
(ii)若c0π2,c0π1,此种情况下(设两2>Δ1
厂商都知道),两者会进行合作,最后结果就变为完全信息下纳什均衡结果。
因此,从不完全信息下的古诺特模型分析可知,不完全信息下博弈结果会在一定的条件下有所改变,也即贝叶斯纳什均衡会发生转化。
三、均衡转化条件的一般分析
从第一部分的古诺特模型分析可知确实存在着不完全信息博弈向完全信息博弈转化的情况,6
,其他参与人的类型为θ-(3)(3)
(3)i
,若对
于其他参与人知道自己的真实类型θi,自己也
能确切知道其他参与人的类型为θ-i下进行博弈的话,所有人的支付都有所提高,而所有参与人也知道这个结果,此种情况是存在的,如前面所分析的古诺特模型。而这一切都建立在参与人改变信息条件的基础上,下面给出不完全信息贝叶斯纳什均衡向完全信息纳什均衡的转化的条件。
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过一定的措施使博弈发生转化且各参与人都提高了所得。
(ii)参与人j(j:Ij0)的信息是共同信息,参与人i(i:Ii0)是私有的,其他参与人只知道其概率分
33
布。对于μi>μ′
(一)绝对条件
假设贝叶斯纳什均衡下各参与人的支付为
3
μ3α3θ-i);θi(i,α-i(i,θ-i)(对于i=1,2…n)且
3
每个参与人都是理性的,其中μi(i=1,2…n)是参与人i在给定自己的类型θi和其他参与人类型3
依存战略α-i(θ-i)的情况下最大化自己的期望
μ″μ3j
3
μ3μ′若μ′j0-Cj0≥j0,μi0-Ci0≤i0,参与人知道避
效用函数所得到的值,若参与人在知道自己的类型下也确切知道其他参与人的类型而做出最大化
效用的决策,在此种情况下也即是在完全信息情况下参与人i能达到的最大支付μ′i(i=1,2…n),比较μi与μ′
3的最大支付为μ″i且有μ″i
3
3
免Ij0的结果反而会减少自己的所得,因此他就会与其合作。最后就会达到完全信息纳什均衡,完
成转化。
(iii)若每个参与人的信息都是私有信息,此时参与人Ii0,Ij0各自都拥有私人信息,Ij0Ii0,若ⅰ所分析的,即
就是说只有在完全信息下的博弈才会使各参与人达到全局最优化(此时全局是指在所有的情况下),假设参与人都知道这一点,那么根据理性人的假设,所有参与人都会通过合作以提高自己的支付,不完全信息博弈转化为完全信息博弈。
(二)相对条件此条件是一部分参与人在完全信息纳什均衡转化的条件:Ii0,后一部分参与人的集合为Ij0,显然有Ii0∪Ij0={参与人1,2…n}同条件(1)中所设,令参与人在不完全信息博
3
弈均衡下的支付为μi(i=1,2…n),完全信息博弈均衡下的支付为μ′i(i=1,2…n),其他所有情况中参与人的最大支付为μ″i(i=1,2…n),根据
33假设有μi>μ′
∑n
i:Ii0
i
∑m且m
j
j:Ij0
j
-m′j>0,n′i-ni>0。
(2)寻求参与人Ii0的私有信息让参与人的信
息变为共同信息此时发生转化的条件同ⅱ所分析
33
的,即μ′j0-Cj0Εμj0,μi0-Ci0Φμ′i0。
从总体上说,若不完全信息下的博弈向完全信息下的博弈进行转化使均衡结果的转化发生帕累托改进,这种转化就会发生。
四、分析均衡转化问题的意义(一)理论意义
分析转化问题使不完全信息下的博弈与完全信息下的博弈之间联系起来,能够更好地去理解此两种博弈。另外,更为重要的是,转化的发生从表面上看是由于帕累托改进,而从深一步的分析可看出信息的价值。因此,分析转化问题可以更好地去研究信息的价值以及这种价值的度量问题。
(二)现实意义11合作
在此定义不完全信息下的合作是指参与人为获得信息最终为获得利润最大化而各自提供自己的具体类型而进行合作,所谓可置信性在此指每个参与人为了合作都提供了确切的信息。因为在
7
μ3j(j:Ij0)。
(i)假设参与人i(i:Ii0)的信息是共同知识,参与人j(j:Ij0)的信息只有自己确切知道,其他参与人只知道其概率分布(若只有两个人,博弈就变成第一部分所分析的古诺特模型中的两人博弈),此时,参与人i(i:Ii0)不愿进行合作,而参与人j(j:Ij0)却极愿与其合作。若有条件的话,参与人Ij0就会付出一定的代价让参与人Ii0与其合作,使得博弈发生转化,结果使所有人都提高了支付。
33
令ni=μi-μ′i(i:Ii0),mj=μ′j-μj(j:Ij0),若
∑
i:Ii0
ni
∑
j:Ij0
mj且mj-m′j>0,n′i-ni>0(j:Ij0,
i:Ii0){m′j为参与人j的付出成本,n′i为参与人进
行合作的补偿所得},此时理性的参与人就会通
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不完全信息下,各参与人并不知其他参与人的具体类型,某参与人提供假信息的情况确实可能存在。而从上面所分析的不完全信息贝叶斯纳什均衡向完全信息纳什均衡的转化的条件可知,某参与人提供假信息会使自己的支付减少。因此,若存在转化,各参与人就会提供真实信息。若转化条件满足时,参与人就会进行合作,各参与人都不会提供假信息来破坏合作,此时的合作是可置信的。
21其他现实意义
从以上分析可知,不完全信息贝叶斯纳什均衡向完全信息纳什均衡的转化过程本质上就是帕累托改进,即参与人的状况都有所改善,且在转化的条件下,每个参与人都积极地进行着这一改进,最终达到纳什均衡。
在现实生活中,由于理性参与人的自利行为
[8]
使得纳什均衡却不是帕累托有效的。这种情况在博弈论中经常存在,例如博弈中的囚徒困境,个人的理性导致集体的不理性,均衡结果却是帕累托无效的。若存在帕累托改进的情况或说帕累托改进很有可能,改进。同样,帕累托改进的情况下,实施,。
在机制设计理论中,机制设计其实就是一种特殊的不完全信息博弈,其委托人设计机制的目的就是在满足参与约束或个人理性约束与激励相
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容约束的条件下选择可行的可实施机制以最大化
[9]
自己的效用。实际上,这一机制实施的过程中就是要使代理人提供自己的类型(说实话),所以存在着这样的机制,它能使不完全信息博弈转化为完全信息博弈。参考文献:
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timatics,1951,(2):286-2951
[2] NashJF1Thebargainingproblem[J]1Econometrica,
1950,(22):155-1621
[3] JohnNash1EquilibriumPointsinn-PersonGames
[J]1ProceedingsoftheNationalAcademyofSciences,1950,(36):48-491
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[5] 平新乔1]:出版社,166-1
[6] ]1上海:上海人
1
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方域等译1上海:上海人民出版社,19941375-3771
[8] 夏少刚1运筹学:经济优化方法与模型[M]1北京:
清华大学出版社,2005132-331
[9] 田国强1激励、信息与经济机制[M]1北京:北京大
学出版社,20001343-4111
TransformationofBayesianNashEquilibriumunder
IncompleteInformation
XIAShao2gang,ZHANGDa2le
(DepartmentofQuantitativeEconomics,DongbeiUniversityofFinanceandEconomics,Dalian116025,China)
Abstract:FromthegeneralanalysisofCournotmodel,thispapercometotheprofitsofthetwofirmsrespec2tivelyundertheconditionsofcompleteinformationandincompleteinformation,thenanalyzestheequilibriumtransformationoftheincompleteinformationgamebycomparingtwofirms’profitsunderthetwodifferentcon2ditions1Atthelast,afterputtheresultstogeneralcasesitfurtheranalyzestheconditionofthetransformationfromincompleteinformationBayesianNashequilibriumtocompleteinformationNashequilibriumandalsoex2plainsitspracticalapplication1
Keywords:gametheory;completeinformation;incompleteinformation;Nashequilibrium;BayesianNashequi2librium;equilibriumtransformation
(责任编辑:杨 放)
8