初二奥数经典2
初二奥数经典讲解
第一讲 因式分解的基本方法(二)
例五: 分解因式:(1+y ) 22242-2x (1+y ) +x (1-y )
解:以y 为主元降幂排列，则
原式=(x -2x +1) y -2(x -1) y +(x -2x +1)
=(x -1) y -2(x +1)(x -1) y +(x -1)
=(x -1) (x -1) y -2(x +1) y +(x -1)
[**************][2222] =(x -1) [(x +1) y -(x -1) ][(x -1) y -(x +1) ]
=(x +1)(x -1)(xy +y -x +1)(xy -y -x -1)
例六：将 x +x
解法一：分组分解 87+x +x +x +x +x +x +1 因式分解 65432
原式=(x +x +x ) +(x +x +x ) +(x +x +1)
=x (x +x +1) +x (x +x +1) +(x +x +1)
=(x +x +1)(x +x +1)
解法二：先化为分式 (求和) ，再还原成整式
利用公式a
9n [**************]-b n =(a -b )(a 87n -1+a n -2b +a 4n -3b +⋅⋅⋅+ab 22n -2+b n -1)(n 为正整数) ，x -1=(x -1)(x +x +x +x +x +x +x +1) , 得 65
原式=
=
=x 9-1333x -1(x ) -1x -1(x 3 6-1)(x +x
63+1) 3x -12=(x
例七： +x +1)(x +x +1) 2设 n 为正整数，分解因式：(1+x +x +⋅⋅⋅+x n -1+x n -2) -x 2n
分析 显然应将括号去掉，但直接利用多项式的乘法展开，则计算很繁，因此，要使用乘法公式
(1-x )(1+x +x +⋅⋅⋅+x 2n -1+x ) =1-x n n +1
解:(1+x +x +⋅⋅⋅+x
=(1-x n +12n -1+x ) -x n 2n
1-x
1-x n +1) -x
22n =(1-x
n +1) -+x x (1-x ) (1-x ) 2n +22n n 2
=1-2x -x +2x
2
n +2n +1-x n +2(1-x ) 1+x 2n +2
=-x -x
2
n +2n (1-x ) (1-x )(1-x
(1-x )
1-x n 2n =)
=(1-x )(1-x
2n +21-x ) n -1=(1+x +x +⋅⋅⋅+x
2)(1+x +x +⋅⋅⋅+x 2n +1) 例八: 分解因式：(xy -1) +(x +y -2)(x +y -2xy )
分析 如果一个代数式在研究的问题中多次出现，则可将这个代数式用一个字母表示，其有关式子得到简化，相互关系更为明了，对于本题，代数式 x +y , xy 都在多项式中出现两次，便可将它们分别用字母 A，B 表示
解：令 A=x +y ，B=xy ，则
2
2原式=(B -1) +(A -2)(A -2B ) =(B -1) +A -2A -2AB +4B
=(B +1) -2A (B +1) +A
=(B +1-A ) 2
2222 =(xy +1-x -y )
=(x -1) (y -1)
22
更正：在第一讲中，一个公式：a -b =(a -b )(a
更正为： n n n -1-a n -2b -a n -3b -⋅⋅⋅-ab 2n -2-b n -1)(n 为正整数)
a -b n n =(a -b )(a n -1+a n -2b +a n -3b +⋅⋅⋅+ab 2n -2+b n -1)(n 为正整数)
1/x(x+1)+1/(x+1)(x+2)+1/(x+2)(x+3)+……+1/(x+99)(x+100)
=[1/x-1/(x+1)]+[1/(x+1)-1/(x+2)]+[1/(x+2)-1/(x+3)]+…… +[1/(x+99)-1/(x+100)] =1/x-1/(x+100) =100/x(x+100)