41 开放性问题

开放性问题

一. 解答题

1. (2014•陕西, 第26题12分) 问题探究

（1）如图①，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，如果BC 边上存在点P ，使△APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD ，并求出此时BP 的长；

（2）如图②，在△ABC 中，∠ABC =60°，BC =12，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，当AD =6时，BC 边上存在一点Q ，使∠EQF =90°，求此时BQ 的长； 问题解决

（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE ，山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB ，现只要使∠AMB 大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A =∠E =∠D =90°，AB =270m ，AE =400m ，ED =285m ，CD =340m ，问在线段CD 上是否存在点M ，使∠AMB =60°？若存在，请求出符合条件的DM 的长，若不存在，请说明理由．

考点： 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值．菁优网

专题： 压轴题；存在型．

分析： （1）由于△P AD 是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．x_k_b_1

（2）以EF 为直径作⊙O ，易证⊙O 与BC 相切，从而得到符合条件的点Q 唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ 长．[来源:学+科+网Z+X+X+K]

（3）要满足∠AMB =60°，可构造以AB 为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD 的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM 长．

解答： 解：（1）①作AD 的垂直平分线交BC 于点P ，如图①，

则P A =P D ．

∴△P AD 是等腰三角形．

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AB =DC ，∠B =∠C =90°．

∵P A =PD ，AB =DC ，

∴Rt △ABP ≌Rt △DCP （HL ）．

∴BP =CP ．

∵BC =4，

∴BP =CP =2．

②以点D 为圆心，AD 为半径画弧，交BC 于点P ′，如图①，．

则DA =DP ′．

∴△P ′AD 是等腰三角形．

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD =BC ，AB =DC ，∠C =90°．[来源:学. 科. 网Z.X.X.K]

∵AB =3，BC =4，

∴DC =3，DP ′=4．

∴CP

′=∴BP ′=4﹣． =．

③点A 为圆心，AD 为半径画弧，交BC 于点P ″，如图①，

则AD =AP ″．

∴△P ″AD 是等腰三角形．

同理可得：BP ″=．

综上所述：在等腰三角形△ADP 中，

若P A =PD ，则BP =2；新$课$标$第$一$网

若DP =DA ，则BP =4﹣；

若AP =AD ，则BP =．

（2）∵E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，

∴EF ∥BC ，EF =B C ．

∵BC =12，

∴EF =6．

以EF 为直径作⊙O ，过点O 作OQ ⊥BC ，垂足为Q ，连接EQ 、FQ ，如图②．

∵AD ⊥BC ，AD =6，

∴EF 与BC 之间的距离为3．x k b 1 . c o m

∴OQ =3

∴OQ =OE =3．

∴⊙O 与BC 相切，切点为Q ．

∵EF 为⊙O 的直径，

∴∠EQF =90°．

过点E 作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图②．

∵EG ⊥BC ，OQ ⊥BC ，

∴EG ∥OQ ．

∵EO ∥GQ ，EG ∥OQ ，∠EGQ =90°，OE =OQ ，x k b1 . co m

∴四边形OEGQ 是正方形．

∴GQ =EO =3，EG =OQ =3．x k b1 . co m

∵∠B =60°，∠EGB =90°，EG =3，

∴BG =．

．

． ∴BQ =GQ +BG =3+∴当∠EQF =90°时，BQ 的长为3+

（3）在线段CD 上存在点M ，使∠AMB =60°．新 课 标 xk b1. c om

理由如下：

以AB 为边，在AB 的右侧作等边三角形ABG ，

作GP ⊥AB ，垂足为P ，作AK ⊥BG ，垂足为K ．

设GP 与AK 交于点O ，以点O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，

过点O 作OH ⊥CD ，垂足为H ，如图③．

则⊙O 是△ABG 的外接圆，

∵△ABG 是等边三角形，GP ⊥AB ，

∴AP =PB =A B ．

∵AB =270，

∴AP =135．

∵ED =285，

∴OH =285﹣135=150．

∵△ABG 是等边三角形，AK ⊥BG ，

∴∠BAK =∠GAK =30°．

∴OP =AP •tan 30° =135×

=45 ．

． ∴OA =2OP =90

∴OH ＜O A ．

∴⊙O 与CD 相交，设交点为M ，连接MA 、MB ，如图③．

∴∠AMB =∠AGB =60°，OM =OA =90

∵OH ⊥CD ，OH =150，OM =90

∴HM =∵AE =400，OP =45

∴DH =400﹣45．

+30． =， ， =30． ．． 若点M 在点H 的左边，则DM =DH +HM =400﹣45∵400﹣45+30＞340，xkb1.com

∴DM ＞C D ．

∴点M 不在线段CD 上，应舍去．

若点M 在点H 的右边，则DM =DH ﹣HM =400﹣45

∵400﹣45﹣30＜340， ﹣30．

∴DM ＜C D ．x k b 1 . c o m

∴点M 在线段CD 上．

综上所述：在线段CD 上存在唯一的点M ，使∠AMB =60°，

此时DM 的长为（400﹣45﹣30）米．

点评： 本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．

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