高中数列知识点总结归纳
一、等差数列
1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为a n -a n -1=d (n ≥2) 或
a n +1-a n =d (n ≥1) 。
2、等差数列的通项公式:a n =a 1+(n -1) d ;
说明:等差数列(通常可称为A P 数列)的单调性:d >0为递增数列,
d =0为常数列,d
定义:如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。其a +b a +b 中A = a ,A ,b 成等差数列⇔A =。
22
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d 。 4、等差数列的前n 和的求和公式:S n =
22
5、等差数列的性质:
(1)在等差数列{a n }中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列{a n }中,相隔等距离的项组成的数列是AP ,
如:a 1,a 3,a 5,a 7,„„;a 3,a 8,a 13,a 18,„„;
(3)在等差数列{a n }中,对任意m ,n ∈N +,a n =a m +(n -m ) d ,
d =
a n -a m
(m ≠n ) ; n -m
(4)在等差数列{a n }中,若m ,则a m +q ∈N +且m +n =p +q ,a n =a p +a q n ,p ,说明:设数列{a n }是等差数列,且公差为d ,
;
S 奇a
=n ; S 偶a n +1
S n
(Ⅱ)若项数为奇数,设共有2n -1项,则①S 偶-S 奇=a n =a 中奇=。
S 偶n -1(Ⅰ)若项数为偶数,设共有2n 项,则①S 奇-S 偶=nd ; ②
6、数列最值
(1)a 1>0,d 0时,S n 有最小值;
(2)S n 最值的求法:①若已知S n ,可用二次函数最值的求法(n ∈N +);②若
⎧a n ≥0⎧a n ≤0已知a n ,则S n 最值时n 的值(n ∈N +)可如下确定⎨或⎨。
a ≤0a ≥0⎩n +1⎩n +1
二、等比数列 1.等比数列定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常.....
数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用.
字母q 表示(q ≠0) ,即:a n +1:a n =q (q ≠0) 数列对于数列(1)(2)(3)都是等
1
比数列,它们的公比依次是2,5,-。(注意:“从第二项起”、“常数”q 、等比
2
数列的公比和项都不为零)
2.等比数列通项公式为:a n =a 1⋅q n -1(a 1⋅q ≠0) 。
说明:(1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比d =1时该数列既是等比数
a
列也是等差数列;(2)等比数列的通项公式知:若{a n }为等比数列,则m =q m -n 。
a n
3.等比中项
如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a , G , b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项)。 4.等比数列前n 项和公式
一般地,设等比数列a 1, a 2, a 3, , a n , 的前n 项和是S n =a 1+a 2+a 3+ +a n ,当
a 1(1-q n ) a -a q
或S n =1n ;当q=1时,S n =na 1(错位相减法)。 q ≠1时,S n =
1-q 1-q
说明:(1)a 1, q , n , S n 和a 1, a n , q , S n 各已知三个可求第四个;(2)注意求和公式中是q n ,通项公式中是q n -1不要混淆;(3)应用求和公式时q ≠1,必要时应讨论q =1的情况。 5.等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系:如果a n n 项,a m 是等差数列的第m 项,且m ≤n q ,则有a n =a m q n -m ;
②对于等比数列{a n },若n +m =u +v ,则a n ⋅a m =a u ⋅a v ,也就是:
a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2
a 1⋅a n
a , a 2, a 3, , a n -2, a n -1, a n 。 = ,如图所示:1
a 2⋅a n -1
③若数列{a n }S n 是其前n 项的和,k ∈N *,那么S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k
成等比数列。
如下图所示:
S 3k
a 1+a 2+a 3+ +a k +a k +1+ +a 2k +a 2k +1+ +a 3k
S k
S 2k -S k
S 3k -S 2k
三 、数列前n 项和 1.数列求通项与和
⎧s n -s n -1n ≥2
(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式:a n =⎨ 。
s n =1⎩1
(2)求通项常用方法
①作新数列法。作等差数列与等比数列;
②累差叠加法。最基本的形式是:a n =(an -a n -1)+(an -1+an -2)+…+(a2-a 1)+a1; ③归纳、猜想法。 (3)数列前n 项和
1
①重要公式:1+2+…+n=n(n+1);
2
1
12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1);
6
1
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n 2(n+1)2;
4
②等差数列中,S m+n=Sm +Sn +mnd;
③等比数列中,S m+n=Sn +qn S m =Sm +qm S n ; ④裂项求和
将数列的通项分成两个式子的代数和,即a n =f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和,需要掌握一些
常见的裂项,如:a n =
111111
==(-) 、
(An +B )(An +C ) C -B An +B An +C n (n +1) n
-
11n 1
、n ·n !=(n+1)!-n! 、C n -1r -1=Cn r -C n -1r 、=-等。 n +1(n +1)! n ! (n +1)!
⑤错项相消法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和,常用错项相消法。a n =b n ⋅c n , 其中{b n }是等差数列,
{c n }是等比数列,记
S n =b 1c 1+b 2c 2+⋯+b n -1c n -1+b n c n ,则qS n =b 1c 2+⋯⋯+b n -1c n +b n c n +1,… ⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和,然后再求S n 。
数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法:a n =b n ±c n
2.递归数列
数列的连续若干项满足的等量关系a n+k=f(an+k-1,a n+k-2, …,a n ) 称为数列的递归关系。由递归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由a n+1=2an +1,及a 1=1,确定的数列{2n -1}即为递归数列。
递归数列的通项的求法一般说来有以下几种:
(1)归纳、猜想、数学归纳法证明。 (2)迭代法。
(3)代换法。包括代数代换,对数代数,三角代数。
(4)作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。
一、高中数列基本公式:
1、一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系:a n =
2、等差数列的通项公式:a n =a1+(n-1)d an =ak +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d≠0时,a n 是关于n 的一次式;当d=0时,a n 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式:
S n = Sn = Sn =
当d≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0;当d=0时(a 1≠0),S n =na1是关于n 的正比例式。
n-1n-k
4、等比数列的通项公式: an = a1 q an = ak q (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项,a n ≠0)
5、等比数列的前n 项和公式:当q=1时,S n =n a1 (是关于n 的正比例式) ;当q≠1时,
S n =
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S3m 、……仍为等差数列。
2、等差数列{an }中,若m+n=p+q,则则
3、等比数列{an }中,若m+n=p+q,
4、等比数列{an }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S3m 、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an }与{bn }的和差的数列{an+b n }、{an -b n }仍为等差数列。
6、两个等比数列{an }与{bn }的积、商、倒数组成的数列{an
n
b }、 、 仍为等
比数列。
7、等差数列{an }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{an }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
33
10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法:a/q,a/q,aq,aq (为什么?)
11、{an }为等差数列,则
(c>0)是等比数列。
1) 是等差数列。
12、{bn }(b n >0)是等比数列,则{logc b n } (c>0且c 13. 在等差数列
中:
(1)若项数为 ,则
(2)若数为14. 在等比数列
则,
中:
,
(1)若项数为 ,则
(2)若数为
则,