性常系数非齐次微分方程的特解公式

第３９卷第５期数学的实践与认识Ｖ０１．３９Ｎｏ．５２００９年３月ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＩＮＰＲＡＣＴＩＣＥＡＮＤＴＨＥＯＲＹＭａｒｃｈ，２００９，・’・’，’・＇＇－・’１－

ｌ教学园地１

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线性常系数非齐次微分方程的特解公式

邓云辉

（四川工程职业技术学院，四川德阳６１８０００）

摘要：用初等方法得到ｎ阶线性常系数非齐次方程ｙ‘一’＋ａｌｙ“一ｌ’＋…＋ａ．ｙ—Ｐ．ｏ）ｅ“特解ｙ。的求

解公式，使求ｙ。的计算比较简单．

关键词ｔ线性微分方程ｌ特解｝特征根

１引言

求高阶线性常系数非齐次常微分方程：Ｙ“’＋ａｌＹ“．１’＋…＋ａ．ｙ＝Ｐ。（ｚ）ｅｈ特解Ｙ’，一般的方法是据其特征根的情况和非齐次项，（ｚ）函数类型，先设Ｙ‘的相应函数类型，用待定系数法求得．此过程一般要求乘积函数Ｐ。（ｚ）ｅｈ的ｒｌ阶导数，再代入微分方程，计算量随方程的阶迅速增大，计算困难．如果采用算子解法，就得求算子厂（Ｄ）的逆算子，较困难．本文提供一种用多项式求导数和待定系数法的求特解的一个公式，既简单又易计算．

为方便叙述，约定：

设有理阶线性常系数非齐次方程：

Ｙ‘“’＋ａｌＹ‘”＂＋…＋口。ｙ—Ｐ。（ｚ）ｅｈ（１）

其中ａ。，ａ：，…，ａ。问呈，Ａ为常数．Ｐ。（ｚ）是ｚ的ｍ次多项式厂（ｒ）＝，＋ａｌ，－１＋…＋口。称为方程（１）的特征多项式，，（ｚ）＝０为其特征方程．（１）的特解Ｙ。＝一Ｑ。（ｚ）ｅｂ，其中Ｑ。（ｚ）为待定优次完整多项式，，．＝Ａ是特征方程，（ｚ）＝０的ｈ重根．

２定理及证明

定理，ｚ阶常系数线性非齐次方程（１）的特解Ｙ。＝一Ｑ。（ｚ）ｅｈ＝Ｑ（ｘ）ｅｂ满足公式：

ｍ）Ｑ（ｚ）＋朋）Ｑ『（ｚ）＋掣Ｑ，，（ｚ）＋．．・＋学叭ｚ）＝蹦别（２）即∑严’（．：Ｉ）Ｑ㈣（ｚ）＝Ｐ．（ｚ）．正五

证明由ｙ’一Ｑ（ｚ）ｅｈ知：

Ｙ州）＿∑Ｃｆ（ｅ打）㈣Ｑ‘Ｈ’（ｚ）一（∑Ｃ｝矿Ｑ‘Ｈ’（ｚ））ｅｈ（３）

又厂（，－）＝，＋口ｌ，一１＋口２广一２＋…＋ａ。牧稿日期：２００５－０９一１１

万方数据

５期邓云辉：线性常系数非齐次微分方程的特解公式１９９ｆ‘‘’（，．）一砣（，ｌ一１）…（咒一Ｚ＋１），一‘＋ａ１（行一１）（疗一２）…（咒一Ｚ），一。一１＋…＋ａｚＺ！

＝ｚＩ［ｆ：，一１＋以一，矿一一１＋…＋口ｆ］

将（３）代人（１）整理得：（口。＝１）

月（４）ｆ

Ｅ口，（∑ｆｆ”Ｑ‘¨’（ｚ））ｅｂ＝Ｐ。（ｚ）ｅｂ』一０●。０

即：

＿ｆ

∑∑口，砖Ｑ‘卜‘’（ｘ）ＩＰ＝Ｐ。（ｚ）

于是有：

∑六［ｆ：刀一‘＋口。ｃ：一，刀一。一１＋…＋口，］Ｑ∽（ｚ）＝Ｐ。（ｚ）ｆ＝０’；

由（４）即得：

妻ｌ－－０者严（帕∞（ｚ）－蹦ｚ）

证毕

注：上述Ａ可以是复数，即此定理可以用于下列微分方程求特解：

辨Ｃ０Ｓ始

昭Ｙ‘”’＋ａｌｙ‘。一Ｄ＋…＋ａ．ｙ＝尸尸孵Ｓ．Ⅱｌ

３定理的应用

例１求方程Ｙ”一４ｙ７＋４ｙ＝（ｚ２＋ｚ＋１）ｅｚｆ的特解ｙ。

解方程的特征多项式，（ｒ）一ｒ２—４，．＋４特征根，．。＝ｒ：＝２，Ａ＝２故设特解ｙ‘＝ｚ２（ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ）ｅ２。＝Ｑ（ｘ）ｅ缸其中ａ、ｂ，ｃ为待定常数，又

，（Ａ）＝，（２）＝０，厂（Ａ）＝０，尸，（Ａ）一２

由定理知：厂（２）Ｑｏ）＋尸（２）Ｑ，（ｚ）＋￡暑Ｑ”（ｚ）：一＋ｚ＋１

有：击［一（ａｘ２＋ｂｘ＋ｆ）］’＝ｚ２＋ｚ＋１

由此可得：口＝亚１，６＝百１，ｃ＝虿１故所求特解ｙ。＝ｚ２（矗ｚ２＋百１ｚ＋虿１，）ｅ缸

例２求微分方程：Ｙ”＋９ｙ＝一ｚ

解ＣＯＳ先考查方程：Ｙ”＋９ｙ＝一ｚ如的特解Ｙ。（ｉ＝闩’）则所求特解ｙ。一Ｒｅ（Ｙ。）

Ｙ。＝ｘ（ａｘ＋６）ｅ妇＝Ｑ（ｚ）ｅ妇３ｘ的特解Ｙ。，（取实部）由于厂（ｒ）＝ｒ２＋９，Ａ＝３ｉ是特征方程，（ｒ）＝０的单根，设

由定理的公式（２）知：

厂（Ａ）Ｑ（ｚ）＋尸（Ａ）Ｑ，（ｚ）＋￡鲁坠Ｑ”（ｚ）：一ｚ

得：６ｉ（２ａｘ４－６）＋２ａ＝一，２７

１．，１

口２弦２，Ｄ２一丽

所以

万方数据

２００数学的实践与认识３９卷

ｙ－＝ｚ（南ｚ一点）产

故原方程的特解

ｙ。＝Ｒｅ（ｙ。）＝一五１。２ｓｉｎ３ｘ一壶ｚ

４－６ＣＯｓ３ｘ例３求ｙ艚＋６ｙ”４－ｌｌｙ’４－６ｙ＝一４－２ｘ＋１的特解．解方程的特征多项式厂（，．）＝，．３＋６，．２４－１ｌｒ

其特征根ｒ。＝一ｌ，ｒ：＝一２，ｒ。＝一３Ａ＝０不是特征根

因而设特解Ｙ。＝ａｘ３

由公式（２）得：４－ｂｘ２４－ＣＸ４－ｄ＝Ｑ（ｚ）又ｆ（Ｏ）＝６，尸（Ｏ）＝１１，广（Ｏ）＝１２，广（０）＝６

们）Ｑ（ｚ）＋们）Ｑ，（ｚ）＋眢Ｑ‰）＋掣叭ｚ）＝ｚ３＋２ｚ＋１

ＩｉＰ６（口ｚ３＋如２＋ｆｚ４－ｄ）４－１１（３ａｘｚ＋２ｂｘ＋ｆ）＋万１２（６口ｚ４－２ｂ）４－３－鲁（６ｎ）＝ｚ３＋２ｚ＋１

１．得：】】９７。

口２百，扫一一弦，ｆ２丽’ｄ

故所求方程的特解２一一２１６６７１

ｙ‘＝丢ｚ３一曼ｚ２＋矍ｚ一累

这种方法有效地简化了通常方法的乘积求导计算，即求Ｙ。一Ｑ（ｘ）ｅｈ的雅阶导数，避免了算子解法中求厂（Ｄ）的逆算子问题等用到的数学工具，是只用多项式求导数（值）和解方程组就能完成的初等方法．

参考文献：

Ｅｌｌ同济大学教学教菥室．高导数学［Ｍ］．北京，高等教育出版社，１９９６．１２．

［２］王柔怀，伍卓群．常微分方程讲义［Ｍ］．北京：人民教育出版杜，１９７９．

ＡＦｏｒｍｕｌａｆｏｒＦｉｎｄｉｎｇＰａｒｔｉｃｕｌａｒＳｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆ

ＯｒｄｉｎａｒｙＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎ

ＤＥＮＧＹＵＳ—ｈｕｉ

（ＳｉｃｈｕａａＥｎｇｉｎｅｒｉｎｇＴｅｃｈｎｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅ，ＤｅｙａｎｇＳｉｃｈｕａｎ６１８０００・Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇｔｈｅｄｅｒｉｖａｔｅｏｆｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓａｎｄａｌｇｅｂｒａｉｃ

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万方数据

线性常系数非齐次微分方程的特解公式

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被引用次数：邓云辉， DENG Yun-hui四川工程职业技术学院,四川德阳,618000数学的实践与认识MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY2009，39(5)0次

参考文献(2条)

1.同济大学教学教菥室 高导数学 1996

2.王柔怀.伍卓群 常微分方程讲义 1979

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