二次型的正定性及其应用

毕业论文

题 目： 二次型的正定性及其应用

学生姓名： 孙云云

学生学号： 0805010236

系 别： 数学与计算科学系

专 业： 数学与应用数学

届 别： 2012 届

指导教师： 李远华

目 录

摘 要............................................................. (1) 前言.............................................................. (1) 1 二次型的概念.................................................... (2)

1.1 二次型的矩阵形式 .......................................... (2)

1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 ................................ (2) 2 二次型的正定性一些判别方法及其性质.............................. (3) 3 二次型的应用.................................................... (8)

3.1 多元函数极值 .............................................. (8)

3.2 线性最小二乘法 ........................................... (12)

3.3 证明不等式 ............................................... (14)

3.4 二次曲线 ................................................. (16) 结论............................................................. (17) 致谢............................................................. (17) 参考文献......................................................... (17)

淮南师范学院2012届本科毕业论文 二次型的正定性及其应用

学生：孙云云

指导老师：李远华

淮南师范学院数学与计算科学系

摘 要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。

关键词：二次型；矩阵；正定性；应用

The second type of positive definite matrix and its

applications

Student: Sun YunYun

Instructor: Li YuanHua

Department of mathematics and Computational Science, Huainan Normal University

Abstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves.

Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application

前言

二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系. 因此, 二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.

1 二次型的概念

定义1.1 设P 是一个数域，a ij ∈p,n 个文字x 1, x 2, …, x n 的二次齐次多项式

f (x 1, x 2,..., x n ) =a x +2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+... +2a 1n x 1x n +a x +2a 23x 2x 3+... +2a 2n x 2x n +...... +a nn x n =∑∑a ij x i x j 211122222

i =1j =1n n

(a ij =a ji , i , j =1, 2,..., n ) 称为数域p 上的一个n 元二次型，简称二次型. 当a ij 为实数时，f 称为实二次型. 当a ij 为复数时, 称 f为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项，即f (x 1, x 2,..., x n ) =d 1x 12+d 1x 22+... +d n x n 2称f 为标准型.

1.1 二次型的矩阵形式

二次型f (x 1, x 2,..., x n ) 可唯一表示成f (x 1, x 2,..., x n ) =x T Ax ，其中

x =(x 1, x 2,..., x n ) T ，A =(a ij ) n ⨯n 为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A 为

二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A 的秩为二次型f 的秩.

1.2 正定二次型与正定矩阵的概念

定义1.2 设f (x 1, x 2,..., x n ) =x T Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果

对任意不全为零的实数c 1, c 2,..., c n 都有f (c 1, c 2,... c n ) >0，则称f 为正定二次型, 称A 为正定矩阵；如果f (c 1, c 2,... c n ) ≥0，则称f 为半正定二次型，称A 为半正定矩阵; 如果f (c 1, c 2,... c n )

定义1.2 另一种定义 具有对称矩阵A 的二次型f =X T AX ,

(1) 如果对任何非零向量X , 都有X T AX >0 （或X T AX

(2) 如果对任何非零向量X , 都有X T AX ≥0 （或X T AX ≤0）

成立，且有非零向量X 0，使X 0T AX 0=0，则称f =X T AX 为半正定（半负定）二

淮南师范学院2012届本科毕业论文 次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.

注:二次型的正定(负定) 、半正定(半负定) 统称为二次型及其矩阵的有定性. 不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.

二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系. 因此, 二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.

2 二次型的正定性一些判别方法及其性质

定理2.1 设A 为正定矩阵, 若A ≌B (A 与B 合同) , 则B 也是正定矩阵. 定理2.2 对角矩阵D =diag (d 1, d 2, , d n ) 正定的充分必要条件是

d i >0(i =1, 2, , n ) .

定理2.3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是A 的特征值全大于零. 定理2.4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数p =n .

定理2.5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使A =C T C . 即A 与E 合同.

推论2.1 若A 为正定矩阵, 则|A |>0.

定理2.6 秩为r 的n 元实二次型f =X T AX , 设其规范形为

222z 12+z 2+ +z 2

p -z p +1- -z r

则：

(1)f 负定的充分必要条件是p =0, 且r =n . (即负定二次型, 其规范形为

22f =-z 12-z 2- -z n )

(2)f 半正定的充分必要条件是p =r

2f =z 12+z 2+ +z r 2, r

2- -z r 2, r

(4)f 不定的充分必要条件是0

222f =z 12+z 2+ +z 2

p -z p +1- -z r )

定义2.1 n 阶矩阵A =(a ij ) 的k 个行标和列标相同的子式

a i 1i 1

a i 2i 1

a i k i 1a i 1i 2a i 2i 2 a i k i 2 a i 1i k a i 2i k a i k i k (1≤i 1

称为A 的一个k 阶主子式. 而子式

a 11

a |A k |=21

a k 1a 12a 22 a k 2 a 1k a 2k a kk (k =1, 2, , n )

称为A 的k 阶顺序主子式.

定理2.7 n 阶矩阵A =(a ij ) 为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有顺序主子式|A k |>0(k =1, 2, , n ) .

证明：必要性 设二次型

f (x , x , , x ) =a x x ∑∑12n ij i j i =1j =1n n

是正定的．对于每个k ，1≤k ≤n ，令

f (x , x , , x ) =a x ∑∑k 12k ij i x j ， i =1j =1k k

则对于任意一组不全为零的实数c ，有 , c , , c 12k

f (c , c , , c ) =a c c f (c , , c , 0, , 0) >0∑∑． k 12k ij i j =1k

i =1j =1k k

因此f 是正定的．由推论5.4.1，f k 的矩阵的行列式 (x , x , , x ) k 12k

12 k ⎛⎫ ⎪A >0, k =1, , n ． ⎪12 k ⎝⎭

故矩阵A 的顺序主子式全大于零．

2充分性 对n 作数学归纳法．当n =1时，f (x ) =a x 1111，由条件a 11>0，显然

淮南师范学院2012届本科毕业论文 有f (x 1) 是正定的．

假设充分性的论断对于n -1元二次型已经成立，那么对n 元情形，令

⎛a ⎫⎛a ⎫1, n -1⎪n ⎪ 11 a 1

A , α= ⎪， 1= ⎪ ⎪ ⎪a a a n -1, 1 n -1, n -1n -1, n ⎭⎝⎭⎝

则矩阵A 分块为

⎛A α⎫A = 1⎪． 'αa nn ⎭⎝

由A 的顺序主子式全大于零知道A 1的顺序主子式也全大于零．因此，由归纳假定，A 1是正定矩阵，即有n -1阶可逆矩阵G , 使

'G A G =E 1n -1．

取

⎛G 0⎫C 1= 01⎪⎪， ⎝⎭

则

'⎫'0A E G G 0⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛1n -1G ． 'C A C == ⎪ ⎪11 ⎪ ⎪'a 'G a 0101⎝⎭⎝⎭⎝n n n n ⎝⎭⎭αααα

再取

'-G α⎫， ⎛E n -1C =2 ⎪1⎭⎝0

则

'⎫'⎫E E E G ⎛⎛⎫⎛n -1G n -10n -1- ''C C A C C = ⎪2112 '⎪ ⎪'a -G 101⎝⎭⎝⎭n n ⎝G ⎭αααα

0⎛E ⎫= n -1⎪ ''αG G α⎭n n -⎝0a ,

令C =C 1C 2，a =a nn -α'GG 'α．

则有

⎛1 1C 'A C = ⎝⎫⎪⎪. ⎪⎪a ⎭

两边取行列式，得|C |2|A |=a ．由于|A |>0，因此a >0

．显然

11⎫⎛⎫11⎛⎫⎛⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1111 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a 1⎝⎭⎝⎝⎭⎝这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同．所以A 是正定矩阵，故二次型f (x , x , , x ) 12n 正定．

注：(1)若A 是负定矩阵，则-A 为正定矩阵.

(2)A 是负定矩阵的充要条件是：(-1) k |A k |>0, (k =1, 2, , n ).

其中A k 是A 的k 阶顺序主子式.

(3)对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:

a. 对称矩阵A 是半正定（半负定）的;

b. A 的所有主子式大于（小于）或等于零；

c. A 的全部特征值大于（小于）或等于零.

例2.1 设M 是n 阶实对称矩阵, 则必存在正实数t, 使得tI+M为正定阵，其中I 是单位矩阵.

证明：矩阵正定的充要条件:

对任意x 不等于0向量, 有X T MX >0，X T (TI +M ) X =TX T X +X T MX ，

在所有的X 中选一个X, 使X T MX 的值最小, X T MX =-MAX , 其中MAX>0，而这时对应的X T X 的值为K, 且K 肯定大于0.

又K,MAX 都是常数, 则必存在常数T, 使TK-MAX>0，即X T (TI +M ) X =TX T X +X T MX >0

故TI+M正定.

例 2.2 考虑二次型f =x 12+4x 22+4x 2

3+2λx 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3, 问λ为何值

时，f 为正定二次型.

淮南师范学院2012届本科毕业论文 ⎛1λ-1⎫ ⎪解:利用顺序主子式来判别, 二次型f 的矩阵为A = λ42⎪，A 的顺序

-124⎪⎝⎭

主子式为

∆1=1>0

1

∆3=λ； ∆2=1λλ4=4-λ2；λ-1

442-1=-4λ2-4λ+8=-4(λ-1)(λ+2) . -12

于是，二次型f 正定的充要条件是：∆2>0, ∆3>0，有∆2=4-λ2>0，可知，-20,

可得-2

所以，当-2

例2.3 已知A-E 是n 阶正定矩阵，证明E -A -1为正定矩阵.

分析：只要证明E -A -1的特征值全大于零即可

证明:由A -E 正定知A 是实对称矩阵，从而，(E -A -1) T =E -(A T ) -1=E -A -1

T

3 二次型的应用 3.1 多元函数极值

在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决

定义3.1.1 设n 元函数f (X ) =f (x 1, x 2, x n ) 在X =(x 1, x 2, , x n ) T ∈R n 的某

⎛∂f (X ) ∂f (X ) ∂f (X ) ⎫个邻域内有一阶、二阶连续偏导数. 记∇f (X ) = , , , ⎪,

∂x 2∂x n ⎭⎝∂x 1

∇f (X ) 称为函数f (X ) 在点X =(x 1, x 2, , x n ) T 处的梯度.

定义3.1.2 满足∇f (X 0) =0的点X 0称为函数f (X ) 的驻点.

⎛∂2f (X )

2

∂x 1 = 2

∂f (X ) ∂x ∂x ⎝n 1

∂2f (X ) ∂2f (X ) ⎫

⎪

∂x 1∂x 2∂x 1∂x n ⎪

⎪ ⎪

∂2f (X ) ∂2f (X ) ⎪

2⎪∂x n ∂x 2∂x n

⎭

⎛∂2f (X ) ⎫

定义3.1.3 H (X ) =

∂x ∂x ⎪⎪⎝i j ⎭n ⨯n

称为函数f (X ) =f (x 1, x 2, x n ) 在点X ∈R n 处的黑塞矩阵. 显然H (X ) 是由f (X ) 的n 2个二阶偏导数构成的n 阶实对称矩阵.

00T

定理3.1.1 (极值存在的必要条件) 设函数f (X ) 在点X 0=(x 10, x 2, , x n ) 处

存在一阶偏导数，且X 0为该函数的极值点，则∇f (X 0) =0.

定理3.1.2 (极值的充分条件) 设函数f (X ) 在点X 0∈R n 的某个邻域内具有

⎛∂f (X 0) ∂f (X 0) ∂f (X 0) ⎫

, , , 一阶、二阶连续偏导数，且∇f (X 0) = ⎪=0 ∂x ∂x ∂x 12n ⎝⎭

则:(1) 当H (X 0) 为正定矩阵时，f (X 0) 为f (X ) 的极小值; (2) 当H (X 0) 为负定矩阵时，f (X 0) 为f (X ) 的极大值; (3) 当H (X 0) 为不定矩阵时，f (X 0) 不是f (X ) 的极值. 应注意的问题：

利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法, 但也有一定的局限性, 因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的, 若条件不满足, 那

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结论就不一定成立.

例3.1.1 求三元函数f (x , y , z ) =x 2+2y 2+3z 2+2x +4y -6z 的极值.

解:先求驻点，由

⎧f x =2x +2=0⎪

⎨f y =4y +4=0得x =-1, y =-1, z =1

⎪

⎩f z =6z -6=0所以驻点为P 0(-1, -1,1) . 再求(Hessian)黑塞矩阵

因为f xx =2, f xy =0, f xz =0, f yy =4, f yz =0, f zz =6,

⎡200⎤

⎥，可知H 是正定的，所以f (x , y , z ) 在P (-1, -1,1) 点取得极小040所以H =⎢0⎢⎥

⎢⎣006⎥⎦

值：f (-1, -1,1) =-6.

当然，此题也可用初等方法f (x , y , z ) =(x +1) 2+2(y +1) 2+3(z -1) 2-6求得极小值-6，结果一样.

xx , 2, , x ) 定理3.1.3 设n 元实函数f (在点P 0的一个邻域中连续，且有足1n 'X 正xx , 2, , x ) 够高阶的连续偏导数，则函数f (在点P 0近旁有性质：1）若XA 1n 'X 负定，则P 0为极大点；3）若XA 'X 不定，则P 0定，则P 0为极小点；2）若XA

非极大点或极小点；4）其余情形时，在点P 0性质有待研究余项R 的性质来确

'X 半正（负）定，则P 0为极小（大）定. 特别当是二次函数时，R=0，只要XA

点.

22

例3.1.2 求函数z =x y l n (x +y ) 的极值.

2

2xy 'y 解：z l n (x +y ) 22 x =

x +y

2

2

22x y 'x z l n (x +y ) 22 y =

x +y

2

2

⎧1⎪x =±⎧z '=0x =0x =±1⎧⎧2e ⎪⎪x

, ⎨解方程组⎨，易得，⎨，⎨

y =±1y =01'⎩⎩⎪y =±⎪⎩z y =0

⎪2e ⎩

22222

2(x y x +y ) 2x y (3x +y ) ''''z , z x x y y 222222(x +y ) (x +y )

44

2(x +y ) ''''z =z =l n (x +y ) x y y x 222 (x +y )

2

2

⎛z xx

于是，A =

⎝z yx z xy ⎫⎪

z yy ⎭，经计算得

2⎛

A |=A |= (0⎝0⎫

正定；

⎪2⎭

-20⎛⎫

A |=A |= 负定； ⎪0-2⎭⎝

⎛02⎫A |(±A |(01, 0) =, ±1) = ⎪不定.

20⎝⎭

故在点(±1, 0) ，点(0,±1) ，Z 不取极值；

在, (点，1z =Z 取极小值，z 极小=-1；

在点，Z 取极大值，. , (极大

2e

2e

下面利用二次型的矩阵的特征值求多元函数的最值. 设n 元二次型

f (X ) =X AX (X =(x 1, x 2,..., x n )) ，则f 在条件∑x i 2=1下的最大（小）值恰为

T

T

n

i =1

矩阵A 的最大（小）特征值. 例3.1.3 求函数

f (x , x , x ) =2x x -2x x +2x x 123121313

T T 222

=(x , x , x ) 满足条件XX=x +x +x =1在X的最小值. 123123

T

X) =XA X作正交变换X=Q Y， 解：先对二次型f (将其化为标准形式T T T T 222

λy +λy +λy X=YQ Q Y=YY=y +y +y =1, 然后在条件X下讨论函112233123

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数的最小值. 该二次型的实对称矩阵为

⎡01-1⎤

⎥， A =⎢101⎢⎥

⎢⎣-110⎥⎦

2

E =(λ+2)(λ-1) 它的特征多项式λ.

T T

对于特征值λ=1，求得两个线性无关的特征向量(；再用1, 1, 0) , (-1, 0, 1)

Schmidt 正交化方法，得两个单位正交的特征向量

11112

ξ, 0) , ξ)

T

2

T

2

3

6

取正交矩阵

⎡1

⎢3⎢

1

Q =(ξ1, ξ2, ξ3) =⎢-

⎢⎢1⎢⎣3

则有

12120

-

1⎤6⎥⎥1⎥

⎥2⎥⎥6⎦

T

. Q AQ =diag (-2, 1, 1)

T

对二次型f (做正交变换X=Q X) =XA XY，得

T T 222

f (X) =Y(Q AQ ) Y=-2y +y +y . (1) 123

T 222

相应地，条件X化为 X=x +x +x =1123

T T T 222

. (2) YQ Q Y=YY=y +y +y =1123

于是原题意化为对(1) 式的三元二次其次函数在满足条件(2) 时求其最小值. 此时，显然有

222222

f (X) =-2y +y +y ≥y +y +y =-2 123123

T

=(y , y , y ) =(±1, 0, 0) 2，又当Y时f =-2，所以f 满足条件(2) 的最小值f min =-123T T T

=(1, 0, 0) Y=(-1, 0, 0) X=(x , x , x ) 而且它仅在Y和处取得最小值. 回到变元12123，

则

f (x , x , x ) 123

在

111T

X=Q Y=ξ) 111

和

111T

X=Q Y=ξ=) 处取得最小值. 222

最后再介绍一个有用的定理：

T

X =(x , x ,..., x ) 12n 定理3.1.3 设A 为n 阶正定矩阵与∂=(c 1, c 2,..., c n ) 实向

T

T T

f (x ) =x Ax +2αx +β当x =-A -1α时取得最小值β量，为实数，则实函数

β-αT A α.

证明:f =x T

[

⎡A 1⎢T ⎣α

]

α⎤⎡x ⎤-1

∴A ，由A 正定，存在（对称）而⎥⎢⎥β⎦⎣1⎦

0⎤⎡A ⎡E n

⎢-αT A -11⎥⎢αT ⎣⎦⎣

⎡

⎢-αT A -1⎣

E n

-1

α⎤⎡E n 0⎤⎡A 0⎤

=⎢T -11⎥⎢0β-αT A -1α⎥β⎥⎦⎣-αA ⎦⎣⎦，

0⎤0⎤⎡E n T

f =x =⎢αT A -11⎥1⎥⎦⎣⎦，

[

0⎤⎡A 0⎡E ⎤⎡x ⎤

1⎢T n -1⎥⎢⎢⎥1⎦⎣0β-αT A α⎥⎣αA ⎦⎣1⎦

]

-1-1

其中，Y =X +A α， A 正定，故⇔X =-A α，所以f (x ) 取得最小值

β-αT A α.

3.2 线性最小二乘法 众所周知，线性方程组

⎧a 11x 1+a 12x 2+…+a 1s x s -b 1=0⎪a x +a x +…+a x -b =0⎪2112222s s 2⎨可能无解. ………………………………⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+…+a ns x s -b n =0

即任何一组x 不等于0，我们设…x s 都可能使得y =(a x +a x +…+a x b ) 1, x 2…∑i 11i 22i s s -i

i =1n

000000

法找到x ，使得y 最小，这样x 称为方程组的最小二乘解. 这…x …x 1, x 2…s 1, x 2…s

种问题就叫最小二乘法问题.

T

若记A 为上述方程组的系数矩阵，B =(b , b ……, b ) 12n . 于是，使得y 值最小

'的X 一定是方程组A 的解，而其系数矩阵A 'A 是一个正定矩阵，它的惯A XA ='B

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性指数等于n ，因此这个线性方程组总是有解的，这个解就是最小二乘解. 例3.2.1 已知某种材料在生产过程中的废品率y 某种化学成分x 有关, 下列表中记载了某工厂生产中y 与相应的x 的几次数值

我们想找出y 对x 的一个近似公式.

解:把表中数值画出图来看, 发现它的变化趋势近于一条直线, 因此我们决定选取x 的一次式ax+b来表达, 当然最好能选到适当的a,b 使得下面的等式

3.6a+b-1.00=0 3.7a+b-0.9=0 3.8a+b-0.9=0 3.9a+b-0.81=0 4.0a+b-0.60=0 4.1a+b-0.56=0 4.2a+b-0.35=0

都成立, 实际上是不可能的. 任何a,b 代入上面各式都发生些误差, 于是想找到a,b 使得上面各式的误差的平方和最小, 即找a,b 使

(3.6a+b-1.00)2+(3.7a+b-0.9)2+(3.8a+b-0.9)2+(3.9a+b-0.81)2+(4.0a+b-0

.60) 2+(4.1a+b-0.56)2+(4.2a+b-0.35)2

最小, 这里讨论的是误差的平方即二乘方, 故称为最小二乘法, 用最小二乘法解. 易知

⎛ A= ⎝

3. 63. 73. 83. 94. 04. 14. 2

1⎫⎛1. 00⎫⎪ ⎪1⎪0. 9 ⎪

0. 9⎪1⎪⎪ ⎪1⎪,B= 0. 81⎪.

0. 60⎪1⎪⎪ ⎪ 0. 56⎪1⎪⎪ ⎪1⎭0. 35⎝⎭

最小二乘解a,b 所满足的方程就是

⎛A T A

⎝a ⎫T

⎪⎪-A B=0. b ⎭

106. 75a +27. 3b -19. 675=0⎧即为⎨

27. 3a +7b -5. 12=0. ⎩

解得

a=-1.05,b=4.81.(取三位有效数字)

3.3 证明不等式

其证明思路是:首先构造二次型, 然后利用二次型正（半）定性的定义或等价条件, 判断该二次型（矩阵）为正（半）定矩阵, 从而得到不等式.

例3.3.1求证：9x 2+y 2+3z 2>2yz -4xy -2xz （其中x , y , z 是不全为零的实数）.

证明：设二次型f (x , y , z ) =9x 2+y 2+3z 2-2yz +4xy +2xz ，则f 的矩阵是

1⎤⎡92

⎥， A =⎢21-1⎢⎥

⎢⎣1-13⎥⎦

因为，A 的各阶顺序主子式为：9=9>0；从而f >0（因为x , y , z 是不全为零的实数），即

92

=5>0，所以，A 正定，21

f (x , y , z ) =9x 2+y 2+3z 2-2yz +4xy +2xz >0.

（其中x , y , z 是不全为零的实数）, 结论得证.

, b (i =1, 2, , n ) 例3.3.2（Cauchy 不等式）设a 为任意实数, 则 i i

⎧a 11x 1+a 12x 2+…+a 1s x s -b 1=0

⎪a x +a x +…+a x -b =0⎪2112222s s 2

……⎨

⎪………………………………⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+…+a n s x s -b n =0x 10, x 20……x s 0y =

∑

n

(a i 1x 1+a i 2x 2+…+a i s x s -b i )

.

i =1

B =(b 1, b 2……, b n ) T A 'A X =A 'B

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n

22

i i 12i 2i =1i =1n

证明:记f (x ,) x =(a x +b x ) =(a ) x +2(a b ) x x +(b ) x ∑∑∑∑12i 1i 2

i =1，

22

i 1i =1

n

2

n

因为对于任意x 1, x 2, 都有f (x , 故关于x 1, x 2的二次型f (x 1, x 2) 是半1, x 2) ≥0正定的. 因而定理2.7的注意知, 该二次型矩阵的行列式大于或等于0, 即

∑∑

n

n

n

a

2

i

i =1n

∑

n

a i b i

≥0

b i 2

i =1

，

a i b i

n

i =1

∑

n

i =1

222故得( a b (a ⨯(b ∑∑∑i i ) ≤i ) i )

i =1i =1i =1.

例3.3.3 证明：n

2

x ≥(x ) ∑∑i

2i

i =1

i =1

n

n

n n

22证明：记fx , 其中 '(,x , , x ) =n x (x ) =X A X ∑∑12n i -i

i =1

i =1

n -1-1⎛

1n -1 -'X =(x , x , , x ) , A =12n

1-1⎝-

-1⎫

⎪

-1⎪ ⎪

⎪

n -1⎭,

将矩阵A 的第2,3, …, n 列分别加到第一列, 再将第2,3, …, n 行减去第1行, 得

⎛0

A ～ 0

⎝0

-1 n 0

-1⎫⎪

0⎪ ⎪⎪n ⎭,

于是A 的特征值为0, n , , n , 由定理可知, A 为半正定矩阵, 即二次型是半正

(,x , , x ) ≥0定的, 从而得fx , 即 12n

n ∑x

i =1

n

2

i

2

≥(∑x i )

i =1,

n

结论得证.

例3.3.4 设α, β, γ是一个三角形的三个内角, 证明对任意实数x , y , z , 都有

222

x +y +z ≥2x y c o s2+x z c o s2+y z c o s .

αβγ

'(X ) =X A X =x +y +z -2x y c o s -2x z c o s -2y z c o s 证明：记f ，

222

αβγ

c o s -c o s ⎡1-⎤

⎢⎥其中X '=(x ,, y zA ) , =-c o s 1-c o s , ++=, c o s =-c o s (+) ⎢⎥⎢⎥-c o s -c o s 1⎣⎦.

αβαγαβγπγβγ

αβ

⎡1-cos α

对A 做初等行变换得:A ～⎢0sin α

⎢⎢0⎣0-cos β⎤

, 于是A 的特征值为0,1, sin α, 从-sin β⎥⎥0⎥⎦

而得二次型f (X ) 是半正定的, 即对于任意实数x , y , z , f (X ) ≥0, 得证. 例3.3.5 设A 为n 阶半正定矩阵, 且A ≠0, 证明A +E >1.

证明：设A 的全部特征值为λ, 则A +E 的全部特征值为 i =1, 2, , n ) i (

λi +1

. 因为A +E 为实对称矩阵, 所以存在正交矩阵T , 使得 (i =1, 2, , n )

λ1⎡1+

⎢1⎢A +E =T -

⎢⎢⎣

⎤⎥λ12+⎥T ⎥

⎥λ1n +⎦,

由于A 为半正定矩阵，且A ≠0，则A +E 是半正定的，且其中至少有一个

λi 0>0，同时至少有一个等于0. 故A +E =∏(λi +1) ≥λi 0+1>1，结论得证.

i =1

n

以上是根据不等式的要求证明该二次型为半正定二次型, 从而证明不等式. 使用这种方法简单方便. 3.4 二次曲线

事实上，化简二次曲线并判断曲线的类型所用的坐标变换就是二次型中的非退化线性替换，因此可以利用二次型判断二次曲线的形状.

例3.5.1 判断二次曲线x 2+4y 2-2-2xy +2x =0的形状. 解：设f (x , y ) =x 2+4y 2-2-2xy +2x ，

令g (x , y , z ) =x 2+4y 2-2z 2-2xy +2xz ，则f (x , y ) =g (x , y , 1) . 对g (x , y , z ) 实

4⎧

x =x +y -z 111⎪⎧x 1=x -y +z 3⎪⎪z z ⎪

施非退化线性替换：⎨y 1=y +, 即⎨y =y 1-1

33⎪⎪

z =z 1z =z 1⎪⎩

⎪⎩

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则g (x , y , z ) =x 12+3y 12-

10210z 1，从而f (x , y ) =g (x , y , 1) =x 12+3y 12-=0. 即33

3292

x 1+y 1=1，故曲线x 2+4y 2-2-2xy +2x =0表示椭圆. 1010结论

二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物理的许多分支都有着广泛的应用。用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题，有时会起到意想不到的效果。

本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方面的应用。将多元元函数求极值问题化为一个二次型问题。在三元及三元以上多元函数求极值时，这个方法比一般工科高等数学教材中介绍的求极值方法好用，而且能够确定是极大值还是极小值。 致谢

值此本科学位论文完成之际，首先要感谢我的导师李远华老师。李老师从一开始的论文方向的选定，到最后的整篇文论的完成，都非常耐心的对我的论文进行指导。给我提供了大量数据资料和建议，告诉我应该注意的细节问题，细心的给我指出错误，修改论文。李老师诲人不倦的工作作风，一丝不苟的工作态度，严肃认真的治学风格给我留下深刻的影响，值得我永远学习。在此，谨向导师李远华老师致以崇高的敬意和衷心的感谢！

这次毕业论文能够得以顺利完成，并非我一人之功劳，是所有指导过我的老师，帮助过我的同学和一直关心支持着我的家人对我的教诲、帮助和鼓励的结果。我要在这里对他们表示深深的谢意！

参考文献：

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[4] 李宏伟，等. 线性代数学习辅导与习题解析[M].科学出版社,2009. [5] 徐仲，陆全，吕全义，等. 高等代数[M].西北工业大学出版社，2006. [6] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M].中央民族大学出版社，2007.

[7] 岳贵鑫. 正定矩阵及其应用[J].辽宁省交通高等专科学校报，2008，10（5）:45-48. [8] 曹璞. 正定矩阵的判定与性质[J].南都学坛（自然科学专号）,1994,14(3):76-79. [9] 薛蓉华. 二次型性质的若干应用[J].福建工程学院学报，2011，9（3）:15-18.

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[11] 杨家骥. 高等代数在初等数学中的应用[M].济南：山东教育出版社，1992.