3. 市场风险计算 解析

例9-1

已知某种债券的面值为1000元，期限为10年，票面年利率为6%，年到期收益率为8%。试求该债券的麦考利久期和修正的久期。

解：

（1）债券的久期也可以称为债券的有效期限或麦考利久期，其计算公式为：

⎤1n ⎡C t

D =⋅∑⎢⋅t ⎥ t

P 0t =1⎣(1+K ) ⎦

式中，D ——债券的有效期限。

C t ——债券各期的现金流（利息或本金）。 K ——债券的到期收益率。 t ——任何有现金流的期数。

P 0——债券的现值，由下式计算。

P 0=∑

t =1

n

C t

t

(1+K )

（2）修正的久期=麦考利久期/（1+到期收益率）

【例9-2】

某投资者于2004年12月20日购买一种债券，债券的票面利率为6%，每半年付息一次，到期日为2008年6月15日，到期收益率为8%，日计数基准为实际天数/365。试求该

债券的麦考利久期和债券修正的久期。

解：

（1）债券的久期也可以称为债券的有效期限或麦考利久期，其计算公式为：

⎤1n ⎡C t

D =⋅∑⎢⋅t ⎥ t

P 0t =1⎣(1+K ) ⎦

式中，D ——债券的有效期限。

C t ——债券各期的现金流（利息或本金）。 K ——债券的到期收益率。 t ——任何有现金流的期数。

P 0——债券的现值，由下式计算。

P 0=∑

t =1

n

C t

(1+K ) t

（2）修正的久期=麦考利久期/（1+到期收益率）

【例9-3】

某债券面值1000元，票面年利率8%，期限10年，目前的市价为960元，求其到期收益率。若到期收益率降低1%，则债券的价格将变为多少？

解：

（1）债券的久期也可以称为债券的有效期限或麦考利久期，其计算公式为：

⎤1n ⎡C t

D =⋅∑⎢⋅t ⎥

P 0t =1⎣(1+K ) t ⎦

式中，D ——债券的有效期限。

C t ——债券各期的现金流（利息或本金）。 K ——债券的到期收益率。 t ——任何有现金流的期数。

P 0——债券的现值，由下式计算。

P 0=∑

t =1

n

C t

t

(1+K )

（2）修正的久期=麦考利久期/（1+到期收益率）

（3）债券价格的变化量与债券到期收益率变化之间的近似关系如下：

∆P

=-D m ⋅∆y P 0

式中，△P ——债券价格的改变量。 P 0——债券最初的价格。 D m ——债券修正的久期。 y ——债券的年到期收益率。

△y ——债券到期收益率的改变量。

债券价格的变化量与债券到期收益率变化之间的近似公式是在假定债券的价格变动率与到期收益率变动量之间具有线性关系的条件下得出的，它表明如果到期收益率增加1%，

M M 【例9-4】

某债券面值1000元，票面年利率8%，期限10年，目前的市价为1000元。如果预计未来的到期收益率将为9%，试利用精确公式预测债券的价格。

解：

（1）债券的久期也可以称为债券的有效期限或麦考利久期，其计算公式为：

⎤1n ⎡C t

D =⋅∑⎢⋅t ⎥

P 0t =1⎣(1+K ) t ⎦

式中，D ——债券的有效期限。

C t ——债券各期的现金流（利息或本金）。 K ——债券的到期收益率。 t ——任何有现金流的期数。

P 0——债券的现值，由下式计算。

P 0=∑

t =1

n

C t

t

(1+K )

（2）修正的久期=麦考利久期/（1+到期收益率）

（3）一阶近似。债券价格的变化量与债券到期收益率变化之间的近似关系如下：

∆P

=-D m ⋅∆y P 0

式中，△P ——债券价格的改变量。 P 0——债券最初的价格。 D m ——债券修正的久期。

y ——债券的年到期收益率。

△y ——债券到期收益率的改变量。

债券价格的变化量与债券到期收益率变化之间的近似公式是在假定债券的价格变动率与到期收益率变动量之间具有线性关系的条件下得出的，它表明如果到期收益率增加1%，则债券价格将下降D M %，反之，如果到期收益率下降1%，则债券价格将升高D M %。

（4）精确预测。实际上，债券的价格和到期收益率的变化之间并不具有严格的线性关系，为了反映二者之间的精确关系，需要引入凸度这个参数，其计算公式为：

C t

⋅t ⋅(t +1) t

1∑1t =1(1+y ) V =⋅⋅2P 0(1+y ) 2

n

⎡C t ⎤111

=⋅⋅⋅t ⋅(t +1) ∑(1+y ) t ⎥2P 0(1+y ) 2t =1⎢⎣⎦

n

式中，V ——凸度。 n ——期限。

C t ——第t 年的现金流。

P 0——债券的最初价格（现值）。

凸度反映了债券现金流的集中程度，现金流越集中，凸度越小，反之越大。借助于凸度，可以得出债券价格的变化量与债券到期收益率变化之间的精确关系如下：

∆P

=-D m ⋅∆y +V ⋅(∆y ) 2 P 0

式中各符号的含义如前所述。

【例9-5】

某基金管理公司已建立一个养老基金，其债务是每年向受益人支付300万元，永不终止。基金管理者计划建立一个债券组合来满足这个要求，所有债券的到期收益率均为15%。如果债券组合由债券A 和债券B 组成，债券A 的票面利率10%，期限5年、每年付息一次；债券B 的票面利率8%、期限20年、每年付息一次。那么，要使债务完全免疫，每种债券的

持有量为多少？

解：

债券组合管理的免疫策略

计算过程及结果

例9-6

已知股票价格的波动率为16元，某投资者持有1万股，假设股价变化服从正态分布，要求计算在置信水平为99%时风险价值。 解：

VaR =2.32⨯N ⨯σS

=2.32×1×4=9.28万元。

例9-7

假设某5年期附息债券的面值为100元，票面利率为6%，当前市场利率为7%，该债券交易价格为95元，市场利率的历史波动率为0.12，求该债券在99%置信水平下的风险价值。 解：

⎤1n ⎡CF t

D =⋅∑⎢⋅t ⎥t

P 0t =1⎣(1+K ) ⎦

VaR B =2.32σB

D

⋅P 0⋅σy 1+y

=2.32⨯D m ⋅P 0⋅σy =2.32⨯

已知数据： 票面利率= 市场利率= 置信水平=

计算过程：

6% 7% 99%

面值= 市场价格= 市场利率的波动率

100

95 0.12

年数 现金流 年数*现金流 累积贴现率= 久期= 风险价值=

例9-8

1 6 6 0.93 4.49

111.4

2 6 12 0.87

3 6 18 0.82

4 6 24 0.76

5 106 530 0.71

已知某3年期债券面值为100元，票面利率为5%，根据历史数据统计，市场利率时序

当前市场利率为6%，要求利用比较准确的delta-gamma 方法，计算该债券在99%置信水平下的风险价值。

解：

P 0=∑

t =1

n

C t

(1+K ) t

⎤1n ⎡CF t

D =⋅∑⎢⋅t

P 0t =1⎣(1+K ) t ⎥⎦

n

⎡CF t ⋅t ⋅(t +1) ⎤111

C =⋅⋅ ⎥2∑⎢t

2P 0(1+y ) t =1⎣(1+y ) ⎦

VaR B =2.32σB

⎛D ⎫ =2.32⨯ ⋅P 0⋅σy +C ⋅P 0⋅(σy ) 2⎪

⎝1+y ⎭ =2.32⨯P 0⨯(D m ⋅σy +C ⋅(σy ) 2)

计算过程1：

【例9-9】

某投资组合中有M 、N 、Q 三种风险资产，已知该投资组合的投资额为1000万元，三种资产的期望收益率、标准差、投资比例，以及相关系数的有关资料如图7-42所示。试确定在95%的置信水平下，该投资组合的风险价值。

解：

VaR P =w 0⋅(Z ⋅σP +μP )

μp =∑w i ⨯μi

i =1n

n

(σ)=∑∑w w σ

2p

i

j

n

ij

i =1j =1

n

=∑∑w i w j σi σj ρij

i =1j =1

n

如图7-42所示，计算步骤如下：

利率敏感性缺口分析

11、假设某银行的资产负债表如下：

某银行的资产负债表 单位：百万元

试计算：

A 、该银行的1个月敏感性资金缺口（重定价缺口）；3个月敏感性资金缺口（重定价缺口）；6个月敏感性资金缺口（重定价缺口）；1年期敏感性资金缺口（重定价缺口）；两年期敏感性资金缺口（重定价缺口）；（假设现金为非利率敏感性资产）。

B 、假设利率上升1个百分点，试计算其对该银行接下来30日的净利息收入的影响。如果利率下降0.75个百分点呢？

C 、假设接下来一年内的资金回流预期如下：①2年期长期国库券将回收1000万元；②8年期长期国库券将回收2000万元；试计算该银行的1年期资金缺口。

D 、假设考虑资金回流的问题，试计算年末利率增加1个百分点对该银行净利息收入的影响。如果利息下降1个百分点呢？

11、解：A 、当期限为1个月时，该金融机构的重定价缺口为：

CGAP=110-140=-30（百万元） 3个月重定价缺口为：

CGAP=110+150-140=120（百万元） 6个月重定价缺口为：

CGAP=110+150+50-140-100-90=-20（百万元） 1年期重定价缺口为：

CGAP=110+150+50-140-100-90=-20（百万元） 2年期重定价缺口：

CGAP=110+150+100+50-140-100-90=80（百万元） B 、该银行30日资金缺口为： CGAP=110-140=-30（百万元）

当利率上升1个百分点时，该银行净利息的变化为： △NII=（-30）×1%=-0.3（百万元）=30（万元）

当利率下降1个百分点，该银行接下来30日的净利息变化为： △NII=（-30）×（1%）=0.3（百万元）=30（万元） C 、该银行1年期资金缺口为：

CGAP=110+150+50+10+20-140-100-90=10（百万元）=1000（万元） D 、当银行利率上升1个百分点后，其年末净利息变化为： △NII=10×1%=0.1（百万元）=10（万元） 当利率下降1个百分点后，其净利息变化为： △NII=10×(-1%)=-0.1（百万元）=-10（万元）

5、计算下面金融机构的杠杆修正久期缺口。其拥有1000000元资产，投资于30年、利率为10%、每半年付息一次且以面值出售的国库券，久期为9.94年。还拥有900000元的负债，是通过2年期、利率为7.25%、每半年付息一次且以面值出售的债券筹集的资金。如果 ，对净值有何影响？

5、解答:利率为7.25%，期限为2年，每半年付息债券的久期为：

（1）杠杆修正的久期缺口=DA -D L ×k=9.94-1.90×(900000/1000000)=8.23（年） （2）∆E =-

(D A -D L ⨯k ) ⨯A ⨯

∆R

=-8. 23⨯1000000⨯(-0. 0020) =16460(元)

(1+R /2)

6、用GBI 银行提供的资料架答以下问题：

GBI 银行 单位：百万元

附注：目前联邦基金的利率为8.5%。浮动利率贷款定价为在伦敦同业拆借利率（目前为11%）的基础上加4%；固定利率贷款的期限为5年，年利率为12%。核心存款都是采用固定利率，期限为2年，年利率为8%。大额存单目前的收益为9%。 （1）GBI 银行固定利率贷款的久期是多少？

（2）如果浮动利率贷款（包括联邦基金）的久期为0.36年，那么银行资产的久期是多少？（现金的久期为0）

（3）银行核心存款的久期是多少？

（4）如果大额存单和联邦基金负债的久期为0.401年，那么银行负债的久期是多少？

（5）GBI 银行的久期缺口是多少？利率风险暴露是多少？如果利率变化1% ，对银行所有者权益的市场价格有什么影响？ 6、解答：

（2）资产的加权平均久期

20+10565

+D Fix -loan ⨯220220

20+10565

=0. 36⨯+4. 037⨯=1. 3973(年)

220220D A =D (floating -loan +Federa -Fund ) ⨯

（4）负债的加权平均久期：

2050+130

+D CDs +fed ⨯200200

2050+130

=1. 9258⨯+0. 401⨯=0. 5535(年)

200200D L =D C ⨯

（5）GBI 银行的久期缺口

DGAP =D A -D L ⨯k =1. 3973-0. 5535⨯

200

=0. 8941(年) 220

∆E =-(D A -D L ⨯k ) ⨯A ⨯

∆R

=-0. 8941⨯220⨯1%=-1. 96702(百万元)

(1+R /2)